SKKN Phân loại và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG 
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 I - Lời nói đầu 
 Dạng toán"Giải bài toán bằng cách lập phương trình"ở trương trình đại 
số lớp 8 và lớp 9 ở trường Trung học sơ sở là dạng toán tương đối khó đối với 
học sinh.Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời 
văn và thường được xen trộn nhiều ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường ngôn 
ngữ toán học,vật lý).Hầu hết các bài toán có các dữ kiện ràng buộc nhau,ẩn ý 
dưới dạng lời văn buộc học sinh phải suy luận tốt mới tìm được sự tương quan 
giữa các đại lương mà thưc chất các vấn đề khoa học giải toán là phương trình. 
 Trong phân phối trương trình toán học ở trườnh Trung học cơ sở thì đến 
lớp 8 hoc sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi 
tương đương các phương trình .Nhưng việc giải phương trình đã có trong 
chương trình toán học từ lớp 1với mức yêu cầu tuỳ theo từng đối tượng học 
sinh. 
 ở lớp 1và 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô 
trống: 
 - 3 = 8 
 ở lớp 3 được nâng lên dưới dạng: x+5-3=12 
 ở lớp 4,5,6 cho dưới dạng phức tạp hơn: 
 X : 5 = 10 : 2 
 6x + 4 = 16 
 (x + 12). 5 =75 
 ở lớp 7,8,9 ngoài những mối liên hệ như trên,bài toán còn có dưới dạng 
lời văn có các dữ kiện kèm theo.Vì vậy muốn giải được bài toán này học sinh 
phải có suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ 
phương trình). 
 Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn 
liền với nội dung thưc tế .Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số 
liệu có liên quan đến thực tế.Do đó khi giải toán hoc sinh thường mắc sai lầm 
thoát ly thực tế dẫn đến quên đữ kiện của ẩn.học sinh không khai thác hết mối 
liên hệ ràng buộc của thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm 
loại bài toán này.Mặt khác cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng 
lực,trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh 
thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán,chưa khái quát được cách 
 giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá 
trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiên tronh bài toán dẫn đến lúng túng 
tronh việc giải loại toán này. 
 Chính vì vậy,muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ 
phương trình thì đều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong 
bài thành những mối quan hệ toán học.Do vậy nhiệm vụ của người thầy giáo 
không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy 
hoc sinh cách giải bài tập.Do đó,khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này,giáo 
viên phải dựa trên một số quy tắc chung. 
 Yêu cầu về giải một bài toán,quy tắc gải bài toán bằng cách lập phương 
trình, phân loại các dạng bài toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại 
lượng( tăng ,giảm ,thêm, bớt) làm sáng tỏ các mối quan hệ giữa các đại lượng 
dẫn đến lập được phương trình dễ dàng.Đây là bước quan trọng khó khăn đối 
với học sinh. 
 Trong thời gian giản dạy ở trường Trung học cơ sở,qua học hỏi kinh 
nghiệm của các thầy giáo lớp trước và các đồng nghiệp với mong muốn được 
trao đổi cùng các đồng nghiệp những kinh nghiệm giảng dạy về dạng toán 
"Giải bài toán băng cách lập phương trình" 
 Do trình độ còn hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những sai sót.Rất 
mong các đồng nghiêp góp ý cho bản thân tôi rút được kinh nhgiệm trong bài 
giảng và áp dụng . 
II -Yêu cầu giải một bài toán 
I - Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình 
 Một trong các phương pháp hướng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa 
vào quy tắc chung .Giải bài toán bằng cách lập phương trình .Nội dung quy tắc 
gồm các bước: 
 Bước1 : Lập phương trình (gồm các công việc) 
 -Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt đIễu kiện cho ẩn 
 -Dùng ẩn số và các số đã biết,đã cho trong bài toán đễ biểu thị số liệu khác 
có tên liên quan,diễn giải các bộ phận hình thành phương trình (hệ phương 
trình) 
 Bước 2 :Giải phương trình (hệ phương trình) 
 Tuỳ thuộc vào từng dạng phương trìnhg mà chọn cách giảỉ cho thích hợp 
và ngắn gọn. 
 Bước 3 : Nhận định kết quả ,thử lại và trả lời 
 -Chú ý so sánh vớ điều kiện đặt ra cho ổn thoả xem có thích hợp 
không.Sau đó trả lời kết quả(có kèm theo dơn vị) 
 Mặc dù đã có quy tắc trên xong người giáo viên trong quá trình hướng 
dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu về gải một 
bài toán nói chung. 
II - Yêu cầu về giải một bài toán 
 1 -Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót măc dù 
nhỏ. 
 Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học 
sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức,phương 
pháp suy luận,kỹ năng tính toán,ký hiệu, kiều kiện bài toán 
 (Bài 11,SGK,đề số 8) 
 Ví dụ : Dường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn dương bộ 
10 Km.Để đi từ A đến B,một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút,một ô tô đi hết 2giờ. 
Biết vận tốc ca nô kém vân tốc ô tô là 17 km/h.Tính vận tốc ca nô. 
 *Hướng dẫn cho học sinh : 
 Ta biểu thị các đại lương đã biết và chưa biết trong bảng để tranh nhầm 
lẫn giữa các đaị lượng 
 Vận tốc (Km/h) Thời gian(h) Quãng đường(Km) 
Ca nô x 3 1/3 3 1/3 x 
Ô tô X + 17 2 2(x+17) 
 Vì bảng trên ta có thể chọn ẩn và trình bày lời giải như sau: 
 Gọi vân tốc của ca nô là x (km/h) x>0 
 Vận tốc của ô tô là x+17(km/h) 
 Đường sông từ Ađến B dàI 3 1/3 km 
 Đường bộ từ Ađến B dài 2(x + 17) (km) 
 Theo bài ra ta có phương trình : 
 2(x + 17) -3 1/3 =10 
 Giả phương trình ta có x = 18 
 X=18thoả mãn đIều kiện x>0 vận tốc ca nô là 18 km/h 
 2 - Yêu cầu2 : Lời giải phải đấy đủ chính xác,chú ý nhất là điêu kiện của 
ẩn . Muốn học sinh không sai phạm sai lầm khi lấy nghiệm nào phù hợp 
của ẩn.Giáo viên phải giúp học sinh kết hợp điều kiện để loại nghiệm không 
phù hợp khi giải phương trình. 
 Ví dụ 2 : (SGK Đề số 9) 
Hai cạnh hình chữ nhật hơn kém nhau 6 cm.Diện tích của nó bằng 40 cm2.Tính 
các cạnh của hình chữ nhật. 
 Chú ý: Khi giải loai toán này phải chú ý đIều kiện độ dài hình học luôn 
luôn là một số dương . 
 Gọi môt cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (x>0) 
 Thì cạnh kia là (x+6) (cm) 
 Ta có phương trình ; x(x+6)=40 hay x2+6x -40=0 
 Giải phương trình ;x1=4 ; x2=-10 
 Giáo viên giúp học sinh từ điêu kiện để loại nghiệm x2chỉ lấy nghiệm 
 x1=4 chiều rộnghình chữ nhật là : 4cm 
 Chiếu dài hình chữ nhật là : 4+6=10cm 
 ở bài này nhgiệm x1=-10có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ 
nhật,hoc sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán 
 3- Yêu cầu 3:Lời giải phải dủ và mang tính toàn diện. 
 Hướng dẫn học sinh không đọc bỏ sót một chi tiết nào,không thừa nhưng 
cũng không thiếu .Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ chưa? 
Kết quả bài toán đã là đại diên phù hợp với mọi cái chung.Nếu thay đổ điều 
kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt kết quả vẫn luôn luôn đúng. 
 Ví dụ 3:(Bài ôn luyện toán 9-NXB Hà Nội ) 
 Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạng đáy .Nếu chiều cao tăng thêm 3 
dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2.Tính chiều 
cao và cạnh đáy . 
 Lưu ý học sinh :Dù có thay đổi chiều cao,cạnh đáy của tam giác thì diện 
tích(S) của nó luôn được tính theo công thức: 
 S=1/2 (cạnh dãy x chiều cao) 
 Từ đó, gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu)là xdm (x>0) 
 Thì chiều cao sẽ là 3/4x(lúc đầu) 
  S lúc đầu là 1/2x .3/4x 
 S lúc sau là 1/2 (x-2).(3/4x+3) 
 Theo bài ra ta có phương trình: 5
5
125,5
4
80,5
3
45,5
2
20,5
1
5
22222 
 Giải phương trình ta được x=20 thoả mãn diều kiện 
 chiều cao của tam giác là : 3/4 .20= 15dm 
 4- Yêu cầu 4: Lời giải của bài toán phải đơn giản. 
 Bài giải phải đảm bảo được ba yêu cầu trên.Không sai sót có lập luận 
mang tính toàn diện và phù hợp với kiến thức ,trình độ đại đa học sinh hiểu và 
làm được 
 Ví dụ 4:(bài toán cổ) 
 Vừa gà vừa chó 
 Bó lại cho tròn 
 Ba mươi sáu con 
 Một trăm chân chẵn 
 Hỏi có mấy gà mấy chó? 
 Với bài toán này nếu giải như sau: 
 Gọi số gà là x (x>0;x N) thì số chó là 36 - x 
 Gà có 2 chân số chân gà là 2x chân 
 Chó có 4 chân số chân chó là 4 (36-x) chân 
 Theo bài ra,ta có phương trình :2x + 4( 36 - x) = 100 (1) 
 Giải phương trình x=22 gà có 22 con 
 số chó là 36-22=14 con 
 Giải như trên thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. 
 Nhưng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x,y) khi đó bài toán trở nên khó 
hiểu và phức tạp. 
 Hoặc gọi số chân gà là x số chân chó là 100-x 
 phương trình là 36
4
100
2
xx : (2) 
 Rõ ràng phương trình (1) đơn giản hơn phương trình (2).Do đó cần lưu ý học 
sinh chọn cách đơn giản dễ hiểu nhất phù hợp với trình độ của hoc sinh . 
 5- Yêu cầu : Lời giải phải trình bày khoa học 
 đó là lưu ý mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán lôgic chặt chẽ với 
nhau,các bước sau phải được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm 
nghiệm, chứng minh là đúng ,hoăc những điều đủ biết từ trước. 
 Ví dụ 5 :(Toán phát triển đại9) 
 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số,biết răng nếu đem số đó chia cho tổng các 
chữ số của nó thì gọi là 4 và dư 3,còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số 
của nó thì được thương là chia 3 và dư 5. 
 Bài toán yêu cầu tìm số có 2 chữ số ab 
 Trước khi giải cần lưu ý học sinh về điều kiện của các chữ số.Chữ số hàng 
chục và chữ số hàng đơn vị có điều kiện khác nhau : 0<a 9; 0 b 9. 
 =>Gọi chữ số hàng chục là x thì chữ số hàng đơn vị là y (0 x 9 ; 0 y 
9) 
 Số đã cho là 10x+y 
 Theo đề bài ra ta có hệ phương trình. 
 10x+y=4(x+y)+3. 
 10x+y=3xy+5. 
Giải hệ ta được x1=1/2; x2=2 
 x1=1/2 không phù hợp với điều kiện loại 
 x2=2 y=3 
 Vậy số phải tìm là 23 
 6. Yêu cầu 6 : Lời giải bài toán rõ ràng đầy đủ (có nên thử lại) 
 Lưu ý đến việc giải các bước lập luận ,tiến hành không chồng chéo nhau, 
phủ định lẫn nhau,kết quả phải đúng . 
 Muốn vậy cần rèn luyện cho học sinh sau khi giải xong cần thử lại kết quả 
và tìm các nghiệm của bài toán ,tránh bỏ sót,nhất là đ