Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cực trị trong Đại số 9

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
TÌM CỰC TRỊ TRONG 
ĐẠI SỐ 9 
A. Đặt vấn đề 
I. Lý DO CHọN đề TàI: 
Xu thế đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học 
tập của học sinh. Học sinh là chủ thể, người quyết định việc tiếp nhận tri thức toán nói 
chung và việc vận dụng vào giải bài tập toán nói riêng. Do đó, quá trình giảng dạy giáo 
viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng toán mà sự vận dụng của các em còn quá 
bở ngỡ. 
Dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” là một vấn đề phức tạp và khó đối với 
mọi đối tượng học sinh nói chung đặc biệt đối với các em có hạn chế về tư duy toán 
học. Khi gặp các dạng bài tập này không ít học sinh lúng túng, không biết nên bắt đầu 
từ đâu, hướng giải quyết thế nào. 
Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có được một cách 
nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phương pháp giải loại toán này trên nền tảng 
kiến thức cơ bản đã được trang bị trong chương trình toán THCS (Hằng đẳng thức bình 
phương tổng hoặc hiệu; bất đẳng thức Côsi; Công thức nghiệm phương trình bậc hai; 
...) qua đó giúp các em nâng cao chất lượng học toán, phát triển các phẩm chất trí tuệ 
như: cách nhìn nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo 
trong quá trình giải toán. 
Chính lẽ đó tôi đúc kết lại một số kinh nghiệm “Tìm cực trị trong Đại số 9” 
nhằm nâng cao kỷ năng giải toán nói chung và giải toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” 
nói riêng, đặc biệt là trong thi tuyển sinh THPT giúp các em có điều kiện học toán tốt 
hơn. 
II. Đối tượng, thời gian và Phạm vi thực hiện đề tài 
Tôi thực hiện đề tài này trong năm học, trên đối tượng là lớp 9A năm học 
2010 - 2011. 
Trong quá trình thực hiện tôi tập trung đi sâu phân tích, khai thác, nhìn nhận, 
xây dựng một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng 
toán “Tìm cực trị trong Đại số lớp 9” . 
B. Nội dung đề tài 
I. Cơ sở khoa học. 
1) Cơ sở kiến thức: 
 Kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải loại toán này là: 
1.1. Hằng đẳng thức bình phương tổng, hiệu. 
1.2. Căn bậc hai và các phép biến đổi, Bất đẳng thức Côsi. 
1.3. Công thức ngiệm phương trình bậc hai, hệ thức Vi ét, các biến đổi cơ bản 
biểu thức nghiệm hai phương trình. 
2) Cơ sở phương pháp 
2.1. áp dụng hằng đẳng thức: 2 2 2(a b) a 2ab b biến đổi biểu thức về 
dạng 2A [f (x)] m hay 2A [f (x)] m khi đó giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A là 
m hay giá trị lớn nhất (GTLN) của A là m khi f(x) = 0. 
2.2. áp dụng bất đẳng thức a b a b (a b 0) để tìm GTLN. Dấu 
“=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b. 
2.3. áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b 0) để tìm GTNN. Dấu 
“=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. 
2.4. áp dụng bất đẳng thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0) để tìm GTNN, 
GTLN. Dấu “=” xảy ra khi a = b. 
2.5. áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: 
0 ( ' 0) . Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép 
b b 'x (x )
2a a
 . 
II. Cở sở thực tế. 
1. Tình hình thực tế: 
1.1. Thuận lợi 
Trường THCS Mỹ Thủy đã nhiều năm có truyền thống về chất lượng dạy và 
học, là trường trọng điểm chất lượng cao của huyện, có bề dày thành tích 
trong công tác dạy và học, nhất là kết quả thi học sinh giỏi và chất lượng tuyển sinh 
THPT hàng năm. 
Phụ huynh học sinh xã Mỹ Thuỷ quan tâm đến việc học tập của con em, nên 
đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt. 
Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hoài bão do đó 
đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học. 
1.2. Khó khăn 
1.2.1. Định tính 
Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học toán” đặc biệt là dạng toán “Tìm cực trị” 
nói riêng các em thường lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái 
gì do đó dễ nãy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực. Đặc biệt 
đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây 
khó khăn không nhỏ cho các em. 
1.2.2. Định lượng 
Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2010 -
2011 ở lớp 9A tôi thu được số liệu như sau: 
SL % SL % SL % SL % SL % SL %
31 21 67.7% 10 32.3% 12 38.7% 9 29.0% 7 22.6% 3 9.7%
Møc ®é hiÓu vµ hoµn thµnh bµi to¸n
Tæng sè 
häc sinh YÕu TB Kh¸ Tèt
Møc ®é yªu thÝch 
Kh«ng thÝch ThÝch
Đặc biệt qua kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 Đại số 9 năm học 2010 - 2011 ở 
lớp 9A trong đề bài có câu: 
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A x 3 x 4 
Tôi thu được kết quả: 
Bài 
kiểm tra 
Tổng số 
học sinh 
 5 §iÓm Điểm <5 
 Giỏi Khá TB Yếu Kém 
Bài số 1 31 
12 2 5 5 19 10 9 
38,7% 6,5% 16,1% 16,1% 61,3% 32,3% 29,0% 
Và dạng toán này thường gặp nhiều trong kiểm tra HKII và các đề tuyển 
sinh lớp 10 THPT. 
Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai : 2 2x 2mx m 1 0 
a. Giải phương trình với m = 5. 
b. Chứng minh phương trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m. 
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 21 2 1 2P x x x x 
(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009) 
Ví dụ 2: Tìm GTNN của P x 2 xy 3y 2 x 1 với x, y 0 
(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2008 - 2009) 
Ví dụ 3 . Cho x, y > 0, x y 1 . Tìm GTNN của 
2 2
1 1A 1 1
x y
. 
(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2010 - 2011) 
Chính vì thế trong bài viết tôi xin trình bày một số giải pháp nhằm định 
hướng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9”. 
III. GIảI PHáP THựC HIệN 
Quá trình thực hiện đề tài “Tìm cực trị trong Đại số 9” tôi đã thực hiện các giải 
pháp như sau: 
Giải pháp 1: Dạy chắc kiến thức cơ bản 
Giáo viên phải dạy chắc kiến thức cơ bản cho học sinh về: 
- Hằng đẳng thức: 2 2 2(a b) a 2ab b 
- Chứng minh bất đẳng thức a b a b (a b 0) 
- Chứng minh bất đẳng thức a b a b (a,b 0) 
- Chứng minh bất đẳng thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0) 
- Công thức nghiệm và điều kiện của phương trình bậc hai. 
Giải pháp 2: Rèn luyện kỉ năng nhìn nhận, vận dụng kiến thức. 
 2.1. Nhìn nhận. 
Giá trị biểu thức F(x) m x R  hay F(x) m x R  với m hằng số. 
Khi đó biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất là m (Dấu “=” xảy ra) 
2.2. Kết hợp nhìn nhận và biển đổi để đi đến kết quả. 
+ Dạng 1: 2A ax bx c hay A ax b x c đối với dạng này hướng 
dẫn học sinh biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phương tổng, hiệu. 
Cụ thể: Biến đổi biểu thức 2A [f (x)] m hay 2A [f (x)] m với m hằng số. 
 + Dạng 2: A f (x) g(x) đối với dạng này hướng dẫn học sinh vận dụng 
bất đẳng thức a b a b (a b 0) để tìm giá trị lớn nhất. 
 + Dạng 3: A f (x) g(x) đối với dạng này hướng dẫn học sinh vận dụng 
bất đẳng thức a b a b (a,b 0) để tìm giá trị nhỏ nhất. áp dụng bất đẳng 
thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0) để tìm GTLN. 
 + Dạng 4: A f(x) g(x) đối với dạng này hướng dẫn học sinh áp dụng bất 
đẳng thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0) để tìm GTLN. 
 + Dạng 5: f (x)A
g(x)
 hay f (x)A g(x)
 biến đổi biểu thức và áp dụng bất đẳng 
thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0) để tìm GTLN (GTNN). 
 + Dạng 6: áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm 
GTNN, GTLN. 
Giải pháp 3: Tập cách phân tích, nhìn nhận, lựa chọn kiến thức, tìm tòi lời giải 
cho học sinh. 
 Đây là việc làm vừa khó, vừa công phu, vừa là đánh giá hiệu quả công việc 
của người thầy giáo. Nó đòi hỏi giáo viên phải uyên thâm kiến thức, linh hoạt sáng 
tạo, kiên trì trong công việc mới đưa lại hiệu quả cần mong muốn. 
Giải pháp 4. Một số ví dụ minh hoạ 
4.1. Các bài toán sử dụng hằng đẳng thức 
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức 2A x 5x 11 
Hướng dẫn: 2
2 2 25 5 5 5 19 19A x 2. x 11 x
2 2 2 2 4 4
x 
  
Vậy GTNN của A là 19
4
 khi 5 50
2 2
x x 
Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức A x 3 x 4 
Hướng dẫn: 
22 2 7 7x x 0
4 4
3 3 3A x 2. x 4
2 2 2
3
2
  
Vậy GTNN của A là 7
4
 khi 3 3 90 x
2 2 4
x x 
Ví dụ 3. Tìm GTNN của P x 2 xy 3y 2 x 1 với x, y 0 
(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2008 - 2009) 
Hướng dẫn: 1 1 1P (x 2 xy y 2 x 2 y 1) 2(y 2. y )
2 4 2
2 21 1 1P ( x y 1) 2( y )
2 2 2
Vậy GTNN của P là 1
2
 khi và chỉ khi 
x y 1 0
1y 0
2
1x 1 0
2
1y
2
3 9x x
2 4
1 1y y
2 4
Ví dụ 4. Cho phương trình bậc hai : 2 2x 2mx m 1 0 
a. Giải phương trình với m = 5. 
b. Chứng minh phương trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m. 
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 21 2 1 2P x x x x 
(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009) 
Hướng dẫn câu c. 
Theo Vi ét: 1 2 2
1 2
x x 2m
x x m 1
2 2 22 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 4m 3m 3 m 3 3 mP x 2x x x 3x x x x 3x x  
 Vậy GTNN của P là 3 khi m = 0. 
4.2. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x) - g(x) . 
Phương pháp giải: 
- áp dụng bất đẳng thức a b a b (a b 0) 
- Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b. 
Ví dụ 5. Tìm GTLN của A x 1 x 8 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: x 8 
A x 1 x 8 x 1 x 8 9 3 
Vậy GTLN A là 3 khi x - 8 = 0 x = 8. 
4.3. Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng A = f(x) + g(x) . 
Phương pháp giải: 
- áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b 0) 
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. 
Ví dụ 6. Tìm GTNN của A x 3 5 x 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 3 x 5 
A x 3 5 x x 3 5 x 2 
Vậy GTNN A là 2 khi x = 3 hoặc x = 5. 
4.4. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x) + g(x) . 
Phương pháp giải: 
- Bình phương biểu thức A 
- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 2 ab a b (a,b 0) 
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. 
Ví dụ 7. Tìm GTLN của A 3x 5 7 3x 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 5 7x
3 3
2A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x3x 5 7 3x 2 2 
2A 2 3x 5 7 3x 4 
GTLN của 2A là 4 khi3x 5 7 3x 6x 12 x 2 
Vậy GTLN của A là 2 khi x 2 
Tổng quát: Tìm GTLN của n nax b c ax (b c)A 
+ 2 n nA (c b) 2 ax b c ax (c b) (c b) 2(c b) 
+ 2Max A 2(c b) khi n c bx
2a
+ Max A 2(c b) khi n c bx
2a
4.5. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng f(x)A =
g(x)
. 
Phương pháp giải: 
- Nhân và chia f(x) cùng một số khác 0 
- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 2 ab a b (a,b 0) 
Ví dụ 8. Tìm GTLN của x 9A
5x
Hướng dẫn: 
Điều kiện: x 9 
1 x 9x 9 x 9 93.3 2 3x 9 13 3A
5x 5x 5x 10x 30
GTLN của A là 1
30
 khi x 9 3 x 9 9 x 18
3
Tổng quát: Tìm GTLN của 
n
n
ax bA
cx
+ 
n
n
n
n