SKKN Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI 
TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI 
------------ * * * ----------- 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ĐỀ TÀI: 
" SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" 
Môn: Toán 
Người thực hiện : Vũ Thị Kim Oanh 
Giáo viên môn Toán 
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn 
Năm học : 2011 – 2012 
A. MỞ ĐẦU 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 
 Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản của chương trình Đại 
số và giải tích 11 nói riêng và chương trình Toán phổ thông nói chung. Có nhiều cách 
để giải một phương trình lượng giác - một trong những cách thường sử dụng là: 
Phương pháp đặt ẩn phụ. Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành, 
chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ khi giải các phương trình lượng giác 
nên học sinh bước đầu còn khó khăn khi vận dụng. Song một số bài toán lượng giác 
giải bằng phương pháp này sẽ đơn giản và tối ưu hơn các phương pháp khác, hơn nữa 
trong các đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất hiện các loại toán này. Vì vậy, tôi viết 
đề tài này để giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng 
phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 
 Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính cần làm rõ sau: 
 1. Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện. 
 2. Kết hợp nghiệm. 
 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác . 
 Với mỗi nội dung được trình bày theo một hệ thống lô gíc chặt chẽ từ các bài toán 
đơn giản, đến phức tạp phân tích vấn đề. Từ đó hình thành kĩ năng giải phương trình 
lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ. 
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 
 Các kiến thức về phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT . 
IV. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM : 
 1. Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh 11 chương trình cơ bản. 
 2. Ôn thi ĐH. 
V. PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU : 
1. Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT số 2 Thành phố Lào Cai 
2. Kế hoạch nghiên cứu: 
- Thời gian bắt đầu: Tháng 09 năm 2011. 
- Thời gian hoàn thành: Tháng 12 năm 2011. 
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài. 
- Quan sát, điều tra. 
- Tổng kết kinh nghiệm. 
- Lập bảng biểu, thống kê  
B. NỘI DUNG 
I. CƠ SỞ KHOA HỌC 
1. Cơ sở lý luận. 
* Các công thức biến đổi lượng giác. 
a) Công thức cộng: 
 cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb 
 sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb 
 tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b
  
b) Công thức nhân đôi: 
 cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a ; sin2a = 2sinacosa 
 2
2 tantan 2 ,
1 tan 2 4 2
aa a k a k
a
c) Công thức hạ bậc: 2 1 cos2cos
2
aa ; 2 1 cos2sin
2
aa 
d) Công thức biến đổi: 
- Tích thành tổng: 
  1cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b 
  1sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b 
  1sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b 
- Tổng thành tích: 
 cos cos 2cos cos
2 2
a b a ba b 
 cos cos 2sin sin
2 2
a b a ba b 
 sin sin 2sin cos
2 2
a b a ba b 
 sin sin 2cos sin
2 2
a b a ba b 
* Phương trình lượng giác cơ bản. 
a) Phương trình sinx = a : 
- Trường hợp 1a : Phương trình vô nghiệm. 
- Trường hợp 1a : 
Phương trình có các nghiệm là: 2 ( )
2
x k
k Z
x k
 với sin a 
Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2
sin a
thì ta viết arcsina . Khi 
đó, phương trình có các nghiệm là: 2 ( )
2
x k
k Z
x k
arcsina
arcsina
b) Phương trình cosx = a : 
- Trường hợp 1a : Phương trình vô nghiệm. 
- Trường hợp 1a : 
Phương trình có các nghiệm là: 2x k ( )k Z với c a os 
Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 0
c a
 os thì ta viết arccosa . Khi đó, 
phương trình có các nghiệm là: 2x k arccosa ( )k Z 
c) Phương trình tanx = a : 
- Điều kiện của phương trình : 
2
x k ( )k Z 
Phương trình có các nghiệm là: x k ( )k Z với tan a 
Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2
tan a
thì ta viết arctana . Khi 
đó, phương trình có các nghiệm là: x k arctana ( )k Z 
d) Phương trình cotx = a : 
- Điều kiện của phương trình : x k ( )k Z 
Phương trình có các nghiệm là: x k ( )k Z với cot a 
Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 0
cot a
 thì ta viết arccota . Khi đó, 
phương trình có các nghiệm là: x k arccota ( )k Z 
2. Cơ sở thực tiễn. 
Phần lý thuyết về cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn 
phụ trong sách giáo khoa hiện hành được viết lồng vào cách giải của một phương trình 
lượng giác cụ thể nên chưa được tách biệt rõ. Các kiến thức có liên quan về phương 
pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được trình bày khá đơn giản, hệ thống 
ví dụ chưa phong phú. Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải 
phương trình lượng giác các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng còn gặp 
nhiều khó khăn. Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít và không đa dạng nên gây khó 
khăn cho học sinh khi ôn tập về dạng toán này đặc biệt là ôn thi Đại học – Cao đẳng. 
Qua khảo sát thực tiễn đối với 40 học sinh lớp 11, kết quả đạt được như sau: 
Kết quả Số học sinh Tỷ lệ 
Điểm giỏi 1 2,5% 
Điểm khá 5 12,5% 
Điểm trung bình 13 32,5% 
Điểm yếu 10 25% 
Điểm kém 11 27,5% 
II. MÔ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP. 
1. ĐẶT ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN. 
- Đối với việc giải phương trình lượng giác bước đặt điều kiện cho phương trình là 
một bước làm quan trọng không thể bỏ qua, nó quyết định việc tìm ra nghiệm là đúng 
hay sai. 
- Hầu hết các bài tập ta đều đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn. Song một số bài tập ta chỉ 
cần đưa ra điều kiện trung gian mà không cần đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn vì điều đó 
là không cần thiết hoặc phức tạp. 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
1cot
)sin(cos2
2cottan
1
 x
xx
xx
 (1) 
Giải: 
 Điều kiện : 
1cot
02sin
02sin
0cos
0sin
01cot
02cottan
x
x
x
x
x
x
xx
 (*) 
Với điều kiện (*) : 
xxx
xxxxx
x
x
x
xxx
2sin
1
2sin.cos
)sin21(coscos.sin2.sin
2sin
2cos
cos
sin2cottan
2
x
xxx
sin
sincos1cot 
Do đó: 
2
2cos
sincos
sin).sin(cos22sin)1( 
 x
xx
xxxx 
Kết hợp với điều kiện (*) ta được : 2
4
kx , Zk 
Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là 2
4
kx , Zk 
*, Như vậy: Với cách đặt điều kiện dưới dạng điều kiện trung gian (*) đã giúp ta giải 
bài toán dễ dàng hơn vì việc tìm ra điều kiện của x thoả mãn (*) khá phức tạp trong 
khi giải phương trình ta chỉ cần kiểm tra điều kiện dưới dạng hệ điều kiện (*) là đủ. 
- Khi giải phương trình lượng giác thì bước kiểm tra điều kiện cũng là một trong 
những bước quan trọng giúp ta định hướng lời giải và tìm ra những nghiệm đúng của 
phương trình đã cho. 
 Bước kiểm tra điều kiện chỉ đơn thuần là so sánh xem ẩn tìm được đã thoả mãn điều 
kiện đặt ra hay chưa? 
 Song với một số bài tập bước kiểm tra điều kiện không chỉ có vậy, nó còn bao gồm 
cả việc kiểm tra ẩn và một số yếu tố có liên quan đến ẩn khác nữa có thoả mãn giả 
thiết của bài toán đưa ra hay không? 
Ví dụ 2: Cho 
4
5210cos x với 00 900 x . Hãy tìm x4sin , từ đó suy ra x. 
Giải: 
Ta có : 
 +, 
4
526
16
52101sin x 
 Vì 00 900 x nên 0sin x do đó 
4
526sin x 
 +, 
4
5210cossin22sin xxx ; 51sincos2cos 22 xxx 
 +, 
4
52102cos2sin24sin xxx 
Như vậy: 
5
2
5
3
2
cos4sin 
kx
kx
xx , Zk 
Vì 00 900 x nên 
0
0
30
18
x
x
Nhận thấy: 
2
330cos 0
4
5210 nên 030 x không thoả mãn. 
Kết luận : Phương trình đã cho có một nghiệm là x = 180 
*, Đối với bài tập này trong quá trình giải phương trình ta đều kiểm tra điều kiện 
00 900 x . Tuy nhiên: Khi tìm được x4sin rồi suy ra x thì chỉ kiểm tra điều kiện 
00 900 x là chưa đủ vì có 030 x không thoả mãn. Mà ta còn kiểm tra cả điều kiện 
 030cos
4
5210 , đây là điều kiện của giá trị lượng giác của x chứ không phải là 
điều kiện của x. 
2. KẾT HỢP NGHIỆM. 
- Giải phương trình lượng giác là một dạng toán khó, nó không chỉ gây cho ta khó 
khăn khi tìm điều kiện, tìm phương pháp giải mà một trở ngại thường gặp phải đó là 
việc kết hợp nghiệm. 
- Với một số bài tập việc tìm điều kiện, tìm phương pháp giải rất đơn giản song việc 
kết hợp nghiệm lại khá phức tạp, trong khi câu trả lời về nghiệm của phương trình lại 
không thể đưa ra dưới dạng một hệ điều kiện mà trong đó có những giá trị của nghiệm 
trùng nhau ở các điều kiện trong hệ đưa ra. 
- Để giải quyết khó khăn trên ta sử dụng một công cụ rất hữu hiệu đó là đường tròn 
lượng giác, người giải chỉ cần nắm rõ quy tắc biểu diễn cung lượng giác trên đường 
tròn lượng giác. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 03sincos xx (2) 
Giải: 
+, Trường hợp 1: 0cos x 2
22
2 kxk (*) , Zk 
 Với điều kiện (*), phương trình (2) trở thành : 
28
4
0)2
4
cos(
0)
4
sin(
03sin)
2
sin(03sincos 
nx
lx
x
x
xxxx ,( Znl , ) 
 Kết hợp với (*) ta được 
2
8
3
2
8
2
4
mx
mx
mx
 , Zm 
+, Trường hợp 2: 0cos x 2
2
32
2
kxk (**) , Zk 
 Với điều kiện (**), phương trình (2) trở thành : 
28
4
0)
4
cos(
0)
4
2sin(
03sin)
2
sin(03sincos 
nx
lx
x
x
xxxx , 
( Znl , ) 
Kết hợp với (**) ta được 
2
8
10
2
8
9
2
8
5
mx
mx
mx
 , Zm 
Kết Luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là 2
4
kx , 
 2
8
kx , 2
8
3 kx , 2
8
5 kx , 2
8
9 kx , 2
4
5 kx , Zk 
*, Qua bài tập này ta thấy việc định hướng và tìm ra lời giải tương đối dễ dàng song 
việc tìm ra nghiệm của phương trình thì phức tạp hơn nhiều và ta phải sử dụng đường 
tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trong từng trường hợp và tìm ra nghiệm cuối cùng 
của phương trình. 
y 
xO 
y 
xO 
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC. 
 Khi giải phương trình lượng giác ta thường gặp một số các phép đặt ẩn phụ sau: 
 1. Đặt 
2
tan xt khi phương trình có dạng 0)cos,(sin xxf 
 2. Đặt xt tan khi phương trình có dạng 0)2sin,(sin2 xxf 
 3. Đặt xxt cottan , 2 t khi phương trình đã cho là phương trình đối xứng của 
xtan và xcot 
 4. Đặt xt sin , 1 t khi phương trình có dạng 0)2cos,(sin xxf 
 5. Đặt xt cos , 1 t khi phương trình có dạng 0)2cos,(cos xxf 
 6. Đặt xt 2cos , 1 t khi phương trình có dạng 0)cos,(sin xxf nm 
 7. Đặt 
x
t