Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
VÔ TỈ 
Mục Lục: 
Trang 
Phần I: 
 ĐẶT VẤN ĐỀ. 2 
Phần II - NỘI DUNG 
Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 3-6 
Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 6-7 
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 7-9 
Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 20-
23 
Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 24 
Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 25-
27 
Bài tập tổng hợp: 27-
31 
Phần III- KẾT LUẬN 31-
33 
Tài liệu tham khảo 34 
-Các từ viết tắt: 
 sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN) 
- Điều kiện xác định: (ĐKXĐ) 
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ . 
Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú vị của đại số, đã lôi cuốn 
nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý 
tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng 
phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê 
toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy. 
 Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù 
hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt 
và sáng tạo. Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có 
mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS. 
Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo 
chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng 
như ôn thi học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với hoc 
sinh trường THCS Yên Lạc. 
Trong SKKN này đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải 
phương trình vô tỉ: 
Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 
Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn: 
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 
Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 
Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học 
sinh tự luyện. 
 Tôi hy vọng SKKN này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và 
giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học qua các phương trình vô 
tỷ. 
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai 
sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các 
thầy cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn! 
Mọi đóng góp xin gửi về : duc.hanh.yendong@gmail.com 
 Tôi xin cảm ơn! 
PHẦN II- NỘI DUNG 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
* PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA 
I-KIẾN THỨC: 
1/ 
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
2/ 
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
3/ 
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
f x
f x g x h x g x
f x g x f x g x h x
4/ *2 2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( )
n n
f x
f x g x g x n N
f x g x
5/ *2
2
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
g x
f x g x n N
f x g x
6/ *2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x n N 
7/ 2 1 *2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x n N 
II-BÀI TẬP 
Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 (1) 
HD: (1) 
2 2
x 1 0 x 1 x 1
x 3x 1 (x 1) x 3x 0
3x 
Bài 2: Giải phương trình: 2 3 0x x 
HD:Ta có: 2 3 0x x 2 3x x 
2
2
0
2 3
0
2 3 0
0
31
3
x
x x
x
x x
x
xx
x
Bài 3: Giải phương trình: 4 1 1 2x x x 
HD: Ta có: 4 1 1 2x x x 4 1 2 1x x x 
1 2 0
1 0
4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )
x
x
x x x x x
2
1
2
2 1 2 3 1
x
x x x
2 2
1
2
2 1 0
(2 1) 2 3 1
x
x
x x x
2
1 1
1 1 2 2
02 2 0
7 0
7
x
x
xx
x x
x
Bài 4: Giải phương trình: 22 3 4 0x x 
HD:ĐK:
2
2 0
2
4 0
x
x
x
 (1) 
PT 
2 3 ( 2)( 2) 0
2. 1 3 2 0
22 0
(2)17
1 3 2 0
9
x x x
x x
xx
xx
Kết hợp (1) và (2) ta được:x = 2 
Bài 5. Giải phương trình : 3 3x x x 
HD:Đk: 0 3x khi đó pt đã cho tương đương: 
3 23 3 0x x x 
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x 
Bài 6. Giải phương trình sau : 22 3 9 4x x x 
HD:Đk: 3x phương trình tương đương : 
 2 2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x
Bài 7. Giải phương trình sau : 22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x 
HD: pt 33 32 3 0 1x x x 
Bài 8. Giải và biện luận phương trình: 2x 4 x m 
HD: Ta có: 2x 4 x m 2 2 2 2
x m x m
x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0
 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm 
 – Nếu m ≠ 0: 
2m 4x
2m
 . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 
2m 4
2m
 ≥ 
m 
 + Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 m2 ≤ 4 0 m 2 
 + Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 m2 ≥ 4 m ≤ –2 
Tóm lại: 
 – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm 
2m 4x
2m
 – Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm 
Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: mxx 32 
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) 
HD: Ta có: 2
2 2 2 2
x m x m
x 3 x m
x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0
 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm 
 – Nếu m ≠ 0:
2m 3x
2m
 . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 
2m 3 m
2m
 + Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 m2 ≤ 3 0 m 3 
 + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 m2 ≥ 3 m ≤ 3 
Tóm lại: 
 – Nếu 0 m 3 hoặc m 3 . Phương trình có một nghiệm: 
2m 3x
2m
 – Nếu 3 m 0 hoặc m 3 : phương trình vô nghiệm 
Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m 
HD: Điều kiện: x ≥ 0 
 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm 
 – Nếu m = 0: phương trình trở thành x( x 1) 0 có hai nghiệm: 
x1 = 0, x2 = 1 
 – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với 
 ( x m)( x m 1) 0 
 x m 0
x 1 m
 + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = 
2(1 m) 
 + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m 
III-Bài tập áp dụng: 
Bài 1:Giải các phương trình sau: 
1/ 1 13x x 2/ 3 34 3 3 1x x 
4/ 21 4 1x x x 5/ x 3 5 x 2 
7/ x x 1 x 4 x 9 0 8/ 2 5 0x 
10/ 15 1 2 0
2
x 11/ 193 2 3
6
x 
13/ 16 17 8 23x x 14/ 3 1 2 3x x 
Bài 2: Giải phương trình: 
a) 2 1 1x x b) 2 3 0x x 
d) 3 6 3x x e) 3 2 1 3x x 
g) 9 5 2 4x x h) 3 4 2 1 3x x x 
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
2 23 2 2x x m x x 
Bài 4: Cho phương trình: 2 1x x m 
a) Giải phương trình khi m = 1 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5: Cho phương trình: 22 3x mx x m 
a) Giải phương trình khi m=3 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. 
Bài 6: Giải các phương trình sau: 
a/ 7 3 9 0x x 
d/ 1 91 1 3 1 17
2 2
x x x 
 b/ 2 1 1x e/ 5 33 9 27 4 12 1
3 2
x x x 
 c/ 3 7 4 0x x f) 2 2( 3) 10 12x x x x 
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 
I-KIẾN THỨC: 
Sử dụng hằng đẳng thức 
sau: 2 ( ) ( ) ( ( ) 0)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) 0)
f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x f x
II-BÀI TẬP: 
Bài 1: Giải phương trình: 2x 4x 4 x 8 (1) 
HD: (1) 2(x 2) 8 x 
 |x – 2| = 8 – x 
 – Nếu x < 2: (1) 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) 
 – Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5. 
Bài 2: Giải phương 
trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2) 
HD: (2) 
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
x 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1 |
 (*) 
 Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành: 
y 1 | y 3 | 2 | y 1| 
 – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y y = –1 (loại) 
 – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 y = 3 
 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) 
Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8 
Bài 3:Giải phương trình: 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x 
HD:ĐK: 5
2
x 
PT 2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14x x x x 
 2 5 1 2 5 3 14x x 
 2 5 5x 
 15x (Thoả mãn) Vậy:x = 15 
Bài 4:Giải phương trình: 2 1 2 1 2x x x x 
HD:ĐK: 1x 
Pt 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x 
 1 1 1 1 2x x 
Nếu 2x pt 1 1 1 1 2x x 2x (Loại) 
Nếu 2x pt 1 1 1 1 2x x 0 0x (Luôn đúng với x ) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: |1 2S x R x 
III-Bài tập áp dụng: 
Giải các phương trình sau: 
1/ 2 2 1 5x x 2/ 4 4 3x x 
3/ 2 6 9 2 1x x x 4/ 4 4 5 2x x x 
5/ 2 22 1 4 4 4x x x x 6/ 2 1 4 4 10x x x x 
7/
2 2 26 9 2 8 8 2 1x x x x x x 
8/ 2 24 4 6 9 1x x x x 
9/ 2 1 2 1 2x x x x 10/ 3 2 4 4 4 1x x x x 
11/ 
6 2 2 11 6 2 1x x x x 
12/ 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x 
13/ 2 22 2 1 5 0x x x x 14/ 45224252642 xxxx 
15/ 2 4 4 2 10x x x 16/ 2 2 1 2 8x x x 
17/ 
1 1 2
2 4
x x x 
 18/ 
05261
4
1 2 xx
19/ 32 1 2 1
2
xx x x x 20/ 2 4 4 2x x x 
21/ ( 1) 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x 22/ 8 6 1 4x x 
PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ 
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 
 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt 
 t f x và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành 
phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương 
trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” . 
 Bài 1. Giải phương trình: 2 21 1 2x x x x 
HD:Điều kiện: 1x 
Nhận xét. 2 21. 1 1x x x x 
Đặt 2 1t x x thì phương trình có dạng: 1 2 1t t
t
Thay vào tìm được 1x 
Bài 2. Giải phương trình: 22 6 1 4 5x x x 
HD:Điều kiện: 4
5
x 
Đặt 4 5( 0)t x t thì 
2 5
4
tx . Thay vào ta có phương trình sau: 
4 2
2 4 210 25 62. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t t t t t t 
2 2( 2 7)( 2 11) 0t t t t 
Ta tìm được bốn nghiệm là: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t 
Do 0t nên chỉ nhận các gái trị 1 31 2 2, 1 2 3t t 
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 1 2 2 3 vaø x x 
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 
22 6 1 0x x 
Ta được: 2 2 2( 3) ( 1) 0x x x , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. 
Đơn giản nhất là ta đặt : 2 3 4 5y x và đưa về hệ đối xứng (Xem 
phần đặt ẩn phụ đưa về hệ) 
Bài 3. Giải phương trình sau: 5 1 6x x 
HD:Điều kiện: 1 6x 
Đặt 1( 0)y x y thì phương trình trở thành: 
2 4 25 5 10 20 0y y y y y ( với 
5)y 2 2( 4)( 5) 0y y y y 1 21 1 17,
2 2
(loaïi)y y 
Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17
2
x 
Bài 4. Giải phương trình sau : 
2
2004 1 1x x x 
HD: ĐK: 0 1x 
Đặt 1y x thì phương trình trở thành: 
 2 22 1 1002 0 1 0y y y y x 
Bài 5. Giải phương trình sau : 2 12 3 1x x x x
x
HD:Điều kiện: 1 0x 
Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 12 3x x
x x
Đặt 
1t x
x
 , ta giải được. 
Bài 6. Giải phương trình : 2 4 23 2 1x x x x 
HD: 0x không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 
3
1 1 2x x
x x
Đặt t= 3
1x
x
 , Ta có : 3 2 0t t 1 51
2
t x 
Bài 7.Giải phương trình: 2 23 21 18 2 7 7 2x x x x 
HD:Đặt y = 2 7 7x x ; 0y 
Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - 5 = 0 
5
3
1
y
y
 1y 
Với y =