Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
GIÚP HỌC SINH TRÁNH SAI LẦM VỀ 
GIẢI TOÁN CĂN BẬC HAI 
 Họ và tên: Mai Xuân Hiếu 
 Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ KHTN 
Đơn vị; Trường THCS Mỹ Thủy 
Lệ Thủy tháng 5 năm 2013 
I : PHẦN MỞ ĐẦU 
1.1. Lý do chọn đề tài : 
Trong giai đoạn hiện nay, với sự phát triễn mạnh mẽ của khoa học và kỷ 
thuật, với sự phát triễn toàn diện của xã hội, nền công nghiệp hóa, hiện đại hóa 
tiến nhanh trong từng ngày, nếu con người không kịp nắm bắt thì chỉ trong thời 
gian ngắn sẽ trở thành lạc hậu, do đó phải làm sao để tiến kịp khoa học và kỹ 
thuật hiện đại của thế giới, theo kịp sự phát triển như vũ bão của khoa học và kỹ 
thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay 
còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Chính vì lẻ đó giáo dục yêu cầu giáo 
viên thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tăng cường trong đổi mới 
phương pháp, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy và học, lấy 
học sinh làm trung tâm, kích thích tính tự lập, độc lập sáng tạo bằng tư duy của 
chính học sinh, học sinh phải tự biết, tự nhận ra vấn đề, tìm hướng giải quyết 
vấn đề, không thụ động đợi chờ sự truyền tải của giáo viên. Điều quan trọng là 
giáo viên phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm 
những kiến thức khi cần thiết trong tơng lai. 
Đối với môn toán lớp 9 chương I “ Căn bậc hai – Căn bậc ba” là phần 
kiến thức khá khó đối với học sinh, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện 
trong các đề thi tuyển sinh vào trung học phổ thông hầu như ở tỉnh nào cũng có 
câu về chương này, thường chiếm 1,5 đến 2,0 điểm. Do đó, theo tôi học sinh 
cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có 
cái nhìn thật đầy đủ về “Căn bậc hai- căn bậc ba” để vận dụng. Sau khi nghiên 
cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa 
ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, 
nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy 
của giáo viên và của học sinh. 
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp đã nhiều năm tại trường THCS 
tôi nhận ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, do 
nhiều nguyên nhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn 
ngữ văn học thành các quan hệ toán học, trong đó có rất nhiều học sinh chưa 
thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc 
hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích. Vì vậy khi dạy 
chương “Căn bậc hai - căn bậc ba” trong thời gian đầu năm học quả là có khó 
khăn, một phần các em chỉ biết sơ qua “ Căn bậc hai” nhờ khái niệm đơn giản ở 
lớp 7, thêm nữa một số em trong hè tự học hay học thêm ở một số giáo viên 
không thường dạy toán 9, họ chỉ đại loại không cụ thể nên học sinh bị nhiểu 
nhiều, thiếu sót, mất chính xác, khó điều chỉnh. Mặt khác các dạng toán chương 
này học sinh dễ nhầm lẫn và thực hiện sai các phép tính, do đó giúp học sinh 
nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc 
vô cùng cần thiết và cấp bách, nó mang tính đột phá rất cao, giúp các em có một 
sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để 
 tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. 
 1.2.Phạm vi nghiên cứu: 
a/ Phạm vi của đề tài: 
Áp dụng trong toán 9 các trường THCS, nghiên cứu đưa ra biện pháp điều 
chỉnh “ Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai” toán 9.Tiền đề cho 
các em thi tuyển sinh mà Sở Giáo Dục Quảng Bình giới hạn cho câu 2,0 điểm. 
Đối tượng là học sinh lớp 9 trường THCS nơi tôi đang giảng dạy 2 lớp : 9A và 
9B. 
b/ Thời gian nghiên cứu: Kinh nghiệm các năm trước và năm học 2012 – 2013. 
II. PHẦN NỘI DUNG 
 2.1 Thực trạng 
Những giờ dạy trên lớp rút kinh nghiệm từ các năm trước, qua kiểm tra 
miệng đầu giờ,qua luyện tập, ôn tập. Giáo viên cần lưu ý đến các bài toán về 
căn bậc hai, xem xét kỹ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra 
những sai sót trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh tự sửa 
chữa phần bài giải cho chính xác. 
Qua kiểm tra 2 bài 15 phút sau khi học xong bài 4 “ liên hệ phép chia và 
phép khai phương” của 55 em thuộc hai lớp 9A và 9B tại trường, tỉ lệ học sinh 
sai lầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai khá cao. 
Lớp Số 
lượng 
Giỏi - Khá Tr. bình Yếu Kém 
Ghi chú 
SL % SL % SL % SL % 
9A 30 10 33,3 9 30,0 6 20,0 5 16,7 
9B 25 6 24,0 6 24,0 7 28,0 6 24,0 
Tổng 16 29,1 15 27,3 13 23,6 11 20,0 
Tôi hiểu rằng chất lượng này là điều đáng lo, tuy nhiên trong nhiều năm 
dạy Toán 9 thì tỉ lệ này xem như tạm được vì trong bài kiểm tra chương I – Đại 
số 9 năm trước số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai chiếm 
tỉ lệ 45,0%, năm 2010 có lớp chỉ đạt 30% trên TB . 
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai 
là tương đối cao, việc chỉ ra những sai lầm của học sinh để các em tránh được 
khi giải bài tập trong những năm học tiếp theo là một việc vô cùng quan trọng 
và cần thiết trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS, nhất là học 
sinh khối lớp 9. 
Nguyên nhân dẫn đến kết quả này là: Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải 
các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải 
vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để 
 giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. 
Một vấn đề nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học 
sinh còn rất yếu. Học sinh phụ thuộc quá nhiều vào máy tính cá nhân để tính 
toán, mà trong chương này cần biết phân tích 1 số thành tích 2 số trong đó có số 
chính phương thì HS thường chịu. Khi áp dụng khai phương 1 thương, 1 tích 
HS thường lấy máy bấm nên kết quả chỉ là các số thập phân, số gần đúng, 
không đúng yêu cầu cần đạt. Đặc biệt về sau sử dụng các phép biến đổi thì HS 
càng lúng túng khi cần tách số để thực hiện. 
Trong vận dụng để giải phương trình có chứa căn bậc hai thì càng khó 
khăn khi viết các biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương 1 tổng ( hiệu) để 
đưa ra ngoài, hoặc kỷ năng về giá trị tuyệt đối. 
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chư-
ơng I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh th-
ường mắc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm 
khi giải toán về căn bậc hai” 
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “ một số dạng thường sai lầm” 
mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong 
chương I - Đại số 9. 
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được 
những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác. 
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai. 
2.2 Các giải pháp 
- Chương căn bậc hai – căn bậc ba nội dung kiến thức khá phong phú, xuất 
hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ 
giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một 
số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn 
bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu 
rút gọn...) 
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó 
hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, 
biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức...). 
Vì vậy khi học chương này thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ 
yếu sau : 
a. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học: 
Định nghĩa về căn bậc hai : 
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 32=9; (-3)2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc 
hai của 9. 
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho 2x a . 
 - Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một 
số âm ký hiệu là - a . 
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học. 
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. 
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có : 
Nếu x = a thì x ≥ 0 và 2x a ; 
Nếu x ≥ 0 và 2x a thì x = a . Ta viết x = a 
2
x 0
x a
- Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” 
và"căn bậc hai số học”. 
Ví dụ : Tìm các căn bậc hai của 16. 
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối 
nhau là 4 và - 4. 
Ví dụ : Tính 16 
* Lời giải sai: 16 = 4 và - 4 có nghĩa là 16 = 4 
Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 
: 
 16 = 4 và 16 = - 4 
* Phân tích sai lầm : Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã 
nhầm lẫn với nhau. 
 * Lời giải là: 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16) 
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích. 
- So sánh các căn bậc hai số học : 
Với hai số a và b không âm, ta có a b a b 
Ví dụ : so sánh 4 và 15 
*Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào 
vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so 
sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ 
đó học sinh sẽ đa ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai 
của 4 đều nhỏ hơn 15 ). 
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm 
ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ 
thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. 
 Lời giải đúng : 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số 
học! 
- Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : 
với a ≥ 0, ta có : 
Nếu x = a thì x ≥ 0 và 2x a ; 
Nếu x ≥ 0 và 2x a thì x = a . 
Ví dụ : Tìm số x, không âm biết : 
 x = 15 
*Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và