Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn và giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải một số dạng toán tổ hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRÀ VINH
TRƯỜNG THPT BÙI HỮU NGHĨA
--------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
Đề tài: HƯỚNG DẪN VÀ GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM KHI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP
 Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn: Toán
 Họ và tên người thực hiện: Lê Thị Mỹ Ngoan
 Chức vụ: giáo viên
 Sinh hoạt tổ chuyên môn:Toán -Tin
 Đại Phước, tháng 10 năm 2018
SỞ GD& ĐT TRÀ VINH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
TRƯỜNG THPT BÙI HỮU NGHĨA	
PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài: Hướng dẫn và giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải một số dạng toán tổ hợp.
Thời gian thực hiện: Từ tháng 8/2017đến tháng 5/2018 và những năm học tiếp theo.
Tác giả:Lê Thị Mỹ Ngoan
Chức vụ: giáo viên
Bộ phận công tác: Tổ Toán-Tin
TỔ CHUYÊN MÔN ( TRƯỜNG )
Nhận xét:
Xếp loại ..
Ngày..tháng..năm.
 Tổ trưởng
HỘI ĐỒNG KHGD TRƯỜNG
Nhận xét:
Xếp loại :..
Ngày..tháng..năm.
 Hiệu trưởng
 BÁO CÁO TÓM TẮT
HƯỚNG DẪN VÀ GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM KHI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP
1.Người thực hiện:
 -Họ và tên: Lê Thị Mỹ Ngoan
 -Năm sinh: 1979
- Chức vụ hiện tại: Giáo viên dạy lớp
-Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán
2. Tên sáng kiến:“ Hướng dẫn và giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải một số dạng toán tổ hợp.”
 3.Nội dung sáng kiến:
 Bài toán tổ hợp là một trong những nội dung khá quan trọng trong chương trình toán THPT và là một trong những nội dung cơ bản mà trong các đề thi THPTQG thường gặp đòi hỏi học sinh phải giải quyết được.Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em còn sai lầm trong việc lựa chọn phương pháp,các em thường gặp khó khăn trong việc phân tích đề. Vì vậy đề tài giúp học sinh có thể nhận dạng,định hướng và giải tốt bài tập tổ hợp.
 Sáng kiến thuộc lĩnh vực đại số của môn toán, sáng kiến gồm hai phần: 
 Phần thứ nhất ôn tập, hệ thống lại những kiến thức có liên quan đến tổ hợp .
 Phần thứ hai hướng dẫn và giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải bài tập tổ hợp. 
VD1.Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập đã cho.
* Sai lầm thường gặp
Có tứ diện
* Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên đã tính lặp 4! lần số tứ diện với bốn đỉnh của một tứ diện không có tính xếp thứ tự chẳng hạn tứ diện ABCD và tứ diện BACD là một 
VD2. Với các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0)
 *Lời giải sai : Gọi số cần tìm là 
Chọn số ở vị trớ có 4 cách chọn từ tập 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và 
Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn 
Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 4.5.5.4.3 = 1200 số 
* Nguyên nhân sai lầm
- Trong trường hợp thì chọn số ở vị trí có 5 cách là đúng
-Trong trường hợp thì chọn số ở vị trí có 5 cách là sai vì lúc này chọn số ở vị trí có 6 cách chọn chỉ trừ 
 Lời giải đúng
Cứ 4 điểm không đồng phẳng thuộc tập hợp đã cho thì tạo được một tứ diện. Ngược lại, mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con của tập đã cho, có tứ diện
Lời giải đúng.
- Tìm các số chẵn dạng có số.
- Tìm các số chẵn dạng với 
Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn vì 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn.
Có 3.5. cách.
Theo quy tắc cộng có số
4.Thời gian thực hiện sáng kiến: Từ tháng 8/2017 đến tháng 5/2018 và những năm học tiếp theo.
5. Phạm vi áp dụng: Đề tài ngoài việc dùng để hổ trợ giảng dạy học sinh giải bài tập về tổ hợp còn là tài liệu ôn tập THPTQG cho học sinh lớp 12 của trường. 
6. Hiệu quả của sáng kiến : Kết quả khảo sát (số học sinh đạt điểm từ 5,0 trở lên) so với chưa áp dụng và đã áp dụng phương pháp này.
Năm học
Lớp
Sĩ số
Kết quả khảo sát
Số lượng
Tỷ lệ
Chưa thực hiện giải pháp 
2017-2018
11A
32
18
56,3%
Đã thực hiện giải pháp 
2017-2018
11A
32
25
78,1 %
 Qua thực tế áp dụng đề tài trên đã mang lại hiệu quả học tập cao hơn cho thầy và trò chúng tôi, số học sinh đạt điểm yếu, kém giảm đi rõ rệt . Về phía học sinh, các em tự tin hơn khi giải bài tập về tổ hợp, phát huy được tính tích cực, sáng tạo của học sinh đặc biệt là đối tượng học sinh yếu, kém các em thích học môn toán hơn, các tiết luyện tập, ôn tập kiến thức lôi cuốn học sinh hơn, các em chủ động trong việc giải bài tập.
 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ NGƯỜI BÁO CÁO
 Lê Thị Mỹ Ngoan
PHẦN I : MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán học THPT chương “Tổ hợp và xác suất” là một phần khá quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 và là một trong những nội dung cơ bản mà trong các đề thi THPT Quốc gia thường gặp. Chủ đề này có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới và chủ đề này cũng có nhiều bài toán khó. Vì vậy trong quá trình dạy và học sẽ gặp những khó khăn nhất định. Thực tế giảng dạy cho thấy không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ toán học. Học sinh còn khó khăn ,lung túng khi phân tích đề bài và vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa. Đặc biệt học sinh hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng với quy tắc nhân ,khả năng tư duy của mỗi em khác nhau và còn hạn chế nên dẫn đến những sai lầm khi làm bài tập . Với mong muốn giúp các em làm tốt bài tập tổ hợp và thấy được tính độc đáo của dạng toán này nên tôi quyết định chọn đề tài: :“ Hướng dẫn và giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải một số dạng toán tổ hợp.”
2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung tổ hợp và xác suất được trình bày trong SGK toán 11 . Nhằm nâng trình độ chuyên môn nghiệp vụ và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy .
3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh khối 11.
- Nội dung phần tổ hợp và xác suất trong chương trình toán THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu và áp dụng của đề tài
- Phạm vi nghiên cứu: Phần tổ hợp của chương II: “ Tổ hợp và xác suất” lớp 11 .
- Áp dụng đề tài: đề tài ngoài việc dùng để hổ trợ giảng dạy học sinh giải bài tập về tổ hợp còn là tài liệu ôn tậpTHPTQG cho học sinh lớp 12 trường.
 5. Nhiệm vụ của đề tài
- Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản đại số tổ hợp.
- Rèn luyện những kỹ năng và thao tác khi làm các bài toán về đại số tổ hợp, cụ thể: 
+ Các bài toán cơ bản giúp học sinh củng cố lại kiến thức dẫn đến các em sẽ hiểu và biết cách trình bày bài toán.
+ Các bài toán được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp học sinh trở nên linh hoạt trong việc chọn lựa phương pháp giải.
+ Các bài toán được đưa ra cùng những lời giải sai mà nhiều học sinh dễ mắc phải, giúp các em hiểu một cách thấu đáo hơn, cặn kẽ hơn giúp các em tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn. 
6. Phương pháp nghiên cứu
- Điều tra, quan sát.
- Thực nghiệm rút kinh nghiệm
- Xây dựng một hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập từ đó lựa chọn các ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể từng loại, phân tích tỉ mỉ những sai lầm để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
7. Thời gian thực hiện:Từ tháng 8/2017đến tháng 5/2018 và những năm học tiếp theo.
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I . CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
 - Trong khoa học cũng như trong đời sống chúng ta thường gặp bài toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó ta gọi đó là bài toán đếm. Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu nhiều vấn đề mang cấu trúc rời rạc trong đó có bài toán đếm. Kỹ năng và kiến thức của toán tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới sinh học, tin học...
- Phần tổ hợp trong chương II “ Tổ hợp và xác suất” lớp 11 có mục đích trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm cơ bản, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Nhờ đó chúng ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần liệt kê và nhiều khi cũng không thể liệt kê được vì số lượng các phần tử đó là rất lớn.
 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
 Tuy phẩn tổ hợp khá quan trọng nhưng vì nó là kiến thức mới và có nhiều khái niệm ,thuật ngữ nên các em rất dể lúng túng khi vận dụng giải bài tập,bài tập lại đa dạng ,mỗi dạng có nhiều cách trình bày khác nhau đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy và suy luận. Từ lí do đó đề tài này giúp học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng nhờ các dạng toán được hệ thống một cách rõ ràng , các dạng bài tập được sắp xếp từ thấp đến cao, giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt hơn từ đó nâng dần chất lượng học tập của học sinh.
III. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.
Trong nội dung Tổ hợp và xác suất thì tổ hợp lâu nay vẫn được xem là dạng toán khó, bởi những khái niệm khó nhớ, khó phân biệt. Do đó các khái niệm và các công thức ở chương này là hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh. Với quy tắc cộng thì trên thực tế học sinh đã làm quen từ lớp dưới. Bản chất toán học của quy tắc cộng là công thức tính số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau. Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không có phần tử chung thì . Tuy nhiên quy tắc cộng trong SGK được trình bày dưới dạng mô tả: Giả sử có một công việc cụ thể được thực hiện theo phưong án A hoặc được thực hiện theo phương án B.Có n cách thực hiện theo phương án A và có m cách thực hiện theo phương án B.Khi đó công việc được thực hiện theo n + m cách. Quy tắc này đơn giản nhưng do không nắm vững nên học sinh vẫn hay mắc sai lầm. 
Đối với học sinh, lần đầu tiên học sinh được học các quy tắc cộng và quy tắc nhân, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là mới và khó.
Do đó vấn đề dạy và học chủ đề Tổ hợp và Xác suất cần được nghiên cứu rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất của các khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và phân biệt các khái niệm đó. Nắm vững các kí hiệu: là số chỉnh hợp chập k của n chứ không phải là chỉnh hợp chập k của n phần tử, là số tổ hợp chập k của n chứ không phải là tổ hợp chập k của n phần tử, là số hoỏn vị của n phần tử . Cần rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài toán đếm số tổ hợp ,chỉnh hợp, các bài toán về hoán vị, các bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập...với mức độ phổ thông, cơ bản, theo yêu cầu sát với thực tiễn.
IV. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
A – Kiến thức cơ bản	
Khi dạy lý thuyết cần làm rõ cho học s ... ỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số 4 viên đó không có đủ 3 màu.
* Sai lầm thường gặp
Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách.
Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách.
Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách.
Theo quy tắc cộng có  cách.
* Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên sai ở chỗ đó tính lặp lại 2 lần số các viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc cùng màu vàng. 
* Lời giải đúng:
Cách 1: ( Chọn trực tiếp )
- Số cách chọn 4 bi cùng một màu là: 
- Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu đỏ và trắng là: 
++
- Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu trắng và vàng là: 
++
- Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu vàng và đỏ là: 
++
Theo quy tắc cộng có cách.
Cách 2
- Số cách chọn tuỳ ý 4 viên là cách.
- Tính số cách chọn 4 viên đủ 3 màu:
+Trong đó 2 đỏ , 1 trắng, 1 vàng l có cách
+Trong đó 1 đỏ , 2 trắng, 1 vàng l có cách
+ Trong đó 1 đỏ , 1 trắng, 2 vàng l có cách
- Số cách chọn cần tìm là: -(++)= 645 cách
* Ghi nhớ
Với những bài toán có nhiều phương án thực hiện khi chọn trực tiếp, gặp khó khăn trong việc xét đủ các trường hợp, hoặc là khó tính số các phương án chọn, thì có thể lấy số tất cả các phương án có thể xảy ra trừ đi số phương án “đối lập” với nó. 
 Một số bài tập tương tự: 
Bài 1: Một công viên có 5 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiờu cách đi vào bằng một cửa đi ra bằng một cửa khác?
HD: Số cách đi vào bằng một cửa đi ra bằng một cửa khác bằng số chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử và bằng cách.
Bài 2: Cần chọn từ 9 học sinh nữ và 7 học sinh nam ra 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy nam- nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép?
 HD: Số cách chọn 3 nam là cách
Số cách chọn 3 nữ là cách.
Số cách chọn 3 nam và 3 nữ là cách
Do đó số cách ghép 3 cặp nhảy nam- nữ là 
Bài 3: Trên mặt phẳng cho một đa giỏc lồi có 10 cạnh. Tìm số đường chéo của đa giác?
HD
a) Cách 1:
Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là ,số cạnh của đa giác là 10 nên số đường chéo của đa giác là -10 =35.
Cách 2:
Từ một đỉnh của đa giác kẻ tới 7 đỉnh kia (trừ đỉnh đó và hai đỉnh kề nó) được 7 đường thẳng nên kẻ được tất cả 107= 70 đường thẳng. Mỗi đường thẳng nói trên đó được tính lặp 2 lần chẳng hạn từ đỉnh A đó nối tới D sau đó từ đỉnh D lại nối tới A . Do đó số đường chéo phân biệt của đa giác lồi 10 cạnh là .
2- Bài toán về hoán vị 
Cần chú ý cho học sinh rằng:
- Số hoán vị của phần tử là 
Ví dụ :
 Có bao nhiêu cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình chữ U?
 HD 
 Mỗi một cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình chữ U là một hoán vị của 7 phần tử, nên số cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình chữ U là cách.
 Bài tập tương tự:
 Một nhân viên bán hàng cần đi giao dịch tại 8 địa điểm khác nhau. Cuộc hành trình có thể bắt đầu từ bất kỳ địa điểm nào đó và đến 7 địa điểm còn lại theo thứ tự tuỳ ý. Hỏi:
Có thể đi qua tất cả các địa điểm này theo bao nhiêu lộ trình khác nhau? 
ĐS: Có lộ trình.
3- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số đôi một khác nhau.
Ví dụ 1
Với các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0)
 Sai lầm thường gặp:
*Lời giải sai : 
Gọi số cần tìm là 
Chọn số ở vị trớ có 4 cách chọn từ tập 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và 
Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn 
Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 4.5.5.4.3 = 1200 số 
* Nguyên nhân sai lầm
- Trong trường hợp thì chọn số ở vị trí có 5 cách là đúng
-Trong trường hợp thì chọn số ở vị trí có 5 cách là sai vì lúc này chọn số ở vị trí có 6 cách chọn chỉ trừ 
* Lời giải đúng :
Cách 1:
Dùng quy tắc nhân
Gọi số cần tìm là vì số cần tìm là số chẵn nên các số cần tìm có dạng , , .
Tìm số các số dạng 
Chọn số ở vị trí có 6 cách chọn trừ 0
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ 0 và 
Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn 
Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3 = 360 số 
- Tìm số các số dạng 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và 
Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn 
Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 5.5.4.3 = 300 số
- Tương tự mỗi dạng , cho ta 300 số
Theo quy tắc cộng cú 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0)
Cách 2 
Cần làm cho học sinh thấy rõ mỗi một số cần tìm là một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử của tập đó cho, chẳng hạn từ các số 0, 1,2, 5, 7 có thể thành lập được các số chẵn chẳng hạn các số 12570, 12750, 70152, 75012 là các số cần tìm.
Hay nói cách khác mỗi số cần tìm là một tập con có tính thứ tự.
- Tìm các số chẵn dạng có số.
- Tìm các số chẵn dạng với 
Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn vì 
Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn.
Có 3.5. cách.
Theo quy tắc cộng có số
* Ghi nhớ
- Khi thành lập các số từ một tập hợp cần chú ý xem tập hợp đó có chứa số 0 hay không. Nếu chứa số 0 nên chia thành hai trường hợp.
- Với loại toán này nên sử dụng kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn 
Ví dụ 2: Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số với các chữ số đôi một khác nhau sao cho:
a) Số cần lập là số lẻ.
b) Số cần lập là số chẵn.
Giải
Gọi và số cần tìm là 
a) Cách 1
Vì số cần tìm là số lẻ nên : 
Chọn có 3 cách chọn từ 
Chọn có 4 cách.
Chọn có 3 cách.
Chọn có 2 cách. 
Chọn có 1 cách.
Theo quy tắc nhân có 34321=72 số 
Cách 2 
Chọn có 3 cách chọn từ tập. Các số ở vị trí , , , là một hoán vị của 4 phần tử còn lại sau khi đó chọn . 
Do đó có số 
Theo quy tắc nhân cú 324 =72 số 
b/ Tương tự: Kết quả 72 số.
Một số bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5
a) Từ tập hợp sáu chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có năm chữ số đôi một khác nhau?
b) Từ tập hợp sáu chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có năm chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết có mặt chữ số 5?
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2,5, 7, 8. có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho
a) số tạo thành là số chẵn
b) Số tạo thành không có mặt chữ số 7
c) Số tạo thành nhỏ hơn số 278
4- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số có thể trùng nhau.
Ví dụ 7: Từ các chữ số lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số sao cho chữ số 1 và chữ số 6 có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số khác có mặt một lần.
 * Cần cho học sinh thấy khi thành lập các số nếu các chữ số khác nhau thì khi tráo đổi vị trí của hai chữ số cho nhau ta được một số khác, còn nếu hai chữ số giống nhau khi tráo đổi vị trí của hai chữ số đó cho nhau thì không được một số khác. Nên khi chọn vị trí để viết các chữ số giống nhau thì các vị trí này không có thứ tự. Chẳng hạn với số 124654 khi tráo đổi vị trí của hai số 4 cho nhau vẫn được số124654. 
Giải
Cách 1
Có cách chọn vị tri để viết chữ số 1
Có cách chọn vị trí để viết chữ số 6
Có 4! Cách viết 4 số vào 4 vị trí còn lại
Theo quy tắc nhân có 28 15 24 = 10080 số
Cách 2
Nếu coi 2 chữ số 6 là khác nhau và 2 chữ số 1 là khác nhau thì số cần tìm được thành lập từ tập có 8 chữ số do đó số các chữ số có 8 chữ số là 8!. Nhưng các chữ số giống nhau khi bị đổi chỗ cho kết quả là một tức là do chữ số 1 có mặt 2 lần và chữ số 6 có mặt 2 lần nên số kết quả cần tìm phải giảm đi 4 lần. Vậy có số 
Một số bài tập tương tự: 
Bài 1: Viết các số có 6 chữ số từ các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số có một chữ số xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi cú bao nhiêu số như vậy?
Bài 2: Xét một số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a) 5 chữ số 1 kề nhau.
b) Các chữ số được xếp tuỳ ý
V. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
 Kết quả khảo sát (số học sinh đạt điểm từ 5,0 trở lên) so sánh những năm chưa áp dụng và đã áp dụng phương pháp này.
Năm học
Lớp
Sĩ số
Kết quả khảo sát
Số
lượng
Tỷ lệ
Chưa thực hiện giải pháp 
2017-2018
11A
32
18
56,3%
Đã thực hiện giải pháp 
2017-2018
11A
32
25
78,1 %
 Qua thực tế áp dụng đề tài trên đã mang lại hiệu quả học tập cao hơn cho thầy và trò chúng tôi nhất là đối tượng học sinh học yếu ,kém,số học sinh đạt điểm yếu giảm đi rõ rệt . Về phía học sinh, các em học tập rất tích cực và hứng thú ,đặc biệt khi giải bài tập các em rất tự tin ,chủ động phân tích đề bài để lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng dạng toán và tìm hiểu bản chất của vấn đề chứ không rập khuôn máy móc như trước ,phát huy tính tích cực ,sáng tạo của học sinh đặc biệt là đối tượng học sinh yếu, kém các em thích học môn toán hơn, các tiết luyện tập, ôn tập kiến thức lôi cuốn học sinh hơn, các em chủ động trong việc giải bài tập.
Vì vậy, kết quả học tập của các em cũng tăng cao hơn so với những năm chưa áp dụng phương pháp này.
PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
I . KẾT LUẬN
 Đây là một đề tài tôi áp dụng cho học sinh của trường trong năm học 2017 – 2018 và những năm tiếp theo. 
 Việc áp dụng đề tài này cho học sinh có ý nghĩa quan trọng nhằm giúp các em có kiến thức vững vàng hơn về tổ hợp,các em biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán và biết cách trình bày bài giải và đồng thời các em biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể.Từ đó các em có thái độ tích cực hơn trong học tập và giáo viên cũng có hứng thú hơn trong giảng dạy.
II. ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ
 Nhà trường tăng cường nhiều hơn nữa sách tham khảo giúp học sinh tự nghiên cứu các vấn đề mà các em quan tâm.
 Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra trong quá trình giảng dạy. Các vấn đề đã đưa ra có thể không tránh khỏi thiếu sót tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
 Đại Phước , ngày 15 tháng 10 năm 2018
 Người viết sáng kiến
 Lê Thị Mỹ Ngoan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Phương pháp giải toán tổ hợp 
 Tác giả: Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí
 2- Các sáng tạo khi giải toán
 Tác giả: Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn
 3- Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 11
 Tác giả Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hương, Hồ Xuân Thắng.
MỤC LỤC