Sáng kiến kinh nghiệm Một vài cách xây dựng bất đẳng thức đơn giản

Phần I: MỞ ĐẦU
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong quá trình giảng dạy phần bất đẳng thức, giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc xây dựng hệ thống bài tập để củng cố kiến thức cho học sinh. Để khắc phục điều này tôi đề xuất sáng kiến “ Một vài cách xây dựng bất đẳng thức đơn giản”. Sáng kiến này áp dụng được cho tất cả giáo viên dạy toán cấp trung học, tôi đã đề xuất hai cách xây dựng bất đẳng thức đơn giản qua cách xây dựng bất đẳng thức này cũng trang bị cho học sinh phương pháp giải toán bất đẳng thức
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Qua việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm đã giúp giáo viên xây dựng hệ thống bài tập chủ động hơn, giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn, tạo niềm say mê học toán cho học sinh. Các ví dụ minh họa sáng kiến được tác giả sáng tạo và lấy trong các kì thi đại học, thi học sinh giỏi.
NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
 Trình bày nội dung bất đẳng thức, chứng minh và hướng dẫn ra đề các bài tập tương tự cũng như cách giải với một số bài tập tương tự.
Rèn luyện tư duy toán thong qua giải các bài tập chứng minh bất đẳng thức đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán.
 IV.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Đề tài này được áp dụng cho các giáo viên Toán THPT và học sinh các lớp 10,11 và 12.
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Dựa vào các chuyên đề bất đẳng thức thường gặp và bất đẳng thức nâng cao trong các kì thi.
Hướng dẫn học sinh tìm bài tập có liên quan, tạo tình huống có vấn đề để học sinh cùng trao đổi, nghiên cứu.
VI.NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
 Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh lớp 10 và 11 một năm qua tôi thấy học sinh rất có hứng thú trong học tập chương bất đẳng thức, bước đầu học sinh đã hình dung được phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức. Đối với bản thân tôi, cũng tìm được cách mới để đưa học sinh vào tiếp cận các bài bất đẳng thức khó trong một số đề thi.
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
 Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa 
học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã 
giải hãy tìm thêm các kết quả thu đợc sau mỗi bài toán tởng chừng nh đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức.
CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các 
bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với 
bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu 
cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường 
THPT tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang đậm một nội 
dung phong phú và đa dạng. ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết 
luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả 
đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm đợc điều đó thì đòi 
hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo. 
Chương II: MỘT VÀI CÁCH XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC
1.MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ THUYẾT LIÊN QUAN.
1.1.Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
 1.( A+ B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A- B )2 = A2 - 2AB + B2
3. A2 - B2 = (A+B )( A- B )
4. ( A+ B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. ( A- B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3 + B3=( A+ B )( A2 - AB+ B2)
7. A3 - B3=( A- B )( A2 + AB+ B2)
1.2. Khai triển Taylo với hàm một biến.
Trong toán học cao cấp ta biết khai triển Taylo đối với hàm một biến trên trường số thực.
Nếu hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc (a;b). f(x) có đạo hàm cấp n+1 trên lân cận của x0 và tại x0 khi đó ta có công thức Taylo với phần dư dạng Lagrang
	Trong đề tài này tôi đã dựa trên các hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức Taylo để đưa ra hai cách xây dựng bất đẳng thức đơn giản.
2. MỘT VÀI CÁCH XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN.
2.1.Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Với đối tượng học sinh THPT , học sinh được học bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 10 mà đây là một phần rất khó đòi hỏi học sinh phải làm nhiều bài tập qua đó hình thành kĩ năng chứng minh bất đẳng thức. Trong sách giáo khoa có đưa ra số lượng bài tập ít nên đòi hỏi giáo viên phải tìm tòi thêm bài tập hoặc sáng tạo ra các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh. Với việc sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ ta sẽ xây dựng được các bất đẳng thức phù hợp với đối tượng học sinh dựa trên nguyên lí: Tổng các số không âm luôn không âm.
Ví dụ 1: 
Chứng minh rằng .
Đây là bài toán đơn giản rất phù hợp với học sinh mới học bất đẳng thức, cách xây dựng của ta là :
Xuất phát từ 3 bất đẳng thức ta cộng 3 bất đẳng thức lại rồi rút gọn sẽ thu được bất đẳng thức trên
 Ví dụ 2: 
Cho các số thực a, b thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Đây là 1 bài toán khó hơn nhiều so với bài toán trước đòi hỏi học sinh có tư duy tốt hơn và cách xây dựng của ta cũng khéo hơn nhằm làm cho học sinh khó phát hiện ra những hằng đẳng thức và phải biết vận dụng giả thiết.
Cách xây dựng của ta như sau: Ta biết do vậy nên ta tạo ra giả thiết nhằm che khuất phần bất đẳng thức đúng. Bất đẳng thức trên có được bằng cách biến đổi , rút gọn .
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đòi hỏi học sinh có tư duy tốt hơn và có kĩ năng giải toán bất đẳng thức. Bài toán trên xây dựng trên phép biến đổi, rút gọn .
Ví dụ 4:
Xuất phát từ việc biến đổi , rút gọn ta được bất đẳng thức , dấu đẳng thức xảy ra khi , ta chọn và thì nên ta có bài toán:
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ví dụ 5:
Cũng với cách xây dựng ta được 
.
Ta chọn sao cho ta có bài toán : Cho a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
Trong tam giác ABC ta có nên gắn vào tam giác ABC ta có bài toán:
Xét tam giác ABC. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Rõ ràng bài toán này không đơn giản.
Ví dụ 6: 
Để xây dựng bài toán tìm giá trị lớn nhất ta cũng làm tương tự, chẳng hạn xuất phát từ việc biến đổi , rút gọn ta được bất đẳng thức :
 dấu đẳng thức xảy ra khi , ta chọn và thì nên ta có bài toán: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Với cách làm như trên ta có thể xây dựng được nhiều bài toán bất đẳng thức phù hợp với đối tượng học sinh , góp phần rất lớn vào việc phát triển tư duy toán cho học sinh.
Qua thực tế khi chưa thực hiện đề tài này , nhiều giáo viên còn rất lung túng khi dạy phần bất đẳng thức lớp 10: lúng túng trong việc xây dựng hệ thống bài tập, trong việc tìm bài tập hợp lí, trong viêc ra bài tập mà học sinh đã biết rồi, . Khi có đề tài này thì các vấn đề đã được giải quyết, học sinh hăng hái hơn khi học phần bất đẳng thức, giáo viên hào hứng dạy phần này , kết quả giảng dạy nâng nên rõ rệt.
2.2.Sử dụng khai triển Taylo với hàm một biến.
Trong chương trình giải tích 12, học sinh được trang bị kiến thức ứng dụng đạo hàm trong đó 1 trong những ứng dụng là để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số. Để rèn luyện kỹ năng này giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập hợp lí, phù hợp với đối tượng học sinh do vậy giáo viên cần phải biết cách sáng tạo ra bài tập để phục vụ mục đích này.
Xuất phát từ khai triển Taylo được trang bị trong trường đại học, tôi đã xây dựng các bài toán bất đẳng thức như sau:
Ta xét hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm trên khoảng này xét x0 trong khoảng (a;b).
Dùng khai triển Taylo tại x0 ta có 
.
Ta chọn hàm số có 
, dấu đẳng thức xẩy ra khi x=x0.
Thay đổi vai trò của x và x0 ta có 
Ví dụ 7: 
Xét hàm số 
có 
áp dụng công thức (1) với ta có 
ta có bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [].
Việc giải bài toán này không khó khăn
Cách giải
Xét hàm số trên []
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [] là .
Đây là một bài toán đơn giản giúp giáo viên củng cố cho học sinh qui tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn rất tốt.
Ví dụ 8: 
Xét hàm số 
có 
áp dụng công thức (1) với ta có 
ta có bài toán: 
Chứng minh rằng .
Cách giải
Xét hàm số 
 đồng biến trên (0;) , có nên ta có bảng biến thiên
từ bảng biến thiên ta được 
.
Với bài toán này giáo viên củng cố tốt cho học sinh cách áp dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, ta cũng có thể thay nó thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Ví dụ 9: 
Xét hàm số 
có 
áp dụng công thức (1) với ta có 
áp dụng công thức (1) với và thay x bởi y ta có 
cộng 2 vế (a) và (b) ta được 
bằng cách hạn chế điều kiện của x, y ta có bài toán sau:
Cho các số thực x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Cách giải
 Xét hàm số , áp dụng công thức (1) với ta có 
nên ta hướng dẫn học sinh giải như sau:
có 
 với mọi x, y thỏa mãn 
Với bài toán này ta có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh các cấp học.
Bằng cách thay đổi vai trò của x0 và x , từ (a) và (b) ta có
bằng cách hạn chế điều kiện của x, y ta có bài toán sau:
Cho các số thực x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Cách giải bài toán này tương tự bài toán trên.
Cũng với cách làm này ta chọn hàm số phức tạp thì sẽ tạo ra những bài toán khó hơn
Ví dụ 10: 
Xét hàm số trên (0;+).
có 
áp dụng công thức (1) với ta có 
áp dụng công thức (1) với và thay x bởi y ta có 
cộng 2 vế (a) và (b) ta được 
bằng cách hạn chế điều kiện của x, y ta có bài toán sau:
Cho các số thực x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Rõ ràng bài toán này khó khăn hơn nhiều bài toán trước
Cách giải
Xét hàm số 
do vậy đồng biến trên (0;+) có f(a)=0 . ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên (1)
Chọn a=3 thay vào (1) và chọn x=y, a=2 thay vào (1) ta có 
Do nên .
Đối với bài toán này đòi hỏi học sinh phải sử dụng linh hoạt hơn kiến thức đạo hàm.
Bằng cách tương tự ta cũng có thể xây dựng những bất đẳng thức nhiều biến hơn
Ví dụ 11: 
Xét hàm số trên (0;+).
có 
áp dụng công thức (2) với ta có 
áp dụng công thức (2) với và thay x bởi y ta có 
áp dụng công thức (2) với và thay x bởi z ta có 
cộng 2 vế (a) (b) và (c) ta được 
bằng cách hạn chế điều kiện của x, y,z ta có bài toán
Cho các số thực x, y thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Cách giải
Xét hàm số , áp dụng công thức (2) với ta có 
nên ta hướng dẫn học sinh giải như sau:
do
tương tự nên 
Do nên .
Với bài toán này ta có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh các cấp học.
Khi điều kiện đề bài được dấu đi , các bất đẳng thức nhận được sẽ khó hơn , chẳng 
hạn trong tam giác ABC thì A+B+C=
Ví dụ 12: 
Xét hàm số 
có 
áp dụng công thức (1) với ta có (*)
dấu đẳng thức xảy ra khi .
Áp dụng (*) trong tam giác ABC ta có:
Cộng vế với vế (a),(b),(c) ta có
Thay A+B+C= ta được ta có bài toán: 
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có các góc (đo bằng radian) thỏa mãn điều kiện sau thì nó là tam giác đều 
.
Rõ ràng bài toán này là kết quả của hai bất đẳng thức ngược chiều khi xảy ra đẳng thức đó là
Trong tam giác ABC ta có và 
Tuy nhiên ta thấy A, B, C có vai trò như nhau và đẳng thức xảy ra khi A=B=C= nên ta nghĩ đến việc xét hàm số có ; 
 do vậy ta sẽ chọn 1 hàm số có đạo hàm tại bằng 0. Ta có cách giải sau:
Cách giải 
Xét hàm số 
có 
 đồng biến trên (0;) có nên ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên dấu đẳng thức xảy ra khi .
Với mọi tam giác ABC ta có 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Ví dụ 13: 
Xét hàm số 
có 
áp dụng công thức (1) với ta có 
dấu đẳng thức xảy ra khi .
Ta có bài toán sau: 
( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2011-2012)
Chứng minh . Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có .
Cách giải ( Đáp án của Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương)
Xét hàm số trên 
Vì cùng dấu với . Bảng biến thiên của 
x
0
-
0
+
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên 
. Tương tự, cộng lại ta được
Kết hợp với ta có đpcm
Ví dụ 14: 
Xét hàm số 
có 
áp dụng công thức (1) với ta có 
dấu đẳng thức xảy ra khi .
Ta có bài toán sau: ( Đề thi đại học Ngoại Thương TP HCM năm 1996)
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
Cách giải
Xét hàm số 
 đồng biến trên có nên ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có : 
Áp dụng vào tam giác ABC ta có và A+B+C= ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 15: 
Xét hàm số 
áp dụng công thức (1) với ta có 
dấu đẳng thức xảy ra khi .
Ta có bài toán sau: ( Đề thi đại học Quốc gia TP HCM năm 1998)
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
Cách giải
Xét hàm số 
 đồng biến trên có nên ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có : 
Áp dụng vào tam giác ABC ta có và A+B+C= ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 16: 
Xét hàm số 
áp dụng công thức (1) với ta có 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có bài toán sau: ( Đề thi đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1999)
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức :
Cách giải
Xét hàm số 
 đồng biến trên có nên ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có : 
Áp dụng vào tam giác ABC ta có và A+B+C= ta được do vậy 
đều.
Ví dụ 17: 
Xét hàm số 
áp dụng công thức (1) với ta có 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có bài toán sau: ( Đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội – Khối A năm 2000)
Với a, b, c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng :
.
Cách giải
Xét hàm số 
bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có : 
Do vậy với mọi x, y, z dương ta có 
(*)
Đặt 
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
 ta có 
Thay x, y, z vào (**) ta đươc điều phải chứng minh .
Ví dụ 18: 
Xét hàm số 
áp dụng công thức (1) với ta có 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có bài toán sau: ( Đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội và Học Viện Ngân Hàng– Khối D năm 2001)
Chứng minh rằng với mọi x>0 và với mọi >1 ta luôn có . Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a, b, c bất kì thì 
Cách giải
Xét hàm số 
bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có : 
Với ta có 
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 
Ta có do vậy 
Với cách xây dựng các bài toán như trên , ta có thể xây dựng được hệ thống bài tập phù hợp với các đối tượng học sinh củng cố kiến thức hay bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học. Cùng với ý tưởng xây dựng hệ thống bài tập theo hai cách trên ta có thể kết hợp với những cách khác sẽ tạo ra nhiều bài toán hay phục vụ tốt cho nhiệm vụ dạy học của giáo viên , phát huy tốt tư duy học toán của học sinh.
Qua thực tế khi dạy phần ứng dụng đạo hàm ở chương trình giải tích 12, giáo viên rất lúng túng khi ra hệ thống bài tập.Tài liệu trên thực tế có rất nhiều nhưng sự lựa chọn bài tập cho hệ thống không dễ hoặc ra bài tập thì học sinh đã giải rồi thành ra bài dạy không có hiệu quả nhưng khi thực hiện sáng kiến này thì giáo viên tự tin hơn khi xây dựng hệ thống bài tập ( vì tất cả đều mới không có trong tài liệu tham khảo nào), học sinh học tập hăng say hơn , kết quả giảng dạy tốt hơn.
Phần III: KẾT LUẬN
Trên đây là hai cách xây dựng bất đẳng thức đơn giản mà tôi đã trình bày, kết quả bước đầu sau một năm thực hiện đề tài cho thấy : qua khảo sát ý kiến của các đồng nghiệp trong tổ ( đối tượng thử nghiệm sáng kiến ) đa phần đều cho nhận xét tốt, giáo viên nhàn hơn trong việc giảng dạy bất đẳng thức, học sinh học tập hăng hái hơn không còn sợ phần bất đẳng thức nữa và đề nghị mở rộng phạm vi thực hiện sáng kiến . Tôi nhận thấy trong quá trình thực hiện cũng còn nhiều vấn đề cần phải suy nghĩ và việc thực nghiệm còn trong phạm vi hẹp, tôi sẽ tiếp tục thực hiện đề tài rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp cho đề tài được hoàn chỉnh hơn .
Tôi cũng khuyến nghị lãnh đạo nhà trường thường xuyên mở các chuyên đề bồi dưỡng chuyên môn , nghiệp vụ, đổi mới phương pháp dạy học cho giáo viên, tổ chức cho cán bộ giáo viên giao lưu học hỏi kinh nghiệm với các trường bạn, cũng khuyến nghị Sở giáo dục và đào tạo phổ biến rộng rãi những sáng kiến đã được đánh giá cao tới các trường, tổ chức các lớp bồi dưỡng chuyên đề đổi mới phương pháp cho giáo viên toàn Tỉnh.
Do kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Xác nhận của cơ quan Tác giả
 Vũ Thị Sắc
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khao Đại số 10.
Sách giáo khoa Giải tích 12.
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012.
Đề thi đại học Ngoại thương TPHCM năm 1996.
Đề thi đại học quốc gia TPHCM năm 1998.
Đề thi đại học Bách khoa Hà Nội năm 1999.
Đề thi đại học Quốc gia Hà Nội khối A năm 2000.
Đề thi đại học Quốc gia Hà Nội khối D năm 2011.