SKKN Việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải một số bài Toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
VIỆC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 
BUNHIACOPXKI VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI 
TOÁN 
PHẦN I 
 ĐẶT VẤN ĐỀ 
 I . Lý do chọn đề tài: 
 - Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục, 
từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và sau đại học 
nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong chương trình 
giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không 
thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có 
thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các 
thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. 
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi 
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà 
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp 
THCS và kỳ thi vào lớp 10. 
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải 
các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn 
giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất 
đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải 
các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của 
học sinh.Với ý nghĩ như vậy tôi giới thiệu “việc sử dụng bất đẳng thức 
bunhiacopxki vào giải một số bài toán ” 
II. PHẠM VI ĐỀ TÀI 
Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong 
khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình 
tự từ đơn giản đến phức tạp. 
III. ĐỐI TƯỢNG 
Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9. 
IV. MỤC ĐÍCH 
Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học 
sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có 
điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo 
cho học sinh. 
PHẦN II 
 NỘI DUNG 
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC 
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC. 
 - Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan 
trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. 
Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, 
rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. 
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi 
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà 
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp 
THCS và kỳ thi vào lớp 10. 
 - Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra 
một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó 
mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng 
thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài 
toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh. 
2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ 
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9. 
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
A. ¸p dơng bt ®¼ng thc Bunhiacopski ®Ĩ chng minh c¸c bt ®¼ng thc 
I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số 
 - Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải 
biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là 3 kỹ 
thuật thường gặp: 
+Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại. 
+Dồn phối hợp. 
+Kỹ thuật nghịch đảo. 
1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại. 
Ví dụ 1: Cho 2 ba , a,b R 
Chứng minh rằng: 44 ba 2 
Lời giải: 
Ta viết a4+b4=  222222 )(112121 ba 
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 
 22.
8
1
2
1 4422 ba (đfcm) 
Ví dụ 2: cho 
3
4)1()1()1( ccbbaa 
Chứng minh rằng: 41 cba 
Lờigiải: 
Tư giả thiết ta có: 
)())(111(
3
1)()1()1()1(
3
4 222222222 cbacbacbacbaccbbaa 
B.C.S 
 )(
3
1 2 cbacba 
 04)(32 cbacba 
0)4)(1( cbacba 
41 cba 
Ví dụ 3: cho x,y R . Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì 
2
25)1()1( 22 
y
y
x
x 
Lời giải: 
Ta sử dụng )(2)( 222 baba 
2
)( 222 baba 
Khi đó ta có: 
2222 )11(
2
1)11(
2
1)1()1(
xyy
y
x
x
y
y
x
x 
mà 41
4
14121 
xy
xyxyxyyx 
vậy 
2
25)41(
2
1)1()1( 222 
y
y
x
x 
2. Kỹ thuật dồn phối hợp 
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: 743 22 yx 
Lời giải: 
Ta viết  49)43()2(3)43( 22222 yxyx 
Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng 
qpqbpa
c
qapc
b
cqbp
a
3
..
Lời giải 
)(. qcpba
qcpb
aa 
)(. qapcb
qapc
bb 
)(. qbpac
qbpa
cc 
Gọi S là vế trái ta có: 
  ))(()()()()( 2 cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba (2) 
Mà 2)(
3
1 cbacabcab (3) 
Vì (3) 
2
222222
2
)(
222))(()(2)(3
)()(3
cba
cabcabcbacbacabcabcabcabcabcab
cbacabcab
Từ (2), (3) 22 ).(
3
1).()( cbaqpScba 
qp
S 
3 (đpcm) 
Ví dụ 3: 
Cho 0 zyx Chứng minh rằng: 222222 zyx
y
xz
x
zy
z
yx (1) 
Lời giải : Xét hai dãy số: 
y
xz
x
zy
z
yx
,, và 
x
yz
z
xy
y
zx ,, 
Ta có:
2222
222222
)()).(( zyx
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx (2) 
Xét hiệu 
0))()()((1
(1 232323232323
222222
zxyzxyxzzyyx
xyz
yzxyzxxzzyyx
xyzx
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yxA
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx 222222 (3) 
Từ (2), (3) suy ra đpcm 
3. Kỹ thuật nghịch đảo 
Dạng 1 2
1
2
1
2
1
)())(( 
n
i
i
n
i i
i
n
i
i xy
xy 0  iy 
Chứng minh: 
Ta viết   
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
n
i i
i
n
i
i
i
i
n
i
i xy
xy
y
xy
y
xy
1
2
1
2
2
2
1 1
2
2
1
2
1
)()).(()(.)()(( 
Ví dụ Chứng minh rằng 0,,2
222
  cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
 (1) 
Lời giải 
Ta có  2
222
)()()()( cba
ba
c
ac
b
cb
abaaccb 


2)(2
)( 2222 cba
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a 
Ví dụ 2 Chứng minh rằng 
 cba
cba
c
bac
b
acb
a 
222
 (1) 
 a,b,c là độ dài cạch của ABC 
Lời giải 
   2)()1(.)()()( cbaVTcbabacacb 
cbaVT )1( 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng 
cbacba
ba
c
ac
b
cb
a ,,
2
222333
 (1) 
Lời giải: 
2
)1(
222444 cba
cbca
c
babc
b
acab
a 
Theo bất đẳng thức B.C.S : 
   2222 )()1(.)()()( cbaVTcbcabcbaacab 
Mặt khác ta có: cabcabcba 222 
2)(2
))(()1(
222222 cba
cabcab
cabcabcbaVT 
Dạng 2 2
111
)())(.( 
n
i
i
n
i i
i
n
i
ii xy
xyx 0,  ii yx 
Chứng minh: 
Theo bất đẳng thức B.C.S ta có: 

 
  
 

n
i
i
n
i i
i
n
i
ii
n
i i
i
n
i
ii xy
xyx
y
xyxVT
1
2
2
111
22
1
)(..)(.).( 
Ví dụ 1 Chứng minh rằng 0,,
2
3  cbaba
c
ac
b
cb
a 
Lời giải: 
Ta viết   )(3)()1(.)()()( 2 cabcabcbaVTbacacbcba 
2
3
)(2
)(3 
cabcab
cabcabVT (Đpcm) 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 
3
2
32323232
 cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a 
Lời giải: 
Ta có  2)(32).32( dcbadcb adcba 
Ta sẽ chứng minh  2)(23)32( dcbadcba 
0)()()()()(
)(3)(2
22222
2222
dccbdacaba
dcbacdbdbcadacab 
II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học 
Cho ABC có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng 
0)()()( 222 acaccbcbbaba (1) 
Lời giải: 
Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0 
Sao cho a=x+z 
 b=z+x 
 c=x+y 
0)(
0))(()())(()())(()()1(
333
222
zyxxyzyxxzzy
zxzyyxyzyxxzxyxzzy 
 zyxz
x
y
z
x
y 
222
Theo bất đẳng thức B.C.S 2222 )())(( zyx
z
x
y
z
x
yzyx 
zyx
z
x
y
z
x
y 
222
 (đpcm) 
Ví dụ 2: ABC có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng 
)(
35
36 2222
p
abcpcba (1) 
Lời giải 


cb
abccbacba
2
2
2
)(
35
36()1(
2
222 
2222 )(9)(35 cbacba (2) 
x 
A 
C
B 
z 
x
y 
y 
z
Theo CôSi: 3 222222 3 cbacba 
33 abccba 
cba
abccba 
72)(8 222 (3) 
Từ (2)và (3) suy ra ĐPCM. (dấu bằng xẩy ra khi ABC đều) 
Ví dụ 3: 
Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạch của ABC tại M,N,P. Chứng minh rằng: 
S(MNP) 4
S 
(S- Diện tích tam giác) 
Lời giải: 
Đặt S(ANP)=S1; S(BPM)=S2 , S(CMN)=S3 
Ta phải chứng minh: 4
3321 
S
SSS
 (1) 
2
222
).()()()( pcabcab
ab
cp
ca
bp
bc
ap 


4
3
)(4
)()1(
2
cabcab
cbaVT 
4
3321 
S
SSS 
4
1)( 
S
S MNP (Dấu “=” xẩy ra khi ABC đều) 
B. Sư dơng bt ®¼ng thc BUNHIACOPSKI ®Ĩ gi¶ng c¸c bµi to¸n cc trÞ ®¹i s : 
Sử dụng kết quả: 
a. Nếu Cxaxaxa nn ..........2211 , C là hằng số thì 
22
2
2
1
2
22
2
2
1 ..........
)............(
n
n aaa
CxxxMin 
Dấu “=” xẩy ra khi 
n
n
x
a
x
a
x
a ...........
2
2
1
1 
b. Nếu ConstCxxx n 222221 ............ thì 
22
2
2
12211 ...........||)..........( nnn aaaCxaxaxaMax 
Dấu “=”xẩy ra khi 0...........
2
2
1
1 
n
n
x
a
x
a
x
a 
Ví dụ 1: Cho 122 yx tìm )11.( xyyxMax 
Lời giải: 
A 
P
N 
M 
B C
 
222))(11(
2)1()1()(11.
2222
2222
yx
yxxyyxxyyxA
2
222 yxMaxA 
Ví dụ 2: Cho 91636 22 yx Tìm Max, Min của A=(y-2x+5) 
Lời giải: 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
 22222 )2()
4
1()
3
1(1636 xyyx 

4
52
4
5)2(
16
25 2 xyxy 
4
2552
4
15 xy 
)
20
9,
5
2(
4
25)52( yxxyMax 
)
20
9,
5
2(
4
15)52( yxxyMin 
Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x4+y4+z4 
Lời giải: 
Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) 
Suy ra: (x2+y2+z2)2 42 
16))(111( 444222 zyx 
3
16444 zyx 
3
2
3
16 zyxMinA 
Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z 1 và x+y+z=1. Tìm MaxA biết 
zyxA 111 
Lời giải: Theo B.C.S ta có 
324.3)111)(111(111 222 zyxzyxA 
3
132 zyxMaxA 
Ví dụ 5: cho 
20
25
16
22
22
yvxu
vu
yx
Tìm Max (x+v) 
Lời giải: Ap dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 
2025.20))((20 2222 vuyxyvxu 
yuxv
v
y
u
xyvxu 20 
Mặt khác 
2222222222222 )(22)()()()(41 vxxvvxyuvxuyvxvuyx 
41 vx 
20
25
16
41)(
22
22
yvxu
yu
vu
yx
vxMax 
41
202020)( vxuvxy 
41
20 y , 
41
16 x , 
41
25 z 
Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để 
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
xA 2
2
2
2
4
4
4
4
 đạt giá trị