Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phương pháp quy nạp Toán học để giải một số dạng toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP 
QUY NẠP TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN 
A. Phần mở đầu 
Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho 
sự phát triển của giáo dục. Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng 
nổ thông tin, giáo dục đã và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển 
của khoa học kỹ thuật, sự phát triển của xã hội. Nội dung tri thức khoa 
học cùng với sự đồ sộ về lượng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới 
phương pháp dạy học. Trong giai đoạn hiện nay giáo dục không chỉ tạo ra 
những con người có tài, có đức mà giáo dục còn có một thiên chức cao 
quý hơn đó là giáo dục cái thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo ra những con 
người có kỹ năng sống và học tập trong thời đại mới. Mục tiêu giáo dục 
thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi mới phương pháp dạy học một cách 
phù hợp. Nhằm giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá 
trình đổi mới phương pháp dạy học, đã có nhiều giáo sư tiến sỹ, các nhà 
khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới 
phương pháp dạy học. 
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới 
phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học 
sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động 
tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng 
linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Trong đó 
có đổi mới dạy học môn toán, Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy 
hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình 
thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải 
toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp 
tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực 
chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ 
năng cơ bản trong môn toán. Từ đó rút ra được nhiều phương pháp dạy 
học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập 
của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. 
Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS có nhiều mảng kiến 
thức trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại 
gặp rất nhiều, ngay những học sinh nắm rất vững kiến thức sách giáo khoa 
nhưng khi gặp những dạng toán này vẫn còn lúng túng. Vì vậy với phạm 
vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - 
những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là “Phương pháp chứng 
minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác 
như thế nào”. Thật vậy trong chương trình toán phổ thông phương pháp 
chứng minh quy nạp là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng 
dụng của nó lại khá rộng rãi, nó không những có mặt trong phân môn số 
học mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn đại số, nó 
không chỉ dừng lại ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng 
trong chương trình THPT. Vì vậy phương pháp chứng minh quy nạp là 
phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, tuy 
nhiên đây cũng là phần quyến rũ học sinh say mê môn toán và học giỏi 
toán vì nó đòi hỏi phải tư duy lôgic, tìm tòi sáng tạo. 
 Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua 
thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS, tôi đã rút ra 
được một vài kinh nghiệm. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Vận dụng 
phương pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán” nhằm tìm ra 
những biện pháp hay giúp cho công tác dạy học nói chung và công tác bồi 
dưỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết quả cao 
B. Phần Nội dung 
I. Cở sở lý luận: 
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần 
giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. 
Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận, 
biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức 
mới. Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là 
các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các 
phương pháp có tính chất tìm đoán. Học sinh cần được rèn luyện các thao 
tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, 
quy lạ về quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện 
cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững 
và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng 
tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập. 
 Trong quá trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình 
và sách giáo khoa, xem đây như là định hướng cho cả quá trình dạy học. 
Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không chỉ dừng lại ở 
sách giáo khoa mà người giáo viên còn phải có phương pháp để từ những 
kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp học 
sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống 
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học 
và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài 
tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát 
triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được 
bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải 
các bài tập toán trong đó có các bài tập về chứng minh quy nạp cũng là 
một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, 
trí tuệ cho học sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toán học. 
II. Cở sở thực tiễn: 
 Trong chương trình toán phổ thông, áp dụng phương pháp chứng 
minh quy nạp chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia hết, chứng 
minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức... Do vậy “phương pháp 
chứng minh quy nạp” góp một phần vào việc thực hiện chương trình dạy 
học theo phương pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm”. Đồng 
thời giúp mỗi người giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, 
tạo cơ sở vững chắc để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt 
kết quả tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài” 
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 26 học 
sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về phương pháp chứng minh quy nạp như 
sau: 
Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10 
SL % SL % SL % SL % 
11 42,3% 08 30,8% 05 19,2% 02 7,7% 
Nguyên nhân của thực tế trên: 
 Đây là dạng toán tương đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh 
chưa được trang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế 
và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối 
với học sinh trung bình các em càng khó giải quyết 
 Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy nạp, tôi 
đã nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học sinh 
nắm được thế nào là phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương 
pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, chứng minh đẳng thức, 
chứng minh bất đẳng thức. Đồng thời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp 
học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết áp dụng vào giải toán. Từ đó 
yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh được 
rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo và 
chất lượng giải toán được nâng cao. 
III. Mục đích nghiên cứu: 
 a. Đối với giáo viên: 
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy. 
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức. 
 b. Đối với học sinh: 
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về áp 
dụng phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng. Trang bị cho học 
sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp 
các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải 
quyết một số bài tập có liên quan. 
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, 
sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. 
- Thông qua việc giải các bài toán áp dụng quy nạp (để chứng minh 
chia hết, chứng minh đẳng thức, BĐT) giúp học sinh thấy rõ mục đích 
của việc học toán. 
IV. Phương pháp nghiên cứu: 
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học 
sinh và giáo viên. 
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 
V. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quy nạp: 
1, phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn toàn: 
Ví dụ 1. Quan sát các kết quả sau: 13 - 1 chia hết cho 3 
 23 - 2 chia hết cho 3 
 33 - 3 chia hết cho 3 
43 - 4 chia hết cho 3 
  Hãy đưa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đoán đó? 
Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a 
 Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1) 
Xét ba khả năng có thể xảy ra: 
 a) Nếu a = 3k (k N) thì A chia hết cho 3 
 b) Nếu a = 3k + 1 (k N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết 
cho 3 
 c) Nếu a = 3k +2 (k N) thì a + 1 chia hết cho 3, do đó A chia 
hết cho 3 
 Vậy a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a 
Ví dụ 2. Quan sát kết quả sau: 23 - 2 chia hết cho 3 
 25 - 2 chia hết cho 5 
 27 - 2 chia hết cho 7 
  Dự đoán sau đúng hay sai? 2n - 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n? 
Giải: Dự đoán trên là sai. Chẳng hạn 29 - 2 = 510 không chia hết cho 9 
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau: 
1, Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a3 - a chia hết cho 
3 với mọi số nguyên dương a 
2, Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k N) để kết luận rằng a3 
- a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a 
3, Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2n - 2 chia hết cho n 
với mọi số tự nhiên lẻ n 
 Ba phép suy luận trên được gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi 
từ các trường hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát 
 Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trường hợp 
riêng, chẳng hạn trong phép suy luận 2 ta đã xét mọi khả năng có thể xảy 
ra khi chia số tự nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k + 2) 
 Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trư