Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của Pisa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
TỔ TOÁN
-----š›&š›-----
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
KHAI THÁC BÀI TOÁN 
TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT 
ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN 
THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA
Người thực hiện: Ninh Văn Quang
Giáo viên trường THPT Lạng Giang số 1
 Lạng Giang, tháng 9 năm 2014
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
Phần I: Mở đầu........................
1
I. Lý do chọn đề tài ..................................................................................
1
II. Mục đích nghiên cứu...........................................................................
2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................
2
IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................
2
V. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................
3
VI. Những đóng góp của đề tài.................................................................
3
Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả
4
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài........................................
4
Chương II: Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA ...........................
Chương III: Kết quả nghiên cứu
5
18
Phần III: Kết luận và đề nghị ...............................
Danh mục tài liệu tham khảo...................................................................
19
21
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	Chúng ta đều biết, Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên toàn thế giới. Mục tiêu giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình. Vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học bộ môn toán luôn được ưu tiên hàng đầu. Toán học ngày càng giữ vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt Toán học lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại Toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên. Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi phải có con người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực. Chính vì lẽ đó, sự nghiệp giáo dục và đào tạo trong thời kì đổi mới hiện nay phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho người học tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng được yêu cầu của thực tiễn.
	Việt Nam đang tham gia Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (gọi tắt là PISA). Đây là một chương trình đánh giá có chất lượng và đáng tin cậy về hiệu quả của hệ thống giáo dục, trong đó có lĩnh vực Toán học, được xây dựng và điều phối bởi Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD. Bài thi của PISA chú trọng khả năng học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng của mình khi đối mặt với các tình huống thực tiễn, và ta gọi đó là các bài toán thực tiễn.
	Qua giảng dạy tôi thấy các em học sinh luôn gặp khó khăn khi tiếp cận
các bài toán cực trị hình học. Hơn nữa, việc vận dụng các bài toán cực trị hình học vào giải quyết các bài toán thực tiễn lại càng khó khăn hơn.
	Vì những lí do trên, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề: "Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA" với mong muốn giúp các em học sinh làm quen với những bài toán có nội dung thực tiễn và sử dụng kiến thức, kĩ năng của chính các em để giải quyết các bài toán thực tiễn đó; đồng thời giúp các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu và tự xây dựng một số bài toán có dạng giống như câu hỏi thi của PISA.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
	Giúp các em học sinh bậc THPT làm quen với những bài toán có nội dung thực tiễn và biết sử dụng kiến thức, kĩ năng của chính các em để giải quyết các bài toán thực tiễn đó.
	Giúp các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu để có thể tự xây dựng một số bài toán có dạng giống như câu hỏi thi của PISA.
	Quy lạ về quen, gắn Toán học với thực tiễn và thực tiễn với Toán học. Làm rõ hơn câu nói "Học đi đôi với hành".
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
	Khai thác một số bài toán hình học về tổng khoảng cách nhỏ nhất. Từ đó xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn, đảm bảo mục đích nghiên cứu đã đề ra.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 + Bài toán dựng hình
+ Các phép biến hình như phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, ...
+ Các bài toán cực trị hình học.
2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
	+ Chương trình toán hình học bậc THPT.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu qua sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, ...
- Nghiên cứu qua các tiết thực nghiệm trên lớp.
VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
	Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn, tính hệ thống và tính cập nhật, phù hợp với xu thế phát triển giáo dục trong giai đoạn hiện nay và sau này. Bên cạnh đó giúp học sinh phát huy tính tự lực, khả năng tư duy, sáng tạo, để nhận biết rồi tự tìm ra hướng giải quyết bài toán, biết gắn bài toán với thực tiễn và giải quyết tình huống thực tiễn.
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
	Việc đưa vào bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất và từ đó xây dựng nên một số bài toán thực tiễn không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức quan trọng trong môn Hình học mà còn giúp cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cho học sinh bản lĩnh khi đứng trước những tình huống có thật cần giải quyết trong thực tế. Ngoài ra còn có thể mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học và các bộ môn khác. 
	Theo hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, giáo viên cần tập trung thiết kế các hoạt động sao cho các em học sinh có thể tự lực khám phá, chiếm lĩnh các tri thức mới dưới sự chỉ dẫn của thầy cô. Một đặc điểm cơ bản của hoạt động học là hướng vào người học, giúp người học cải biến chính mình. Nếu người học không chủ động tự giác, không có phương pháp học tập phù hợp, tích cực thì mọi nỗ lực của người thầy chỉ đem lại những kết quả hạn chế.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
	Toán học là môn khoa học trừu tượng nhưng lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi. Học tốt môn toán và đặc biệt là toán hình đối với học sinh là một vấn đề không hề đơn gian. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp và càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy vào việc giải các bài toán thực tiễn. Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải giúp học sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy, cô giáo muốn truyền đạt. Người thầy trong quá trình truyền đạt tri thức phải là người hướng dẫn và “mở đường” cho các em, còn các em phải tự mình xây dựng được các kĩ năng, tích lũy được các kinh nghiệm giải toán, từ đó mà chất lượng học tập của học sinh sẽ ngày được nâng lên.
	Các bài toán liên quan đến tổng khoảng cách nhỏ nhất là những bài toán khó nên học sinh sẽ gặp khó khăn khi học tập và nghiên cứu, việc áp dụng thành thạo các bài tập ở dạng này đối với nhiều học sinh là chưa được tốt. Khi viết chuyên đề này tôi luôn quan tâm đến vấn đề dạy cho học sinh dễ hiểu bài để có thể vận dụng tốt kết quả của bài toán, giúp học sinh biết gắn các bài toàn này với thực tiễn cuộc sống.
Chương II: KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA
Bài toán 1:
 Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
Hướng dẫnA
A
d
d
M
M
B
B
Ta có:	 MA + MB AB	(Bất đẳng thức trong tam giác).
Dấu “=” xảy ra khi A, M, B thẳng hàng
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng d.
Bài toán 2: (Bài toán gốc)
	Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
Lời giảiB
B
A
A
M
	d
d
M'
M
A'
* Phân tích:
	Giả sử ta đã tìm được điểm M thuộc d để có tổng MA + MB nhỏ nhất.
Lấy A' đối xứng với A qua d .
Ta có MA = MA', suy ra MA' + MB cũng nhỏ nhất . 
Mà A' và B lại nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng d.
Theo kết quả của Bài toán 1, M là giao điểm của đường thẳng A'B và đường thẳng d.
* Cách dựng:
 - Dựng A’ đối xứng với A qua d.
 - Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d tại điểm M cần tìm.
* Chứng minh: 
 Với điểm M đã dựng và điểm M' bất kì thuộc d mà M' không trùng với M, 
ta có:
	M'A + M'B = M'A' + M'B 
	M'A' + M'B > A'B
	A'B = MA' + MB
	MA' + MB = MA + MB
Suy ra M'A + M'B > MA + MB.
Vậy MA + MB là nhỏ nhất.
* Biện luận:
	Luôn tìm được duy nhất điểm M thỏa mãn đề bài.
	Trực tiếp từ Bài toán gốc có thể xây dựng nên các bài toán thực tiễn và có thể chọn các bài toán này làm câu hỏi trong các kỳ đánh giá năng lực học sinh phổ thông của PISA trong lĩnh vực Toán học (được gọi là các câu hỏi thi PISA).
Bài toán thực tiễn 1: Bồ câu nhặt thóc
	Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây. Một con chim bồ câu bay từ ngọn cây thứ nhất xuống sân nhặt thóc ăn rồi bay ngay lên ngọn cây thứ hai. Hỏi bồ câu phải nhặt thóc tại vị trí nào trên sân để chiều dài đường bay của nó là ngắn nhất.
B
Sân phơi thóc
Cây 1
Cây 2
A
M
A'
	Đây là bài toán thực tiễn và được đặt trong không gian. Tuy nhiên ở bài toán này và kể cả các bài toán thực tiễn sau đây nữa chúng ta đều quy được về xét trong mặt phẳng. 
	Ở bài  ... iểm N, và từ MN = a tìm được vị trí điểm M.
A1
a
A
B
d
a
N
M
A’
	Từ Bài toán 3 có thể liên hệ tới một bài toán thức tiễn như sau:
Bài toán thực tiễn 3: Bồ câu nhặt thóc trên sân
	Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây. Một con chim bồ câu bay từ ngọn cây thứ nhất xuống một vị trí trên sân, vừa nhặt thóc ăn bồ câu vừa nhảy đi được 5 bước, sau đó bay lên ngọn cây thứ hai. Hỏi bồ câu phải đáp xuống vị trí nào trên sân để chiều dài đường đi của nó là ngắn nhất.
	A
Cây 1
B
Cây 2
5 bước
sân phơi thóc
M
N
	Có thể thấy bài toán trên được xét trong không gian nhưng được quy về xét trong mặt phẳng và nó trở thành Bài toán 3 ở trên. Đường đi của bồ câu chính là đường gấp khúc AMNB trong Bài toán 3 và vị trí đáp xuống cần tìm của bồ câu chính là vị trí cần tìm của điểm M.
	Ta có thể phát triển Bài toán gốc với phép lấy điểm đối xứng qua một đường thẳng để được bài toán dùng phép lấy điểm đối xứng qua hai đường thẳng như sau.
Bài toán 4:
	Cho góc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc ấy. Tìm điểm M thuộc cạnh Ox và điểm N thuộc cạnh Oy sao cho chu vi tam giác PMN nhỏ nhất.	
x
M
P
O
N
y
Lời giải
 * Cách dựng:
- Lấy điểm A đối xứng với P qua Ox và B đối xứng với P qua Oy.
- Đường thẳng AB cắt các cạnh Ox và Oy lần lượt tại M, N.
* Chứng minh:
Ta có:
 PM = AM
 NP = NB
Chu vi tam giác PMN là PM + MN + NP = AM + MN + NB ≥ AB.
Dấu "=" xảy ra khi A, M, N, B thẳng hàng.
Khi đó chu vi tam giác MNP là nhỏ nhất.
Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N lần lượt là giao điểm của thẳng AB vói cạnh Ox và cạnh Oy của góc xOy.
A
x
M
P
N
O
y
B
* Biện luận:
 Bài toán luôn tìm được đúng một điểm M và một điểm N thỏa mãn yêu cầu đề bài.
	Từ Bài toán 4 ta có thể xây dựng bài toán tương tự như sau.
Bài toán 5:
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Lấy điểm P cố định thuộc cạnh BC. Tìm trên các cạnh AB, AC các điểm M, N sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.
Hướng dẫn
	Tương tự như Bài toán 4, ta lấy P1 đối xứng với P qua AB và P2 đối xứng với P qua AC. Đường thẳng P1P2 cắt AB và AC lần lượt tại các điểm M và N cần tìm.
P1
B
M
P
C
N
A
P2
	Bây giờ thay vì sử dụng phép lấy đối xứng qua hai cạnh của một góc nhọn ta xét đến phép lấy đối xứng qua hai đường thẳng song song.
Bài toán 6:
	Cho hai đường thẳng song song d và d'. Hai điểm A và B nằm khác phía đối với cả d và d' như hình vẽ. Hãy tìm điểm M thuộc d và điểm N thuộc d' sao cho MN vuông góc với d và d', đồng thời đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất. 
Lời giải 
 * Phân tích :
- Giả sử hai đường thẳng song song d và d' cách nhau một khoảng bằng a 
(a > 0). 
- Vì M thuộc d, N thuộc d', MN vuông góc với d và d' nên MN = a. 
- Tịnh tiến điểm A theo vectơ để được điểm A'. 
- Dễ thấy độ dài đường gấp khúc AMNB bằng độ dài đường gấp khúc AA'NB và bằng: AA' + A'N + NB = a + A'N + NB. Do đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất khi tổng A'N + NB nhỏ nhất. Vì A' và B nằm khác phía đối với d' nên tổng A'N + NB nhỏ nhất khi A', N, B thẳng hàng, tức là N là giao điểm của A'B và d'.
A
d
M
A’
M'
N
d'
N'
B
 * Cách dựng 
- Tịnh tiến điểm A theo vectơ để được điểm A'. 
- Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d' tại điểm N
- Qua N dựng một đường thẳng vuông góc với d, cắt d tại M
* Chứng minh 
Từ cách dựng suy ra AA' = MN = a.
Giả sử M' thuộc d, N' thuộc d' sao cho M'N' vuông góc với d và d'. Suy ra AA' = M'N' = a.
Ta có:
AM' + M'N' + N'B = A'N' + M'N' + N'B = A'N' + a + N'B = a + (A'N' + N'B)
Mà A'N' + N'B ≥ A'B, A'B = A'N + NB
Do đó AM' + M'N' + N'B ≥ a + (A'N + NB) = MN + (A'N + NB) = MN + (AM + NB) = AM + MN + NB. Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.
 * Biện luận: Do A'B chỉ cắt d' tại điểm N duy nhất nên chỉ tìm được duy nhất cặp điểm M, N thỏa mãn yêu cầu đề bài.
	Từ Bài toán 6 ta có thể xây dựng một bài toán thực tiễn sau.
Bài toán thực tiễn 4: Xây cầu ở đâu?
 Hai làng A và B nằm ở hai bên bờ một con sông. Cần bắc một cây cầu phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng (đi từ làng này qua cầu rồi sang làng kia) sao cho đường đi là ngắn nhất. Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cây cầu đó, biết rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song và cầu phải bắc vuông góc với hai bờ sông.
A
M
d
d'
N
B
Hướng dẫn
	Gọi hai bờ sông đó là d và d' (d song song với d'). Hai làng A và B là hai điểm A và B. Cây cầu chính là đoạn MN cần dựng như trong Bài toán 6.
	Như vậy bài toán này trở thành bài toán 6 với cách giải quyết tương tự.
Làng A
Bờ sông 1
M
Cầu
Sông
A'
Bờ sông 2
N
Làng B
Bài toán 7:
 Cho hai đường thẳng song song d và d'. Hai điểm A và B nằm khác phía đối với cả d và d' như hình vẽ. Hãy tìm điểm M thuộc d và điểm N thuộc d' sao cho MN vuông góc với d và d', đồng thời AM = BN.
Hướng dẫn
- Tịnh tiến điểm A theo vectơ để được điểm A'. 
- Gọi là trung trực của đoạn A'B.
+ Nếu cắt d' thì giao điểm của và d' chính là điểm N cần tìm, và từ đó dễ dàng tìm được M.
+ Nếu // d' thì không thể tìm được các điểm M, N thỏa mãn đề bài.
+ Nếu và d' trùng nhau thì mọi cặp điểm M, N trên d và d' sao cho MN vuông góc với d và d' đều thỏa mãn yêu cầu đề bài.
A
M
d
A’
d'
N
B
	Từ Bài toán 7 ta có thể xây dựng nên bài toán thực tiễn sau.
Bài toán thực tiễn 5: Xây cầu chỗ nào?
	Hai làng A và B nằm ở hai bên bờ một con sông. Cần bắc một cây cầu phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng (đi từ làng này qua cầu rồi sang làng kia) sao cho đường đi từ mỗi làng đến cầu là dài bằng nhau. Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cây cầu đó, biết rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song và cầu phải bắc vuông góc với hai bờ sông.
Hướng dẫn
	Gọi hai bờ sông đó là d và d' (d song song với d'). Hai làng A và B là hai điểm A và B. Cây cầu chính là đoạn MN cần dựng như trong Bài toán 7.
	Như vậy bài toán này trở thành bài toán 7 với cách giải quyết tương tự.
Làng A
A'
Bờ sông 1
M
Sông
Cầu
N
Bờ sông 2
Làng B
Bài toán thực tiễn 6: Đi đường nào gần nhất?
	Giữa hai làng A và B bị chắn bởi một hồ nước hình tròn. Cần đi thẳng từ làng A đến vị trí M trên bờ hồ để lấy nước, sau đó đi vòng theo bờ hồ và rời bờ hồ từ vị trí N để đi thẳng đến làng B. Hãy tìm vị trí thích hợp của M và N trên bờ hồ để đường đi (AMNB) là ngắn nhất.
Làng A
M
N
Hồ nước
Làng B
	Đây là một bài toán không hề đơn giản, tôi đưa ra với ý nghĩa giới thiệu một bài toán thực tiễn và rất mong chờ cách giải quyết từ bạn đọc.
Chương III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
	Nghiên cứu thực nghiệm sư phạm vào tháng 9 năm 2014 trên học sinh các lớp 10A3 và 10A4 Trường THPT Lạng Giang số 1.
2. Tiến hành khảo nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm
	Cùng đưa ra Bài kiểm tra gồm các bài toán thực tiễn trong bài viết này (từ Bài toán thức tiễn 1 đến Bài toán thực tiễn 5, thang điểm mỗi bài là 2 điểm) đối với 44 học sinh lớp 10A3 và 44 học sinh lớp 10A4, tuy nhiên chỉ giới thiệu Bài toán gốc cho lớp 10A4 mà không giới thiệu cho lớp 10A3. Kết quả điểm kiểm tra của học sinh hai lớp như sau:
Lớp
Sĩ số
Điểm từ 8 trở lên
Điểm từ 6.5 đến dưới 8
Điểm từ 5 đến dưới 6.5
Điểm từ 3.5 đến dưới 5
Điểm dưới 3.5
10A3
44
0
8
30
6
0
10A4
44
10
25
9
0
0
	Kết quả kiểm tra cho thấy học sinh lớp 10A4 khi được hướng dẫn khai thác một bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất (Bài toán gốc) đã có những chuyển biến rõ rệt so với lớp 10A3 trong việc vận dụng vào giải quyết các bài toán thực tiễn nêu ra. Từ chỗ tương đối mơ hồ và không có định hướng trong việc giải quyết dạng bài toán này, sau khi học tập chuyên đề này các em đã chủ động và tích cực nhận biết và giải quyết tốt tình huống thực tiễn có liên quan.
3. Đề xuất biện pháp
	Qua thời gian nghiên cứu và tiến hành khảo nghiệm thực tế, tôi có một vài đề xuất nhân rộng mô hình giáo viên và học sinh làm quen với việc gắn các bài toán trừu tượng với những tình huống thực tế gần gũi, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy và học trong nhà trường.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ
I. KẾT LUẬN
	Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa có nhiều nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tôi mong rằng sáng kiến kinh nghiệm này ít nhiều có thể giúp thầy cô và các em học sinh trong công tác dạy và học đáp ứng yêu cầu giáo dục trong giai đoạn hiện nay. 
	 Bằng những kinh nghiệm sau một số năm giảng dạy ở trường phổ thông, nhất là những bài học rút ra khi dự giờ thăm lớp của các đồng nghiệp cũng như, cùng với sự giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA"
II. ĐỀ NGHỊ
Tôi xin được đề xuất một số ý kiến nhỏ như sau:
- Giáo viên và học sinh cần tích cực tham gia các cuộc thi "Dạy học với chủ đề tích hợp" và "Vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết các tình huống thực tiễn.
- Giáo viên cần tích cực gắn các bài toán trên lớp với các bài toán và tình huống trong thực tiễn, hướng dẫn học sinh tự xây dựng các bài toán thực tiễn trong phạm vi kiến thức đã học.
- Các tổ chuyên môn trong các nhà trường thường xuyên tổ chức các buổi ngoại khóa với các hoạt động mang nội dung gắn kiến thức trên sách vở của học sinh với thức tiễn, giúp các em học sinh làm quen với các tình huống thực tiễn và sẵn sàng sử dụng kiến thức và kĩ năng của mình để giải quyết các tình huống thực tiễn đó.
	Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong quá trình giảng dạy, học tập và nghiên cứu. Do thời gian nghiên cứu, trình độ và kinh nghiệm có hạn nên những vấn đề nêu trên không tránh khỏi có sự thiếu sót. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp để tôi có thể rút ra kinh nghiệm trong quá trình dạy học và giúp việc dạy học ngày một tốt hơn. 
	Tôi xin chân thành cảm ơn! 
Lạng Giang, ngày 30 tháng 9 năm 1014.
CẤP TRÊN PHÊ DUYỆT Người thực hiện
	 Ninh Văn QuangDANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Huy Cận. Bài tập quỹ tích và dựng hình, Nhà xuất bản giáo dục 1999.
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên). Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục 2006.
3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên). Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục 2006.