Sáng kiến kinh nghiệm Hệ phương trình và một số phương pháp giải

-------- *** -------
I. HỌ VÀ TÊN
 - Nguyễn Phú Cường - Chức vụ: Giáo Viên
 - Nơi công tác: Trường THCS Nguyễn Văn Thảnh
 - Nhiệm vụ được giao: Dạy Toán các lớp 84, 92, 93, Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
II. TÊN SÁNG KIẾN
 - Hệ phương trình và một số phương pháp giải
III. THỜI GIAN VÀ ĐỊA ĐIỂM THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ 
	- Thời gian thực hiện: 2018 đến 2020
	- Địa điểm thực hiện: Trường THCS Nguyễn Văn Thảnh
IV. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	Trước những vấn đề toán học cần truyền đạt, để mang lại hiệu quả giảng dạy cao đòi hỏi giáo viên phải là người tiên phong tìm hiểu, nghiên cứu và sáng tạo. Chính việc nghiên cứu và tìm hiểu ấy sẽ giúp giáo viên nhìn nhận vấn đề một cách chính xác, đúng đắn và toàn diện. Giáo viên sẽ nắm vững các vấn đề cơ bản, xác định các nội dung kiến thức trọng tâm cần nhấn mạnh trong quá trình giảng dạy. Và cũng từ đó giáo viên sẽ khéo léo sáng tạo đưa ra các tình huống tương tự, mở rộng, nâng cao phù hợp. Vì những lẽ đó bản thân tôi cho rằng việc nghiên cứu, soạn giảng của giáo viên về một vấn đề toán học trước khi truyền thụ là quan trọng nhất. Nếu giáo viên năng nổ, nhiệt tình trong công tác nghiên cứu này sẽ giúp cho quá trình truyền thụ tri thức trở nên nhẹ nhàng, thuận lợi hơn. Song song đó góp phần rèn luyện tính tích cực, chủ động, sáng tạo và khơi dậy mọi tìm ẩn ở học sinh. Xuất phát từ suy nghĩ đó để góp phần nâng cao khả năng giải hệ phương trình của học sinh qua các kì thi (Thi học kì 2, Thi tuyển sinh 10, Thi học sinh giỏi huyện, Thi học sinh giỏi tỉnh) tôi đã tích cực nghiên cứu và viết chuyên đề: "Hệ phương trình và một số phương pháp giải".
V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIÀI (CƠ BẢN)
1.1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
* Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c' . Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
	- Nếu hai phương trình trong hệ có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I)
	- Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì ta nói hệ phương trình (I) vô nghiệm.
	- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
 1.2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
* Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương quy tắc thế gồm 2 bước
- Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ có một ẩn).
- Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ
1.2.1. Ví dụ: Xét hệ phương trình:
	Từ (1) x = 2 + 3y(3)
	Thế (3) vào (2) ta được: - 2(2 + 3y) + 5y = 1
	Vậy hệ phương trình có nghiệm: (-13;-5)
1.2.2. B ài tập: 
 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
	a)	b)	c)
	d)	e)	f) 
	g)	h)	i)
 1.3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
* Quy tắc cộng đại số: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm 2 bước
 - Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình trong hệ đã cho để được một phương trình mới 
 - Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ
 1.3.1. Ví dụ: 
 a) Các hệ số của cùng một biến trong hai phương trình của hệ là 2 số đối nhau:
 Giải hệ phương trình:
 . Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1;1)
b) Các hệ số của cùng một biến trong hai phương trình của hệ là hai số bằng nhau:
 Giải hệ phương trình:
 . Vậy hệ phương trình có nghiệm: (;1)
 c) Các hệ số của cùng một biến trong hai phương trình của hệ là hai số không bằng nhau, không đối nhau:
 Giải hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (3; - 1)
1.3.2. Bài tập: 
 Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
 a)	b)	c)
	d)	 e)	f) 
	g)	 h)	i)
	j)	 k)	l)
 1.4. Bài tập tổng hợp 
 Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
 a)	b)	c)
 d)	 e)	f)
 g	h)	i)
 j)	k) 	l)
 m) n)
Bài 2: Cho hệ phương trình:
 a) Giải hệ phương trình với m = 1.
 b) Tìm m đề hệ phương trình trên nhận cặp (-1;2) làm nghiệm
Bài 3: Tìm các số a, b để hệ phương trình: có nghiệm (2; - 1)
Bài 4: Cho hệ phương trình:.
	 Giải hệ phương trình trong các trường hợp sau:
 	 a) a = 2 b) a = - 1 c) a = - 2 
1.5. Giải hệ phương trình quy được về dạng bằng phương pháp đặt ẩn phụ. ( NÂNG CAO) 
* Phương pháp giải
- Nếu trong hệ có ẩn số ở mẫu số thì cần đặt điều kiện trước khi khử mẫu số
- Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa hệ đã cho về dạng: 
 1.5.1. Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
	a) (1)
ĐK: 
	Đặt u =, v = hệ (1) trở thành :
Vậy nghiệm của hệ phương trình (1) là (;)
	b)(2)
ĐK: 
Đặt u =, v = hệ (2) trở thành :
	Vậy nghiệm của hệ phương trình (2) là (;)
 1.5.2. Các bài toán tương tự
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
ĐK: x0, y0
Đặt u =, v = hệ trở thành :
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (;)
b) 
Đặt u =, v = hệ trở thành :
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;1)
c)
Đặt u =, v = hệ trở thành :
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;4)
d)
Đặt u =, v = hệ trở thành :
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (27;4)
e) f)
2. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ KHÁC (NÂNG CAO)
 2.1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai hai ẩn
 * Phương pháp giải:
 - Tính ẩn này theo ẩn kia từ phương trình bậc nhất và sử dụng phương pháp thế để giải
 2.1.1. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
 a)
 Từ (1) y = 5 – 2x. Thế vào (2) ta được:
 5x2 – 20x + 15 = 0
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;3); (3;-1)
 b)
 Từ (3) x = . Thế vào (4) ta được:
 23y2 – 82y + 59 = 0
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1); 
 2.1.2. Các bài toán tương tự
 Giải hệ phương trình: 
 a) b)	 c)
 2.2. Giải hệ phương trình hai ẩn đối xứng loại 1
 * Chú ý: 
 - Hệ phương trình hai ẩn x, y đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò x, y cho nhau thì các phương trình trong hệ không đổi.
 * Phương pháp giải:
 - Biểu diễn các phương trình trong hệ qua x + y và x.y
 - Đặt S = x + y, P = x.y. Rồi viết lại hệ phương trình đã cho theo hai ẩn S, P. Giải hệ tìm S, P.
 - Thế S, P vừa tìm được dùng Vi-ét đảo tìm x,y.
 2.2.1. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
 a) 
 Đặt S = x + y, P = xy hệ trở thành:
 S, P là nghiệm của phương trình: t2 – 19t + 84 = 0 
 Vậy ta có: 
 Hoặc: 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;4); (4;3); 
 b) 
 Đặt S = x + y, P = x.y hệ trở thành:
 Từ (4) thay vào (3) ta được: 2S3 – 3S2 + 6S – 16 = 0
 Vậy ta có: 
 Hoặc: vô nghiệm
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;0): (0;2)
 2.2.2. Các bài toán tương tự
 Giải hệ phương trình: 
 a)	b)	c)
 2.3. Giải hệ phương trình hai ẩn đối xứng loại 2
* Chú ý: 
 - Hệ phương trình hai ẩn x, y đối xứng loại 2 là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này đổi thành phương trình kia.
 * Phương pháp giải:
 - Trừ vế theo vế của hai phương trình trong hệ và biến đổi về dạng: 
(x – y).A = 0 
 - Kết hợp (1) với 1 phương trình trong hệ đã cho ta được hệ (I). Giải hệ (I).
 - Kết hợp (2) với 1 phương trình trong hệ đã cho ta được hệ (II). Giải hệ (II).
 - Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
 * Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
 2.3.1. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
 a)Trừ (1) cho (2) ta được: x2 – y2 = x – y (x – y)(x + y – 1) = 0 
 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:
 Từ (1) và (4) ta có hệ phương trình:
 b)Trừ (5) cho (6) ta được
 2x2 – 2y2 = 3x – 3y(x – y)(2(x + y) – 3) = 0 
 Từ (7) và (5) ta có hệ phương trình: 
 Từ (8) và (5) ta có hệ phương trình: 
 2.3.2. Các bài toán tương tự
 Giải các hệ phương trình:
 a) 	 b) 
 c)
 2.4. Giải hệ phương trình đẳng cấp dạng 
 * Phương pháp giải:
 - Từ hai phương trình của hệ ta suy ra phương trình: 
 ax2 + bxy + cx2 = 0
 - Thử với y = 0 (hoặc x = 0).
 - Với y 0, đặt t = (hoặc với x 0 đặt t = ) thay vào (1) để được phương 
 trình ẩn t. Giải phương trình này tìm t
 - Từ đó tìm được y theo x (hoặc x theo y) rồi giải hệ bằng phương pháp thế.
 2.4.1. Ví dụ
 * Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Nhân hai vế phương trình (2) cho 4 ròi trừ vế theo vế với (1) ta được:
 4x2 -13xy + 3y2 = 0 (3)
Từ (1) suy ra y 0. Chia hai vế phương trình (3) cho y2 ta được:
 4 - 13 + 3 = 0
Đặt t = phương trình trở thành 4t2 – 13t + 3 = 0 
Với t = 3 ta có hệ phương trình: 
 (vô nghiệm)
Với t = 3 ta có hệ phương trình: 
 Hệ có nghiệm (1;4) hoặc (-1;-4)
Vậy hệ dã cho có nghiệm (1;4), (-1;-4) 
 * Ví dụ 2:: Giải hệ phương trình: 
(5)x2 – xy + 3xy – 3y2 = 0 x(x – y) + 3y(x – y) = 0
 (x – y)(x + 3y) = 0
Với x = y thế vào (4) ta được: y = 
 (1;1), (-1;-1) là hai nghiệm của hệ
Với x = - 3y thế vào (4) ta được: y = 
 (;), (;) là hai nghiệm của hệ
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: (1;1), (-1;-1), (;), (;)
 2.4.2. Bài tập
 Giải các hệ phương trình
 a)
 b)
 c)
VI. KẾT QUẢ ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ
- Chuyên đề gồm hai phần: cơ bản và nâng cao:
 + Với phần cơ bản khi giảng dạy trên lớp tôi nhận thấy các em rất hăng hái và tích cực khi có sự hổ trợ của máy tính cầm tay trong giải hệ phương trình. Với các bài tập tổng hợp vừa sức được lấy từ đề thi các năm trước đa phần học sinh rất chủ động trong từng bước giải và giải hoàn toàn đúng.
 Thống kê kết quả bài kiểm tra thường xuyên về giải hệ phương trình:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
92 (29)
17
58,6%
5
17,2
4
13,8%
3
10,3%
92 (26)
16
61,5%
2
7,7%
7
6,9%
1
3,8%
Tổng (55)
33
60%
7
12,7%
11
20%
4
7,3%
Kết quả 92,7% từ trung bình trở lên cho thấy phần cơ bản của chuyên đề phù hợp với chương trình và trình độ tiếp thu của các em.
 + Đối với phần nâng cao:
 Thống kê kết quả thi học sinh gỏi vòng huyện năm học 2017 – 2018:
STT
 Họ tên học sinh
 Điểm vòng huyện
 Kết quả
01
Lại Diễm My
 6,0
 Đội tuyển
02
Lại Nguyễn Minh Thư
 8,5
 Đội tuyển
 Thống kê kết quả thi học sinh gỏi vòng huyện năm học 2018 – 2019:
STT
 Họ tên học sinh
 Điểm vòng huyện
 Kết quả
01
Lại Thu Hiền
 7,5
 Đội tuyển
02
Lê Tấn Thịnh
 10,5
Giải khuyến khích
03
Nguyễn Tấn Toàn
 9,5
 Đội tuyển
04
Nguyễn Thanh Trọng
 13,25
 Giải ba
 Từ kết quả thi học sinh giỏi vòng huyện năm 2017 – 2018 và 2018 – 2019 cho thấy: Trong năm 2018 – 2019 điểm thi của các em đã được nâng cao và tương đối đồng đều, góp phần nâng tị lệ học sinh giỏi huyện đạt 100%
VII. KẾT LUẬN – KHẢ NĂNG NHÂN RỘNG
	Giải hệ phương trình là một nội dung cơ bản của chương trình toán 9, đồi hỏi giáo viên phải trang bị cho mỗi học sinh một cách vững vàng nhất để các em mạnh mẽ vượt qua các kì thi: thi học kì II, thi tuyển sinh lớp 10. Bên cạnh đó đây cũng là nội dung quan trọng được đề cập trong các đề thi học sinh giỏi huyện, tỉnh, thi vào các trường chuyên. Chính vì thế việc nghiên cứu phân định và soạn giảng của giáo viên về hệ phương trình là rất cần thiết. Với chuyên đề "Hệ phương trình và một số phương pháp giải" các em đã thật sự hứng thú, tích cực tìm hiểu qua các tiết dạy. Đây chính là những tín hiệu cho thấy chuyên đề rất phù hợp với nội dung chương trình, với trình độ tiếp thu của các em. Từ hai sự phù hợi đó và kết quả khả quan bước đầu chuyên đề sẽ hứa hẹn đem lại nhiều kết quả tốt đẹp hơn trong những năm sắp tới. Ngoài ra với đa số bài tập được tôi tổng hợp từ các đề thi qua các năm trong tỉnh Vĩnh Long chuyên đề còn là tài liệu hữu ích cho giáo viên toán tham khảo và giảng dạy trong chương trình toán 9
VIII. ĐỀ XUẤT – KIẾN NGHỊ
Trên thực tế, một hay hai chuyên đề chưa thể đem lại kết quả cao trong các kì thi. Mà đó phải là sự phối hợp của hầu hết các chuyên đề trong nội dung ôn thi. Chính vì thế tôi rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của quý đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Đồng thời cũng rất mong nhận được sự chia sẻ những kinh nghiệm, những nghiên cứu trong thời gian giảng dạy của tất cả quý đồng nghiệp. Đây mới chính là yếu tố quan trọng góp phần thiết thực vào việc nâng cao chất lượng bộ môn toán của chúng ta. 
 - Để giáo viên tích cực, hăng hái tìm hiểu, nghiên cứu, giao lưu, trao đổi kinh nghiệm dạy học tôi kiến nghị Ban Giám Hiệu, Phòng Giáo Dục cần có sự hổ trợ hợp lý hơn nữa về chế độ đối với những cá nhân viết chuyên đề và cá nhân có những chuyên đề xuất sắc. 
	 Nguyễn Văn Thảnh, ngày 20 tháng 03 năm 2020
	 Người viết
	 Nguyễn Phú Cường
 Xác nhận của Tổ Trưởng	 Xác nhận của Ban Giám Hiệu
 Phoøng Giaùo Duïc – Ñaøo Taïo Bình Taân
 Tröôøng THCS Nguyeãn Vaên Thaûnh
---- *** ----
(x – 2)6 + (x – 4)6 = 64 ? 
Giaùo vieân thöïc hieän: Nguyeãn Phuù Cöôøng
Naêm hoïc: 2018 - 2019