Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM KHI 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
Quảng Bình , ngày 20-5-2013 
PHẦN THỨ NHẤT: PHẦN MỞ ĐẦU: 
1.1 - Lý do chọn đề tài : 
Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu 
khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ bão của khoa học và 
kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là 
mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho 
học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho các em 
năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tương 
lai. 
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong 
tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm 
chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu thập 
thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở nên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông 
tuyên truyền, máy tính, mạng internet v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người 
hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra 
giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã 
hội. 
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc truyền thụ 
kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS. Để đáp 
ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về 
mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh 
giá.. 
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ 
năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu : 
 + Năng lực hành động. + Năng lực thích ứng. 
 + Năng lực cùng chung sống và làm việc. + Năng lực tự khẳng định mình. 
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là "Năng 
lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ 
năng là một trong những thành tố của năng lực HS. 
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng 
còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học 
sinh chưa thực sự hiểu kỹ về phương trình vô tỉ và trong khi giải phương trình vô tỉ rất 
hay có sự nhầm lẫn hiểu sai vấn đề nên thực hiện sai mục đích. Việc giúp học sinh nhận 
ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần 
thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có 
một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức cơ bản tạo nền móng để tiếp tục nghiên 
cứu các dạng toán cao hơn sau này. 
Nội dung của đề tài này trước đây đã có một số người nghiên cứu song nội dung 
còn chung chung, chưa đưa ra các dạng bài cụ thể. Trong đề tài này tôi đã cố gắng tìm ra 
một số ví dụ về sai lầm của học sinh, từ đó đưa ra một số cách sửa chữa các sai lầm đó 
một cách cụ thể. Mong rằng đề tài sẽ được các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận. 
1.2 - Phạm vi áp dụng đề tài: 
*Đối tượng nghiên cứu: 
-Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm 
đối tượng cụ thể sau : 
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS 
2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 1 lớp 9 với tổng số 35 học sinh 
 * Phạm vi nghiên cứu: 
-Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trong 
quá trình làm bài tập phương trình vô tỉ - Đại số 9. 
-Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai 
hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác. 
-Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về phương trình vô tỉ. 
 * Phạm vi áp dụng đề tài: Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 9 và giáo viên dạy 
Toán THCS. 
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG 
2.1: Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu 
Qua nhiều năm dạy môn Toán 9, tôi nhận thấy: Khi gặp các bài toán về phương 
trình vô tỉ học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều 
kiện và biến đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh 
đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành 
cho phần này là rất ít. 
 Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận 
thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện 
và lấy nghiệm sai ở phần này. 
Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 
Ví dụ 1: Khi giải pt: )1(23151 xxx 
Lời giải sai: (1) )2(15231 xxx 
Bình phương hai vế : x-1 = 5x - 1 + 3x – 2 + 2 )3(21315 2 xx 
Rút gọn :2-7x = 2 )4(21315 2 xx 
Bình phương hai vế : 4 -14x + 49x2= 4(15x2-13x +2) (5) 
Rút gọn :11x2- 24x + 4 = 0 (11x-2)(x-2) = 0 Tìm được 2;
11
2
21 xx 
Phân tích sai lầm : Không chú ý đến ĐK Căn thức có nghĩa. 
1 x xác định khi x 1 . Do đó x = 
11
2 Không phải là nghiệm. 
Sai lầm thứ hai (4) và (5) Không tương đương 
Mà (4) 
)21315(4)72(
072
22 xxx
x
PT(5) là PT hệ quả của PT (4), nó chỉ tương đương với (4) khi ĐK 2-7x 0 . 
Do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của (1). 
Cách giải đúng : 
Cách 1: Giải xong thử lại 
Cách 2:Đặt ĐK căn thức xác định. x 1 , x 
7
2
 .Do đó khi giải xong kết luận phương 
trình vô nghiệm. 
Cách 3:Chứng minh vế trái số âm .Còn vế phải không âm.KL phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 2: Giải PT (x+3) 01 x 
Lơì giải sai: Ta có :(x+3) 01 x 
1
3
01
03
x
x
x
x
Nhận xét :Rõ ràng x = - 3 không phải là nghiệm của PT 
 Ghi nhớ :
0
0
0
0
B
A
B
BA 
Ví du 3: Giải PT: 24 xx 
Lời giải sai: 24 xx
0)3(
4
444
4
)2(4
04
22 xx
x
xxx
x
xx
x
3
0
3
0
4
x
x
x
x
x
Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của PT 
 Ghi nhớ :
 2
0
BA
A
BA 
Ví dụ 4: Giải PT: 12
52
x
x
Lờigiảisai: 1
2
52
x
x
7
2
252
02
2521
2
52
x
x
xx
x
xx
x
x
Vậy PT trên vô nghiệm. 
Nhận xét : PT đã cho có nghiệm x = -7 ? 
 Ghi nhớ :
0;0 BkhiA
B
B
A
B
A
A
0B0;A khi
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi 0;0 BA Nên mất một nghiệm x = 
- 7 
Ví dụ 5: Giải PT: 16432142 xxxx 
Lời giải sai: Ta có : 16432142 xxxx 
321
01
321)4(432142
xx
x
xxxxxx 
2
1
x
x
; Vậy PT có nghiệm x = 2 
Nhận xét : Ta thấy x = 2 không phải là nghiệm của PT 
 Ghi nhớ :
CB
A
CABA
0
Ví dụ 6: Giải PT: )3(2)2()1( xxxxxx 
Lời giải sai: Ta có 
)3(2)2()1( xxxxxx 3.22.1. xxxxxx
3221 xxx ; Căn thức có nghĩa 3 x Khi đó ta có : 
3221
32
31
 xxx
xx
xx
. Do đó PT vô nghiệm. 
Nhận xét : Có thể thấy ngay x = 0 là một nghiệm của PT. Việc chia hai vế cho x 
đã làm mất nghiệm này. 
 Ghi nhớ:
0;0.
..
BkhiABA
BABA 0B0;A khi 
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp 0 x ,và xét trường hợp x < 0. 
Kết quả cụ thể khi chưa áp dụng đề tài này là: Học sinh lớp 9A, số lượng HS: 35 em 
Kém Yếu TB Khá Giỏi 
SL % SL % SL % SL % SL % 
04 11.4 10 28.6 11 31.4 07 20.0 03 8.6 
Đứng trước thực trạng đó, bản thân tôi là người được phân công trực tiếp dạy môn 
Toán 9, trong thời gian qua, tôi đã thường xuyên tìm hiểu các sai lầm trong các lời giải 
của học sinh. Từ đó, tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số cách giải cụ thể cho các dạng bài. 
Để giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ, trong năm học qua tôi đã vận dụng một số 
biện pháp sau để giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải toán có hiệu quả. 
2.2 Các giải pháp: 
2.21-Phương pháp bình phương hai vế của PT: 
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế, đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình 
phương hai vế của PT. 
Ví du 1: Giải PT: 2+ xx 12 (1) 
 Giải: ĐK:x 
2
1
 (2) 
PT(1) )3(212 xx ;ĐK: 2 x (4) 056)5()2(12 22 xxxx 
Giải x1=1 không thõa mãn (4); x2 = 5thoã mãn cả (2)và (4). 
Vậy PT có nghiệm x = 5 
Ví dụ 2: Giải PT: )1(121 xx 
Giải: ĐK:x 2 (2) . PT(1) )3(211 xx .Hai vế của (3) không âm bình phương 
hai vế : x + 1 = 1+x – 2 + 2 2 x 31212222 xxxx ,thõa mãn 
ĐK (2) . 
Vậy PT có nghiệm x = 3. 
2.22-Phương pháp: Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: 
Ví dụ: Giải PT: 8442 xxx (1) . 
 5 x luaänKeát 
nghieäm voâ PT8,x2x- 2thìx Neáu
xeùt. ñang khoaûngThuoäc
5,x8x2-x 2thìx NeáuGiaûi(1)
 828)2( 2 xxxx
2.23-Phương pháp đặt ẩn phụ: 
Ví dụ: Giải pT: x2 - 422 x 
Giải:ĐK: 22 x ; PT đã cho có dạng: 0222 22 xx 
Đặt : loaïi)t Giaûit daïng coù PT 1
2 (1;20202 2
2 tttx 
Với t = 2 Thì 6622 22 xxx 
Kết luận: x = 6 
2.24-Phương pháp đưa về hệ phương trình : 
Giải PT: 3123 xx ; 
Giải: ĐK:x )1(1 
Đặt zxyx 1,23 ;Khi đó x-2= y3 ;x+1 = z2 
Ta có HPT sau: 
)4(0
)3(3
)2(3
32
z
yz
zy
;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ; 
Giải tìm được x = 3(Thoã mãn) Kết luận: x = 3 
2.25-Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: 
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau: 
Ví dụ: Giải PT: )1(23151 xxx 
 ĐK:x 1 ;Ta có với ĐK này thì x < 5x 
 Do đó 151 xx Vế trái là một số âm còn vế phải không âm. Vậy PT vô 
nghiệm. 
b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế: 
Ví dụ: Giải PT: 222 2414105763 xxxxxx 
Giải: Vế trái của PT: 5949)1(54)1(3 22 xx 
 Vế phải của PT:5-(x+1)2 5 
 Vậy hai vế của PT bằng 5 1 x Kết Luận : x= -1 
c)Sử dụng tính đơn điệu: 
Ví dụ : Giải PT: )1(3123 xx 
Giải : Ta thấy x =3 là nghiệm của PT 
Với x >3 Thì 2.1,123 xx . Nên vế trái của (1) > 3 
Với -1 21;13 xx 3 2-x Thì .Nên vế trái của (1) < 3 
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT 
d)Sử dụng ĐK xảy ra dấu bằng : 
Ví dụ: Giải PT: )1(2
14
14
 x
x
x
x
Giải ; ĐK:x > 
4
1 Áp dụng BĐT 2 
a
b
b
a Với a>0,b>0 .Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi 
a=b 
Do đó (1) 32)
4
1(0141414 22 xDoxxxxxxx 
Thõa mãn (2) 
2.26-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp: 
Ví dụ: Giải PT: )1(
5
32314 xxx ĐK:
3
2
 x 
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1) 
)2314(
5
33 xxxx
 03523140523143 xdoxxxxx (2) 
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT. 
* GIỚI THIỆU THÊM BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH