Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC 
ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ : 
Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng 
nhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết. Đặc biệt mỗi khi học 
sinh tiếp cận với một lý thuyết mới, người thầy phải khai thác các ứng dụng quan 
trọng và ưu việt của nó để trang bị cho học sinh, có như thế học sinh mới hứng thú, 
năng động và sáng tạo trong việc học của mình. 
Trong chương trình toán phổ thông trung học số phức vừa được đưa vào giảng 
dạy đại trà được 2 năm. Ứng dụng của số phức được giới thiệu ở sách giáo khoa rất 
ít, các tài liệu viết về ứng dụng số phức rất hiếm. Do đó với thời lượng thời gian cũng 
như lý thuyết mà các em được học ở trường người thầy phải nghiên cứu và bố trí dạy 
cho các em một số ứng dụng quan trọng và nổi bật nhất cho các em. Bản thân tôi 
nhiều năm được phân công giảng dạy các lớp năng khiếu nên điều kiện tiếp xúc với 
các ứng dụng của lý thuyết số phức để giải toán khá nhiều vì vậy khi trực tiếp giảng 
dạy phần số phức ở chương trình toán phổ thông tôi đã trang bị cho học sinh một số 
ứng dụng mà sách giáo khoa không đề cập đến và dĩ nhiên dạy ứng dụng đó ở thời 
điểm nào, dạy như thế nào thì sau đây tôi xin chia sẻ với các đồng nghiệp một bài dạy 
“Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho học 
sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp các em thành công 
trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinh 
giỏi các cấp. 
 B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN: 
 Để học sinh hiểu một cách sâu sắc và có cơ sở lý luận tôi đã dẫn dắt học sinh 
vào vấn đề đơn giản như sau : 
Tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi 
Ta gọi w = x + iy là một căn bậc hai của z. 
Ta có : 2 2 2 2w z x y xyi a bi= Û - + = + 
Vậy ta có hệ : 
2 2
2
x y a
xy b
ì - =
í
=î
Như thế, một hệ phương trình có thể “xuất xứ” từ các phương trình nghiệm 
phức. Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình suy ra hệ phương trình. Ta sẽ 
được quá trình hệ phương trình è phương trình. Giải hệ phương trình, so sánh phần 
thực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình. 
I. Bước chuẩn bị 
 1/ Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết số phức, tìm ra những ứng dụng cần 
thiết nhất từ đó xây dựng chương trình để đưa vào truyền đạt cho học sinh. 
 2/ Chọn bài tập mẫu 
 Chọn một số bài tập mẫu tiêu biểu phù hợp được các đối tượng : Trung bình, 
khá và giỏi để đưa vào giảng dạy nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, 
rèn luyện được kỹ thuật ứng dụng của lý thuyết số phức. 
 3/ Phân phối thời gian 
 Cần phân bố thời gian hợp lý, có phương án đối phó với những tình huống 
không trả lời được của học sinh. 
 4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò 
 4.1- Chuẩn bị của trò : 
 * Các kiến thức cơ bản 
a) Định nghĩa 
* ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : 
 a + bi 
 . a, b Ρ , số i thỏa mãn : 2 1i = - 
 . i : đơn vị ảo 
 . a : phần thực 
 . b : phần ảo. 
* ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b Ρ 
 z' = a’ + b’i với a’, b’ Ρ 
 Ta có : 
 z = z’ 
'
'
a a
b b
=ì
Û í =î
 b) Phép toán về số phức 
 (b1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) 
 (b 2 ) phép trừ 
 (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) 
 (b 4 ) phép chia 
· Số phức liên hợp 
· Số phức nghịch đảo 
· Phép chia 
 c) Khai căn bậc hai của số phức 
 * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa 2z w= được gọi là một căn 
bậc hai của w. 
 * Cách tìm căn bậc hai của số phức z 
 d) Dạng lượng của số phức 
4.2- Chuẩn bị của thầy : 
 . Giáo án và các dụng cụ dạy học có liên quan. 
 . Chuẩn bị bài tập chu đáo. 
 . Tìm một số đề thi để giới thiệu. 
(1) Bài tập mẫu dạy tại lớp : 
 * Bài 1- Giải hệ : 
2 2 5
2 55
x x y
xy y
ì + - =
í
+ =î
 * Bài 2 : Giải hệ : 
3 2
2 3
3 1
3 3
x xy
x y y
ì - =ï
í
- = -ïî
* Bài 3 : Giải hệ 
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
-ì + =ï +ï
í +ï - =
ï +î
* Bài 4- Giải hệ : 
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y
ì æ ö
+ =ï ç ÷+ï è ø
í
æ öï - =ç ÷ï +è øî
 * Bài 5- Giải hệ : 
12
1 2
3
12
1 6
3
x
x y
y
x y
ì æ ö
- =ï ç ÷+ï è ø
í
æ öï + =ç ÷ï +è øî
* Bài 1- Dụng ý : . Để học sinh sử dụng phương pháp khác gặp rất nhiều trắc 
trở. 
 . Khai thác phương pháp sử dụng số phức dễ dàng hơn. 
 . Mặt khác để dẫn dắt học sinh đi đến áp dụng số phức bằng 
cách cho học sinh bình phương 2( ) ?x yi+ = 
 * Bài 2, 3- Rèn luyện kỹ năng áp dụng dạng giống bài 1. 
 * Bài 4- Dụng ý : . Rèn kỹ năng áp dụng bằng thay biến phụ. 
 * Bài 5- Dụng ý : . Rèn kỹ năng thêm trên cơ sở đã hiểu bài 4. 
(2) Bài tập tự rèn luyện ở nhà : 
* Bài 1 
2 25 5
2 5 7
x x y
xy y
ì + - =
í
+ =î
 * Bài 2 
2
3
2
8 6
2
2
12
2
x x y x
xy y
ì -
- =ïï
í
ï- + = -ïî
*Bài 3 
2 2 3
4
log ( 5) 3
log (2 55) 4
x
y
x x y x
xy y y
ì + - + - =ï
í
+ + - =ïî
* Bài 4 
3 2 2
4
log ( 5( 1) 3
log ( 2 5 7) 4
x
y
x x x y
y xy y
ì é ù+ + - - =ï ë û
í
+ + - =ïî
(3) Đồ dùng dạy học 
T ĐỒ DÙNG 1 – BẢNG TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 
a ) Định nghĩa 
* ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi 
 . a, b Ρ , số i thỏa mãn : 2 1i = - 
 . i : đơn vị ảo 
 . a : phần thực 
 . b : phần ảo. 
* ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b Ρ 
 z' = a’ + b’i với a’, b’ Ρ 
 Ta có : 
 z = z’ 
'
'
a a
b b
=ì
Û í =î
b) Phép toán về số phức 
 (b1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) 
 (b 2 ) phép trừ 
 (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) 
 (b 4 ) phép chia 
· Số phức liên hợp 
· Số phức nghịch đảo 
· Phép chia 
 c) Khai căn bậc hai của số phức 
 * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa 2z w= được gọi là một căn 
bậc hai của w. 
 * Cách tìm căn bậc hai của số phức z 
d) Dạng lượng của số phức 
T ĐỒ DÙNG 2 – Bảng trình chiếu 
T Bài tập 1 : Giải hệ phương trình 
2 2 5
2 5 5
x x y
x y y
ì + - =
í
+ =î 
T ĐỒ DÙNG 3 - Bảng trình chiếu 
T Bài tập 2 : Giải hệ phương trình : 
3 2
2 3
3 1
3 3
x x y
x y y
- =
- = -
ìï
í
ïî 
T ĐỒ DÙNG 4 - Bảng trình chiếu 
T Bài tập 3 :Giải hệ phương trình : 
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
ì
ïï
í
ï
ïî
-+ =
+
+- =
+
 T ĐỒ DÙNG 5 – Bảng trình chiếu 
T Bài tập 4 : Giải hệ phương trình : 
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y
ì æ ö
+ =ï ç ÷+ï è ø
í
æ öï - =ç ÷ï +è øî
T ĐỒ DÙNG 6 - Bảng trình chiếu 
T Bài tập 5 : Giải hệ phương trình : 
12
1 2
3
12
1 6
3
x
x y
y
x y
ì æ ö
- =ï ç ÷+ï è ø
í
æ öï + =ç ÷ï +è øî
T ĐỒ DÙNG 7 - Bảng trình chiếu 
BÀI TẬP VỀ NHÀ 
¯ Bài 1 
2 25 5
2 5 7
x x y
xy y
ì + - =
í
+ =î
¯ Bài 2 
2
3
2
8 6
2
2
12
2
x x y x
xy y
ì -
- =ïï
í
ï- + = -ïî
¯ Bài 3 
2 2 3
4
log ( 5) 3
log (2 55) 4
x
y
x x y x
xy y y
ì + - + - =ï
í
+ + - =ïî
¯ Bài 4 
3 2 2
4
log ( 5( 1) 3
log ( 2 5 7) 4
x
y
x x x y
y xy y
ì é ù+ + - - =ï ë û
í
+ + - =ïî
II. Bước soạn giảng 
* Ngày soạn : 
* Tiết PPCT : Tên bài : ỨNG DỤNG SỐ PHỨC 
 (Chuyên đề tự chọn 12 – Nâng cao) 
 Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi 
A- Mục đích bài dạy : 
 1. Kiến thức : Nắm vững kiến thức lý thuyết về Số phức - Ứng dụng số phức. 
 2. Kĩ năng : Vận dụng số phức vào việc giải hệ phương trình. 
 3. Tư duy : Tư duy logic – tư duy so sánh. 
 Mối quan hệ giữa sự vật và trừu tượng. 
B- Đồ dùng dạy học : 
 . Bảng trình chiếu : Các đề bài tập. 
 . Bảng tóm tắt : Kiến thức cơ bản về số phức. 
 . Đề bài tập về nhà. 
C- Hoạt động dạy và học : 
 1. Kiểm tra bài cũ : Sẽ hỏi trong quá trình dạy 
 2. Hoạt động trên lớp: 
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung ghi bảng 
* Hoạt động 1 (5 phút) 
GV: Trình chiếu kiến thức cơ bản về số phức. 
GV: Thuyết trình 
* Hoạt động 2 (8 phút) 
GV: Trình chiếu Bài tập 1. 
 Giải hệ : 
2 2 5
2 55
x x y
xy y
ì + - =
í
+ =î
GV: Em nào giải hệ trên ? 
HS: Lúng túng và gặp khó trong việc giải hệ 
này 
GV: Hướng dẫn học sinh sử dụng số phức 
bằng cách dùng : 
z = a + bi với a, b Ρ 
 z' = a’ + b’i với a’, b’ Ρ 
 z = z’ 
'
'
a a
b b
=ì
Û í =î
GV: Gợi mở từ 2( ) ?x yi+ = 
 2 2 5x x y+ - = (1) 
 2 55xy y+ = (2) 
Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng vào (1) ta 
có : 
2( ) 5 55x yi x yi i+ + + = + 
Đặt z = x + yi ta có pt : 
z 2 + z – 5 – 55i = 0 
5 5
6 5
z i
z i
= +ì
Û í = - -î
Ta có 
5
5 5
6
6 5
5
x y
x yi i
x
x yi i
y
= =é
+ = +ì êÛ = -ìí ê+ = - - íî ê = -îë
* Hoạt động 3 (8 phút) 
GV: Trình chiếu Bài tập 2. 
* Bài tập 1- 
2 2 5
2 55
x x y
xy y
ì + - =
í
+ =î
 Bài giải 
 2 2 5x x y+ - = (1) 
 2 55xy y+ = (2) 
Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng 
vào (1) ta có : 
2( ) 5 55x yi x yi i+ + + = + 
Đặt z = x + yi ta có pt : 
z 2 + z – 5 – 55i = 0 
5 5
6 5
z i
z i
= +ì
Û í = - -î
Vậy 
5
5 5
6
6 5
5
x y
x yi i
x
x yi i
y
= =é
+ = +ì êÛ = -ìí ê+ = - - íî ê = -îë
* Bài tập 2 : Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
-ì + =ï +ï
í +ï - =
ï +î
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
-ì + =ï +ï
í +ï - =
ï +î
GV : Nếu giải phương pháp thông thường sẽ 
rất khó 
GV : Thuyết trình 
 Đk : 2 2 0x y+ ¹ 
. Nhân 2 vế của (2) cho i, ta được 
2 2
3
0
x y
yi i
x y
+
- =
+
 (3) 
. Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được : 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3
3
3( )
3
3( )
3
3( )
3
( )
x y x y
x yi i
x y x y
x yi y xi
x yi
x y
x yi y xi
x yi
x y x y
x yi x yi
x yi
x y x y i
- +
+ + - =
+ +
- - -
Û + + =
+
- - -
Û + + + =
+ +
- -
Û + + + =
+ +
Đặt z = x + yi ta có : 
3 3 1
3 3
.
z z
z z
z ziz z z zi
+ + = Û + + = (4) 
GV: (*) => z 
Ta có nghiệm (x,y) 
* Hoạt động 4 (8 phút) 
GV: Trình chiếu Bài tập 3. Giải hệ phương 
trình 
3 2
2 3
3 1
3 3
x xy
x y y
ì - =ï
í
- = -ïî
GV: Hỏi học sinh giải 
HS: Trình bày lời giải 
[Nếu không được GV sẽ gợi ý : Nhân 2 vế 
của (2) với i rồi cộng vào (1)] Ta có : 
3 2 2 3
3
3 3 1 3
( ) 1 3
x xy x yi y i i
x yi i
- + - = -
Û + = -
. HS: Viết 1- 3i dưới dạng lũy thừa với số mũ 
 Giải 
Nhân 2 vế của (2)