SKKN Hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Đại Số ở Lớp 9

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ 
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT 
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Ở LỚP 9
A. Đặt Vấn đề 
I. Lời mở đầu: 
Môn toán là môn học có vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, là 
công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác. Học toán không chỉ 
giúp các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi, vận dụng những 
hiểu biết của mình vào thực tế mà môn Toán còn có khẳ năng phát triển phẩm 
chất đạo đức cho học sinh. Bởi vì khi học toán học sinh phải hình thành và dần 
hoàn thiện các đức tính như: cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý trí vượt khó, 
yêu thích, trung thực, tự tin, khiêm tốn... Vì vậy trong quá trình dạy học toán đòi 
hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp giảng dạy phù hợp với từng bài, 
từng phần nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh, từ đó giúp các em 
yêu thích môn học hơn. Chính vì thế mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho 
các em trong các buổi học bồi dưỡng là rất cần thiết. 
Trong chương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về tìm giá trị 
lớn nhất ( GTLN)và giá trị nhỏ nhất ( GTNN), nhưng trong hệ thống bài tập lại 
có đề cập đến. Loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng, nâng cao, 
hay trog các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT.v.v  Với mục đích nhằm nâng 
cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến 
thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. 
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 
1. Thực trạng: 
Qua thực tế giảng dạy ở lớp 9 , và các lớp khác tôi thấy đa số các em còn 
bỡ ngỡ với dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 
đại số. Một số ít em làm được các bài tập dạng này ở sách giáo khoa và sách bài 
tập nhưng các bài tập này ở mức độ còn đơn giản và số lượng rất ít. Khi gặp các 
dạng phức tạp hơn thì hầu như các em không định hướng được cách làm. 
Theo dõi học sinh ở lớp học bồi dưỡng khối 9, và khối 8 năm 2005- 2006-
2007 trường THCS Yên Phú, Yên Định, Thanh Hóa tôi thấy kết quả như sau: 
+ 30 % học sinh có thể làm được bài tập dạng tìm giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất ở trong sách giáo khoa và sách bài tập. 
+ 8 % học sinh có thể làm được bài tập dạng này ở mức độ cao hơn 
nhưng chỉ ở dạng tam thức bậc hai. 
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên: 
Từ tình hình thực tế nêu trên và qua kết quả điều tra tôi thấy số lượng học 
sinh làm được dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu 
thức đại số còn rất ít và khả năng sáng tạo còn yếu. Đa số các em ngại khi gặp 
dạng toán này. Vì vậy tôi đã đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số để giúp các em tự tin và có thể làm tốt 
dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó kích thích học sinh thêm 
yêu thích say mê môn toán, không ngừng tìm tòi, khám phá để thấy được “cái 
hay”, “ cái đẹp” của môn toán. 
B. NộI DUNG 
I. các giải pháp thực hiện 
Từ thực trạng nêu trên, để giúp học sinh biết cách làm các bài tập về tìm 
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tôi đã tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu 
để đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức đại số. 
Để chuẩn bị cho việc “ hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của một biểu thức đại số” tôi đã tiến hành kiểm tra lại các kiến thức lý 
thuyết đã học có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; các hằng đẳng 
thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn của một số; chia đa thức cho 
đa thức 
Từ đó giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . 
Trước khi hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
một biểu thức đại số tôi phải nghiên cứu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất. Từ đó giúp học sinh biết được và nắm vững: 
Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta phải chỉ ra: 
A £ m với mọi giá trị của biến (với m là hằng số) và tồn tại giá trị của 
biến để A = m. Khi đó m là giá trị lớn nhất của biểu thức A. 
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B ta phải chỉ ra: B £ n với mọi 
giá trị của biến (với n là hằng số) và tồn tại giá trị của biến để B = n. Khi đó n là 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức B. 
Thông qua các ví dụ, hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm giá trị 
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, giúp học sinh có thể nhận dạng 
và vận dụng phương pháp một cách phù hợp với từng dạng bài tập về tìm giá trị 
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 
II. các biện pháp để tổ chức thực hiện 
1. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một 
biểu thức đại số: 
1.1. Phương pháp dựa vàohằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình 
phương của một hiệu: 
Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = nxg 2)( + a 
( với n Î N* ; a là hằng số ). 
Khi đó ta có y ³ a. Suy ra min y = a Û g(x) = 0. 
Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = -[ ]2( ) nh x + b ( với n 
Î N* ; b là hằng số ). 
Khi đó ta có y £ b. Suy ra Max y = b Û h(x) = 0. 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A1= x
2 – 3x + 1. 
GV hướng dẫn học sinh biến đổi: 
A1= 
2
3 5
2 4
xæ ö- -ç ÷
è ø
. 
Vì 
2
3
0 
2
xæ ö- ³ç ÷
è ø
 với x" nên A1 5 -
4
³ với x" 
Vậy min A1 = 5 -
4
Û
3 3
0
2 2
x x- = Û = . 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A2= -4x
2 +5x -1. 
GV hướng dẫn học sinh biến đổi: 
A2 = - (4x
2 -5x +1) 
( )2
2
5 25 21
2 2.2 .
2 4 4
5 21
2
2 4
x x
x
é ù= - - + -ê úë û
æ ö= - - +ç ÷
è ø
Vì 
2
5
2 0
2
xæ ö- - £ç ÷
è ø
 với x" nên A2 21
4
£ với x" 
Vậy Max A2 = 21 
4
Û
5 5
2 0
2 4
x x- = Û = . 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A3= -5x
2 +4xy –y2 + 2x + 1 
GV hướng dẫn học sinh biến đổi: 
A3= - ( 4x
2 – 4xy + y2) – ( x2 – 2x + 1) +2 
 = -(2x – y)2- (x – 1)2 + 2 
 Vì -(2x – y)2 £ 0 với ,x y" 
- (x – 1)2£ 0 với x" 
Nên A3 £ 2 với ,x y" 
Vậy Max A3 =2 Û 2 0 1
1 0 2
x y x
x y
- = =ì ì
Ûí í- = =îî
1.2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: 
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta có thể sử dụng các bất đẳng thức 
đã biết: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức BunhiaCôpxki, bất đẳng thức về giá 
trị tuyệt đối. 
* Bất đẳng thức Côsi: ( mở rộng cho nhiều số) 
Nếu a1, a2 , a3 , . an là các số không âm ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 n 1 2 3 n(a a a +....+ a ).( a a +....+ a )+ + + + 
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1= a2 = a3 = . = an 
* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: 
 Nếu a1, a2 , a3 , . an và b1, b2 , b3 , . bn là 2n số tùy ý ta có: 
(a1 b1 + a2 b2 + a3b3+. + an bn )
2 £ 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 n 1 2 3 n(a a a ... a ).(b b b ... b ).+ + + + + + + + 
 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 31 2
1 2 3
... n
n
a aa a
b b b b
= = = = 
* Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: 
a b a + b .+ ³ 
|||||||||| bababa -³-³+ 
 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b ³ 0. 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
C1= 
y - 2x - 1
 + 
x y
. 
GV hướng dẫn: 
Điều kiện: x³ 1; y³ 2. 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 1 và x – 1 ta có: 
1 + x - 1
 1(x - 1)
2
³
 x x - 1 1
Hay: x - 1 
2 x 2
³ Þ £ ( vì x > 0 ). 
Tương tự: 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 2 và y – 2 ta có: 
y 2 + y - 2
 = 2(y - 2)
2 2
³
 y - 2 1 2
Hay: = 
y 42 2
£ 
 Vậy: C1 11 2 2 + 2 + hay C 2 4 4£ £ 
 Þ Max C1 = 
x - 1 = 1 x = 22 2
y - 2 = y y = 44
ì ì+
Û Ûí í
î î
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
C2 = x + y biết: x + 2 y = 10. 
GV hướng dẫn: 
áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho hai bộ số (1; 2) và ( x; y ) ta 
có: 
2 2 2 2 2(1 x 2 y) (1 2 ). ( x ) ( y )é ù+ £ + +ë û 
hay: 102 5(x + y)£ x + y 20.Þ ³ 
Vậy: min C2 = 20 
yx
x = 4
 1 2
y = 16
x 2 y 10
ì
= ìïÛ Þí í
îï + =î
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
C3 = 
2 2(x + 5) + (x - 3) . 
GV hướng dẫn: 
áp dụng bất đẳng thức a b a + b .+ ³ 
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b ³ 0. 
Biến đổi: C3 = x + 5 x - 3 x + 5 3 - x x + 5 + 3 + x+ = + ³ 
 Hay: C3 8³ . 
 Vậy: min C3 = 8 ( x + 5 ) ( 3 - x ) 0Û ³ 
 -5 x 3Û £ £ . 
1.3. Phương pháp đổi biến số: 
Trong quá trình tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có những bài ta cần 
đổi biến số để có cách làm đơn giản, thuận tiện hơn. 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
D1= 
2
2
3x 4 6
2 1
x
x x
- +
- +
. 
GV hướng dẫn: 
 Nhận thấy không thể biến đổi D1 về dạng ở phương pháp b) được nên 
sẽ nghĩ đến đặt ẩn phụ 
Đặt y = x - 1 Þ x = y + 1 
Vậy D1= 
2 2
2 2
3(y + 1) 4( 1) 6 3 2 5y y y
y y
- + + + +
= . 2
2 5
3
y y
= + + 
Lại đặt: a = 1
y
 thì D1 = 5a
2 + 2a + 3 = 5
2
1 14 14
5 5 5
aæ ö+ + ³ç ÷
è ø
min D1 = 
14 1
5 1 5 4
5 5
a y x xÛ = - Û = - Û - = - Û = - 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
D2 = ( 1)( 2)( 3)x x x x+ - - . 
GV hướng dẫn: 
Biến đổi D2 = [ ] [ ]( 2) . ( 1)( 3)x x x x- + - 
 = ( ) ( )2 22 2 3x x x x- - - 
Đặt x2- 2x = t ( lưu ý học sinh điều kiện t ³ -1) 
 D2 = t(t -3) = t
2 -3t 
 = 
2
3 9 9
2 4 4
tæ ö- - ³ -ç ÷
è ø
 min 2
9
4
D = - Û t = 3 1
2
> - 
2
1,2
3 2 10
2
2 2
x x x
±
Û - = Û = 
1.4. Phương pháp miền giá trị: 
Để tìm miền giá trị, ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 
hai là: 0³D ( hoặc . 0'³D ) 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P1= 
25 4 1x x- + . 
GV hướng dẫn: 
Gọi a là một giá trị của P1. Biểu thức P1nhận giá trị a khi và chỉ khi 
phương trình 25 4 1x x- + = a có nghiệm. 
25 4 1 0x x aÛ - + - = có nghiệm 
5
1
01.5 ³Û³-=D aa 
. 
Vậy min P1= 1 
5
Û phương trình có nghiệm kép 2
5
x = . 
Giáo viên lưu ý học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về lũy thừa bậc 
chẵn để tìm giá trị nhỏ nhất. 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
P2= 2
4 3
1
x
x
+
+ . 
GV hướng dẫn: 
Gọi a là một giá trị của P2. Biểu thức P2 nhận giá trị a khi và chỉ khi 
phương trình 24 31
x
x
+
+
= a có nghiệm. 
Û ax2 - 4x + a - 3 = 0 (1) có nghiệm. 
Nếu a = 0Û x = - 3