Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải Toán

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai 
lầm trong khi giải toán 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 2
PHẦN I:MỞ ĐẦU 
I. Lý do chọn đề tài 
 Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng 
mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, 
trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai 
trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô 
khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri 
thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của 
chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó 
tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán 
học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên. 
 Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học 
sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho 
học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt 
động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách 
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ 
việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt 
là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học 
toán 
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc. 
Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải 
sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những 
sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc 
thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”. 
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến 
thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều 
ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm 
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình 
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy 
học sinh trong quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng 
thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 3
đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ 
phương trìnhthường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản 
chất của vấn đề. 
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có 
hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải 
quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic. 
II. Mục đích của đề tài 
 Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra 
những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt. đặt biệt là tránh nhưng sai 
sót và ngộ nhân khi giải các bài toán. 
III. Phạm vi nghiên cứu 
 Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường 
THCS Lý Tự Trọng. Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội 
tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua. 
IV. Cơ sở nghiên cứu 
 Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học 
Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, 
các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo 
của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet. 
V. Phương pháp nghiên cứu 
 Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: 
– Phương pháp nghiên cứu lý luận. 
– Phương pháp khảo sát thực tiễn. 
– Phương pháp phân tích. 
– Phương pháp tổng hợp. 
– Phương pháp khái quát hóa. 
– Phương pháp quan sát. 
– Phương pháp kiểm tra. 
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 4
VI. Thời gian nghiên cứu 
 Đề tài được thực hiện từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010 
VII. Giới hạn của đề tài 
 Đề tài được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội 
tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ 
môn Toán. 
PHẦN II: NỘI DUNG 
I. CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC 
1. Muỗi nặng bằng voi! 
Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” 
dưới đây: 
Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0 
Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0 
Đặt 
m vc 
2 
 m c v 2 (1) 
 c m v 2 (2) 
Nhân 2 vế của (1) với (2) ta được: 
m( c m ) v( c v )
mc m vc v
m mc c v vc c
( m c ) ( v c )
m c v c
m v
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 5
 Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). 
Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận: 
 A2 = B2 A = B Sửa lại cho đúng A B A B 2 2 
Đây là bài toán trong sách Để học tốt Toán 8 của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho 
các em học sinh lớp 8 tham khảo, rút ra kinh nghiệm khi làm toán về hằng đẳng 
thức. 
Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh 
“Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây. 
Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g) 
Ta có: 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
m V V m
m m V V V m V m
( m V ) ( V m )
2 2
2 2
( m V ) (V m )
m V V m
m V
m V
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). 
Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong 
hằng đẳng thức: A A thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi. 
2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn 
bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. 
Ví dụ 1: Có học sinh viết: 
+Vì ( ).( ) 4 25 100 10 và . ( ).( ) 4 25 4 25 100 10 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 6
 nên ( ).( ) . 4 25 4 25 (!) 
+ Vì 
147 147 49 7
33
 và 
147 49 7
3
 nên 
147 147
33
 (!) 
Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính 2 2010 2011 
+ Cách giải sai: 
( )
( ) ( ) !
2
2 2010 2011 2010 2 2010 1 2010 2 2010 1
2010 1 2010 1 2010 1
 Nguyên nhân: 
 - Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn 
tại. 
 - Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai. 
 Biện pháp khắc phục: 
 - Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu 
thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có: .a b ab ; 
a a
b b
 . 
3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số. 
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 22 5a a ( Với a < 0 ) 
+ Cách giải sai: 
 A = 22 5a a = 2 5 2 5 3a a a a a ( với a < 0 ) (!) 
+ Cách giải đúng là: 
 A = 22 5a a = 2 5 2 5 7a a a a a ( với a < 0 ) 
Ví dụ 2: Tìm x, biết : 24(1 )x - 6 = 0 
+ Cách giải sai : 24(1 )x - 6 = 0 22 (1 ) 6x 2(1 - x) = 6 
 1- x = 3 x = - 2. 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 7
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. 
 + Cách giải đúng: 
 24(1 )x - 6 = 0 22 (1 ) 6x 1 x = 3. 
 Ta phải đi giải hai phương trình sau : 
1) 1- x = 3 x = -2 
2) 1- x = -3 x = 4. 
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4. 
 + Nguyên nhân: 
 Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu 
a<0 thì a a 
 + Biện pháp khắc phục: 
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số. 
 + Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
 , neáu 0
 , neáu 0
a a
a
a a
4. Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức:
2A A 
Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11) 
 Tìm x, biết: 29 12x 
+ Cách giải sai: 
 29 12x 29 12x 
 Vì 2 29 (3 ) 3x x x nên ta có: 3x = 12 x = 4. 
+ Cách giải đúng: 
 Vì 2 29 (3 ) 3x x x nên ta có: 3 12x 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 8
 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4 
Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5) 
 Rút gọn biểu thức: 2(4 17) 
+ Cách giải sai: 
 Học sinh A: 2(4 17) 4 17 4 17 
 Học sinh B: 2(4 17) 4 17 
+ Cách giải đúng: 
 2(4 17) 4 17 17 4 
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức 2A A , giá 
trị tuyệt đối của một số âm. 
Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào 
cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau: 
 Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . 
 Ta có : 2 2 2 2a 2 2ab b b ab a hay 2 2a b b a (1) 
 Lấy căn bậc hai hai vế ta được: 2 2a b b a 
 Do đó: a b b a 
 Từ đó : 2 2a b a b 
 Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau. 
 Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) 
phải được kết quả: a b b a chứ không thể có a - b = b- a. 
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức 2A A , giá 
trị tuyệt đối của một số âm. 
 Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16. 
B = 1616 x - 99 x + 44 x + 1 x với x -1 
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 9
+ Cách giải sai : 
B = 4 1 x -3 1 x + 2 1 x + 1 x 
B = 4 1 x 
16 = 4 1 x 4 = 1 x 42 = ( 1 x )2 hay 16 = 2)1( x 
 16 = | x+ 1| 
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15 
 2) 16 = -(x+1) x = - 17. 
 + Cách giải đúng: 
B = 4 1 x -3 1 x + 2 1 x + 1 x (x -1) 
B = 4 1 x 
16 = 4 1 x 4 = 1 x (do x -1) 
 16 = x + 1. Suy ra x = 15. 
 + Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =-
17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là 
nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà 
không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn 
luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối n