SKKN Ứng dụng phần mềm Mathcad và Geogebra giải một số bài toán hình giải tích

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM 
MATHCAD VÀ GEOGEBRA 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH 
GIẢI TÍCH 
 1
SKKN : ỨNG DỤNG PHẦN MỀM 
 MATHCAD VÀ GEOGEBRA 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH 
---------------------------------------------- 
PHẦN MỞ ĐẦU 
I. Bối cảnh của đề tài : 
Trong các năm học gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động và khuyến 
khích việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực của 
học sinh, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy, do đó mỗi thầy cô 
giáo cả nước đang cố gắng làm và phát huy việc ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ 
trợ cho việc dạy và học. Mỗi giáo viên cần phảI có những biện pháp, phương tiện 
thích hợp để cảI tiến việc dạy và học sao cho kết quả đạt được ngày càng nhiều hơn, 
ít tốn thời gian hơn, và học sinh ham thích học tập hơn. Hoà vào xu thế đó , tôi cố 
gắng ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán là nghiên cứu dùng các phần 
mềm toán học Mathcad, GeoGebra để giải một số bài toán một cách tự động, tạo ra 
các bài toán tương tự có thể dùng làm các đề trắc nghiệm khác nhau nhưng có chất 
lượng như nhau, sáng tạo ra các bài toán mới dành cho thi đại học, thi học sinh giỏi, 
thi máy tính bỏ túi  
II. Lý do chọn đề tài 
- Bài toán hình giải tích có liên quan về đường phân giác, trung tuyến, đường 
cao trong tam giác là một bài toán thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh 
giỏi máy tính bỏ túi ... thường được cho với nhiều dạng khác nhau . Học sinh đã 
được trang bị kiến thức về phương trình đường thẳng từ lớp 10 nhưng đến lớp 12 thì 
đã quên khá nhiều và các em rất lúng túng trong cách giải quyết và thậm chí là mất 
khá nhiều thời gian vẫn không giải quyết được. 
- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin đóng góp một số bài toán và 
phương pháp giải quyết các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác 
trong tam giác; sử dụng phần mềm Mathcad để tạo ra các bài tập tương tự cho học 
sinh luyện tập, dùng phần GeoGebra để kiểm chứng, từ đó nâng cao được khả năng 
giải quyết các bài toán thuộc dạng này. 
III. Phạm vi và đối tượng của đề tài : 
Đối tượng nghiên cứu của tôi là một số bài toán và phương pháp giải quyết 
các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác trong tam giác, đường 
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng, đường phân giác của góc nhọn, góc tù và 
vận dụng giải toán hình giải tích phẳng ở đề thi đại học. Đề tài được áp dụng cho các 
học sinh lớp 10, lớp12 luyện thi đại học. 
IV. Mục đích nghiên cứu : 
- Góp phần giải quyết một số các bài toán hình giải tích có liên quan đến 
đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng, 
đường phân giác của góc nhọn, góc tù và vận dụng giải toán hình giải tích phẳng ở 
đề thi đại học; sử dụng phần mềm Mathcad, GeoGebra để tạo ra các bài tập tương tự 
 2
cho học sinh luyện tập từ đó nâng cao được khả năng giải quyết các bài toán thuộc 
dạng này trong các đề thi Đại học. 
- Đề tài cũng quan tâm đến vấn đề tạo bài tập tương tự bằng các phép biến 
hình. Việc này cũng rất cần thiết cho giáo viên tự tạo ra các bài toán có độ khó 
tương đương nhằm tạo nguồn bài tập cho học sinh thực hành, tạo thư viện bài 
toán cho học sinh kiểm tra trắc nghiệm với các bài toán tương đương . Việc này 
giúp giáo viên hạn chế được sự sao chép bài làm kiểm tra lẫn nhau giữa các học 
sinh , góp phần phản ánh đúng trình độ học sinh hơn 
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu : 
- Ứng dụng được phần mềm Mathcad, GeoGebra để giải quyết bài toán hình 
học giải tích nói chung và lớp bài toán về đường phân giác, trung tuyến, đường cao 
trong tam giác trong tam giác nói riêng... đối với một số bài toán thi đại học, thi học 
sinh giỏi máy tính cầm tay. 
 -Ứng dụng được phần mềm Mathcad , GeoGebra sáng tạo được các bài toán 
mới, nhanh chóng, hiệu quả và cho kết quả chính xác. 
PHẦN NỘI DUNG 
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : 
I.1.Thực trạng của vấn đề : Xin nêu ra một số bài toán hình giải tích 
có liên quan đến đường phân giác trong tam giác trong một số đề thi đại học : 
Bài 1 : Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, 
cho biết đỉnh C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một 
đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là : 
 x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 . 
 (Trích đề thi đại học Huế 2001) 
 Bài 2 : Trong mặt phẳng cho ba điểm A(-1;7), B(4; -3), C(- 4;1). 
 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
 ( Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) 
 Bài 3 : Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác trong 
 góc B và C lần lượt có phương trình : x – 2y +1 = 0; x+y + 3 = 0. Tìm 
 phương trình đường thẳng BC . 
 (Trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế – 2000) 
 Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn 2 2 4( ) : ( 2)
5
− + =C x y 
 và hai đường thẳng 1: 7 0Δ − =x y , 2 : 0Δ − =x y .Xác định toạ độ tâm K và tính 
 bán kính đường tròn 1( )C ; biết đường tròn 1( )C tiếp xúc với các đường 1Δ , 2Δ 
 và có tâm K thuộc đường tròn ( )C . 
 ( Trích đề thi đại học khối B 2009) 
Bài 5 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, 
 có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình 
 x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam 
giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 
 (Trích đề thi ĐH khối B _2010) 
 3
Thực tế giảng dạy nếu giáo viên không ôn tập cho học sinh một cách có hệ 
thống các kiến thức về phương trình đường thẳng ở lớp 10 thì các em sẽ không giải 
được những bài toán dạng trên. Những bài toán này phải vận dụng linh hoạt các kiến 
thức đã học ở lớp 10 mà đa số học sinh lớp 12 đã quên hoặc chỉ nhớ mơ hồ . Do đó 
việc dành thời gian nhất định để ôn tập cho các em là rất cần thiết. 
I.2.Cơ sở lý luận : 
Học sinh cần ôn tập lại các kiến thức về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 
và một số kiến thức sau : 
a) Tính chất của đường phân giác trong tam giác : 
 AD laø phaân giaùc trong, AE laø phaân giaùc ngoaøi goùc A của tam giác ABC thì 
⎫= ⇒ = − =⎬⎭
JJJG JJJG JJJG JJJG
;DB AB EB AB ABDB DC EB EC
DC AC EC AC AC 
b) Tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác: 
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân 
giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB. 
 c) Phương trình các đường phân giác của một góc : 
Trong mp Oxy cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình : 
 1 1 1 2 2 21: 0 ; 1: 0d a x by c d a x b y c+ + = + + = cắt nhau thì phương trình các 
đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 là : 
 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x by c a x b y c
a b a b
+ + + += ±+ + 
d) Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng : 
 Trong mp Oxy cho đường thẳng : 0d ax by c+ + = và hai điểm 
( ; ) , ( ; )M M N NM x y N x y . 
M và N nằm khác phía đối với d ⇔ ( ).( ) 0M M N Nax by c ax by c+ + + + < 
M và N nằm cùng phía đối với d ⇔ ( ).( ) 0M M N Nax by c ax by c+ + + + > 
III. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề : 
 4
III.1 Các bước tiến hành : 
• Đối với bài toán phải xác định chân đường phân giác : 
Trong mp Oxy cho tam giác ABC đã biết tọa độ A, B, C. 
 Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC 
Ta có thể tìm tọa độ điểm D từ công thức : 
 = −
JJJG JJJGABDB DC
AC
Gọi E là chân đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC 
Ta có thể tìm tọa độ điểm E từ công thức : 
 =
JJJG JJJGABEB EC
AC
• Tìm phương trình đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng : 
Một số trường hợp : 
• Xác định phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 
1 2,Δ Δ : 
 Dùng công thức 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x by c a x b y c
a b a b
+ + + += ±+ + 
 ta tìm được phương trình hai đường phân giác là d1 và d2. 
• Xác định phân giác góc nhọn, phân giác góc tù của góc tạo bởi hai 
 đường thẳng 1 2,Δ Δ : có nhiều phương pháp , ở đây chỉ nêu một phương 
 pháp chẳng hạn : ta tìm phương trình hai đường phân giác là d1 và d2 
 sau đó tính số đo góc giữa 1Δ và d1; nếu số đo này nhỏ hơn 045 thì d1 là 
 phân giác góc nhọn ; nếu số đo này lớn hơn 045 thì d1 là phân giác góc tù 
 . 
 Ngoài ra cũng có thể dùng véc tơ đơn vị để tìm phương trình 
 phân giác góc nhọn hay tù của góc tạo bởi 2 đường thẳng : 
 Giả sử 1 2,Δ Δ cắt nhau tại A, trên 1 2,Δ Δ ta lấy các véc tơ đơn vị ,AB AC
JJJG JJJG
 5
 Sau đó dựng hình thoi ABDC thì AD
JJJG
 là véc tơ chỉ phương của đường phân 
 giác trong d1 ( nếu . 0AB AC >JJJG JJJG thì góc nBAC là góc nhọn ), còn CBJJJG là véc tơ 
 chỉ phương của đường phân giác d2. 
 Từ đó viết được phương trình của d1 và d2. 
• Đối với bài toán phải xác định phương trình đường tròn nội tiếp 
tam giác : 
Cách 1: có thể tìm phương trình phân giác trong AD, phương 
trình phân giác trong BK của tam giác ABC , tâm đường tròn nội 
tiếp là giao điểm của AD và BK. Bán kính đường tròn nội tiếp là 
khoảng cách từ I đến BC. 
Cách 2: có thể tìm tọa độ điểm D, gọi I là tâm đường tròn nội 
tiếp thì I là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác 
ABD nên ta có 
 = −
JJG JJGB DD AI I
BA
từ đây suy ra tọa độ điểm I. 
• Đối với bài toán phải xác định tọa độ đỉnh hoặc phương trình cạnh 
của tam giác: 
Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác: chẳng hạn 
nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân 
giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB; từ đó kết hợp với các giả 
thiết còn lại của bài toán như đường trung tuyến, đường cao, diện tích, trọng tâm, 
chân đường cao ,..để tìm ra các đỉnh hoặc các cạnh mà đề bài yêu cầu. 
III.2 Các ví dụ minh họa : 
Vấn đề 1 : Tìm toạ độ chân đường phân giác trong và ngoài 
góc A của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy 
Đầu tiên ta lập hàm tìm tọa độ điểm M chia đoạn AB ( đã biết tọa độ A, B) như sau : 
 6
Bài 1 : 
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;4), 
B(1; 3), C(5; 1) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài 
góc A của