SKKN Rèn luyện kỹ năng làm việc với phương trình mũ cho học sinh

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM VIỆC 
VỚI PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHO 
HỌC SINH 
A- Mở đầu 
I- Lý do chọn đề tài 
Phương trình mũ là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán học ở 
phổ thông . Rất nhiều đề thi , đặc biệt là đề thi Đại học , cao đẳng khai thác vấn đề 
này . Trong khi đó do thời gian có hạn nên SGK mới chỉ dừng lại ở các dạng bài 
tập cơ bản , mặc dù SGK cũng có sự phân loại song số lượng bài tập để học sinh 
tự rèn luyện rất ít và chưa phong phú Vì vậy, để giúp học sinh đỡ lúng túng khi 
gặp những bài toán về phương trình mũ , tôi đưa ra một số bài tập đã được phân 
loại cùng với phương pháp giải các loại bài tập này. 
II- Nhiệm vụ của đề tài 
Thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại cùng với phương pháp giải 
các dạng bài tập đó , thì nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần 
giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng làm việc với 
phương trình mũ. Đó là các kỹ năng sau: 
1- Giải các phương trình mũ bằng các phương pháp : 
- Biến đổi hai vế về những lũy thừa có cùng cơ số. 
- Lôgarit hóa 
- Đặt ẩn phụ 
- Phương pháp đánh giá hai vế 
- Phương pháp sử dụng chiều biến thiên (đạo hàm ) đồ thị. 
2 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình : 
- Có nghiệm , không có nghiệm. 
- Có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 
3 - Giải và biện luận phương trình mũ. 
III- Phương pháp tiến hành. 
- Trong các tiết học chính khóa cần yêu cầu học sinh nắm chắc : 
+ Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, và các tính chất của lũy thừa 
+ Hệ số mũ – tính chất 
+ Hàm số Lôgarit – tính chất 
+ Kỹ năng dùng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số. 
+ Kỹ năng vẽ đồ thị. 
+ Hiểu được thực chất nghiệm của phương trình ¦(x) = g (x) là hoành 
độ giao điểm của hai đồ thị y = ¦(x) và y = g (x). 
 - Trên cơ sở đó giáo viên đưa ra các dạng bài tập cho học sinh tự tìm tòi 
phương pháp giải Þ Kết luận về cách giải của từng dạng. 
IV- Đối tượng áp dụng : 
Học sinh lớp 11+12 
B- Nội dung 
Khi giải một phương trình mũ ta thường vận dụng các phương pháp biến 
đổi để đưa phương trình mũ đã cho về một trong hai dạng đơn giản nhất là : 
1) ax = ab ( 0 < a ¹ 1) 
 Û x = b 
2) ax = c 
 Û x = log a c ( 0 0 ) 
Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ là : 
I - Biến đổi hai vế của phương trình về những lũy thừa có cùng cơ số : 
 a = 1 
 ¦(x) & g(x) có nghĩa 
 a¦(x) = ag(x) Û 
 0 < a ¹ 1 
 ¦(x) = g(x) 
 a) Ví dụ : Giải các phương trình sau: 
 1) 21 = 1 
 Học sinh cần để ý thấy rằng 1 = a0 với a ¹ 0 . Vậy phương trình trên viết 
được dưới dạng : 
 21 = 210 Txđ : " x ÎR 
 Û x2 - 7x + 12 = 0 
 x = 4 
 Û 
x2-7x+12 
x2-7x+12 
{ 
{ 
 x = 3 
 Þ Đối với những phương trình có dạng a¦(x) = 1 ( 0 < a ¹ 1) ta có 
phương trình tương đương với phương trình trên là : ¦(x) = 0 
2) 32 = 0,25 . 128 
Nhận thấy : 32 = 2 5 ; 0,25 = = 2– 2 ; 128 = 2 7 
Vì thế 2) Û 2 = 2 –2 . 2 
 Û 2 = 2 
 Û = 
Đến đây ta có thể giải được phương trình để tìm nghiệm . 
3) ( Ö10 + 3 ) = ( Ö10 - 3 ) 
Ta thấy : ( Ö10 + 3 ) ( Ö10 - 3 ) = 1 Þ Ö10 - 3 = ( Ö10 + 3 )-1 
Þ 3) Û ( Ö10 + 3 ) = ( Ö10 + 3 ) 
 Û = - 
Từ phương trình này ta có thể dễ dàng giải ra để tìm được x 
Þ Nhận xét : Đối với phương trình mũ có 2 cơ số a, b mà a.b = 1 Þ b = a – 1 
 x + 5 
 x - 7 
 x+17 
 x - 3 
 5(x + 5) 
 x - 7 
7( x+17) 
 x - 3 
 5(x + 5) 
 x - 7 
7( x+17) 
 x - 3 - 2 
 5(x + 5) 
 x - 7 
7( x +17 ) – 2( x –3 
) 
 x - 3 
x - 3 
x - 1 
x + 1 
x + 3 
x - 3 
x - 1 
x + 1 
x + 3 
 x - 3 
 x - 1 
 x + 1 
 x + 3 
x2-7x+12 
 1 
 4 
 4) ( a )3 – x = 1 Sử dụng tính chất (am )n = am.n 
 Û a = 1 
 a = 1 a = 1 
 x Î R x Î R 
 Û Û 
 0 < a ¹ 1 0 < a ¹ 1 
 (x2 + x – 2) (3 – x) = 0 x = - 2 Ú x = 1 Ú x = 3 
 5) (x + 1) = 1 
 x + 1 = 1 x = 0 
 x – 3 ³ 0 x ³ 3 
 Û Û Û x = 3 
 0 £ x + 1 ¹ 1 - 1< x ¹ 0 
 x – 3 = 0 x = 3 
6) 8.3 x + 3. 2 x = 24 + 6 x 
Û 8 ( 3 x – 3 ) + 2 x (3 – 3 x ) = 0 
Û ( 3 x – 3 ) (8 - 2 x ) = 0 
Û 3 x = 3 Û x = 1 
 2 x = 8 x = 3 
Đối với phương trình này không thể đưa về cùng cơ số ngay thì ta có thể 
đưa về cùng một vế rồi đặt thừa số chung. 
b) Bài tập tương tự tự giải : 
 Ö 2 - x 
1) 0,25 . 4 2x – 3 = 
 8 
2) (Ö 6 + 2Ö 5 - Ö 6 - 2Ö 5 ) 2x + 2 2 ( x+ 1) = 320 
3) ( x2 - 2x + 2 ) = 1 
(x2-7x+12)(3 – 
x)
{ 
{ 
{ 
{ 
Ö x- 3 
{ 
{ 
{ 
{ 
Ö 4 – x2 
4) x2 . 2 x + 8 = 2. x2 + 2 x+ 2 
5) 2 - x - 2 = ( ) x + 1 + x - 1 
II- Logarit hóa hai vế 
Phương pháp này thường dùng đối với phương trình có dạng : 
a ¦(x) = b g(x) 
 Û loga a ¦(x) = loga b g(x) với a ¹ b 
 0 £ a , b ¹ 1 
Cơ số thường chọn cho phép logarit hóa khi lũy thừa chứa cơ số đó có số 
mũ phức tạp hơn. 
a) Ví dụ : 5 x = 3 Rõ ràng đây là phương trình không thể đưa về 
cùng một cơ số được . Vậy ta logarit hóa 2 vế với cơ số 3 ta được : 
log3 5
 x = log3 3 Txđ R 
Û x. log3 5 = x2 
Û x ( x – log3 5 ) = 0 
Û x = 0 
 x = log35 
 2) 2 . 3 x = 1,5 
 Cách 1 : 2 . 3 x = 3 . 2 –1 
 Û 
2 = 3 1 – x 
 Û x2 – 2x + 1 = log23 1 – x 
Û ( x – 1)2 + (x – 1) log2 3 1 – x = 0 
1 
2 
{ 
x2 
x2 x2 
x2- 2x 
x2- 2x 
x2- 2x + 1 
 Û x - 1 = 0 Û x = 1 
 x – 1 + log2 3 = 0 x = 1 – log2 3 
Cách 2 : Để ý thấy vế trái là tích 2 lũy thừa , vậy logarit hóa 2 vế ta có : 
log2 2 . 3 
x = log2 
 Û x2 – 2x + x.log2 3 = log2 3 – 1 
 Û x2 + (log2 3 – 2 ).x + 1 - log2 3 = 0 
 Û x = 1 ( vì có a + b + c = 0 ) 
 x = 1- log2 3 
 3) 2 3x. 3 x – 2 . 3 = 192 
 Û 2 3x. 3 x ( 1- ) = 2 6. 3 
 Û 2 3x. 3 = 2 6. 3 
 Û 2 = 3 
 Û 3x – 6 = (2 – x ) log2 3 
 Þ Tìm được x 
4) x = 10 ĐK : x > 0 
 x ¹ 1 
Û . lg x = 1 Þ Luôn đúng với " 0 < x ¹ 1 
b) Bài tập tương tự tự giải : 
1) 5 x + 5 + 5 = 3 x + 3 + 3 
2) 8 = 36 . 3 
3) 5 x . 8 = 500 
x2- 2x 3 
2 
3x +1 x -1 
2 
3 
x -1 
3x -6 2 - x 
 1 
 lg x 
{ 
 1 
lg x 
x +1 x +2 x +2 x +1 
 x 
 x +2 2 - x 
 x - 1 
 x 
4) x lg2 . 2 – lg x = 1 
III- Phương pháp đặt ẩn phụ: 
Trong phương pháp này luôn chú ý đến điều kiện của ẩn phụ . 
a) Nếu trong phương trình có chứa : ax , a2x , a3x thì ta đặt ax = t 
 Þ a2x = t2 , a3x = t3 . 
Þ Giải phương trình tìm t Þ tìm được x. 
Ví dụ : Giải các phương trình sau: 
1) 2 . 16 x – 15 . 4 x – 8 = 0 
Û 2 . 4 2x – 15 . 4 x – 8 = 0 
Đặt : 4 x = t > 0 
Þ 1) có dạng : 2. t2 – 15. t - 8 = 0 
Þ Từ đây ta có tìm được t Þ tìm được x. 
2) ( 5Ö 3 ) x + ( 10Ö 3 ) x -10 - 84 = 0 
Û ( 10Ö 3 ) 2x + - 84 = 0 
Đặt ( 10Ö 3 )x = t > 0 Þ 2) có dạng : 3.t2 + t – 252 = 0 
Þ Tìm được t Þ tìm được x. 
3) 4 - 5 . 2 = 6 
Û 2 . 2 - 5 . 2 - 12 = 0 
Û Đặt 2 = t > 0 Þ 3) có dạng : 2.t2 –5.t – 12 = 0 
Þ Tìm được t Þ tìm được x 
* Bài tập tương tự tự giải : 
( 10Ö 3 )x 
 3 
x+Ö x2 - 2 
x-1+Ö x2 - 2 
x+Ö x2 - 2 
x+Ö x2 - 2 
x+Ö x2 - 2 
 7 2x 
100 x 
x+Ö x2 - 2 
 1) = 6. ( 0,7 ) x + 7 
2) 9 - 7. 3 = 2 
3) 2 - 9 . 2 + 2 = 0 (Nhân 2 vế với 2 – 2x ) 
4) 8 x – 3 . 4 x – 3 . 2 + 8 = 0 
b) Nếu phương trình có dạng : a. ax + b. bx + g.cx = 0 
Trong đó : a.c = b2 thì chia 2 vế cho ax hoặc cx rồi đặt ẩn phụ. 
Ví dụ : Giải phương trình : 
6 . 9 x – 13 . 6 x + 6 . 4 x = 0 (*) 
Giải : Ta thấy : 9.4 = 36 = 62 nên 
(*) Û 6. ( )x – 13. ( )x + 6 = 0 
 Û 6. ( )2x – 13. ( )x + 6 = 0 
Đặt ( )x = t > 0 
(*) Û 6.t2 - 13.t + 6 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x. 
* Bài tập tương tự tự giải : 
1) 3.16 x + 2. 81x = 5.36 x 
2) 125 x + 50 x = 2 
3) 3 + 4. 15 = 3. 5 
c) Nếu phương trình có dạng : a. ax + b. bx + c = 0 
Trong đó : ax . bx = 1 thì : 
Cách 1 : Đặt ax = t > 0 Þ bx = 
Cách 2 : Đặt ax = U > 0 
 bx = V > 0 
khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ : U > 0 , V > 0 
Öx2 – 2x - 
x 
Öx2 – 2x - x -
1 
2x2 + 1 
x2 + x 
2x + 2 
x + 1 
9 
4 
6 
4 
3 
2 
3 
2 
3 
2 
3x + 1 
2x2+6x -9 
x2+3x -5 
2x2+6x -9 
1 
 t 
{ 
 U.V = 1 
 a.U + b. V + c = 0 
 Ví dụ : Giải phương trình sau: 
1) ( 5 +Ö 24 ) x + ( 5 - Ö 24 ) x = 10 
Nhận thấy : ( 5 +Ö 24 ) x . ( 5 - Ö 24 ) x = 1 
Cách 1 : Đặt ( 5 +Ö 24 ) x = t > 0 
Þ 1) có dạng : t + = 10 
Û t2 – 10 .t + 1 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x. 
Cách 2 : Đặt ( 5 +Ö 24 ) x = U > 0 
 ( 5 - Ö 24 ) x = V > 0 
Þ 1) Û U.V = 1 
 U + V = 10 
Þ Giải hệ tìm được U , V Þ tìm được x. 
2) ( 7 +4Ö 3 ) x – 3.( 2 - Ö 3 ) x + 2 = 0 
Ta thấy : 7 +4Ö 3 = ( 2 + Ö 3 ) 2 
Þ 2) Û ( 2 + Ö 3 ) 2 x - 3. ( 2 - Ö 3 ) x + 2 = 0 
Có : ( 2 + Ö 3 ) ( 2 - Ö 3 ) = 1 nên ta đặt ( 2 + Ö 3 ) x = t > 0 
Þ 2) có dạng : t2 - + 2 = 0 
Û t3 + 2.t - 3 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x. 
3) 2 + 4. 2 = 6 
Thấy : 2 . 2 = 2 
Đặt : 2 = t Î [ 1 ; 2 ] vì " x Î R Þ 0 £ Cos2 x £ 1 
Þ 20 £ 2 £ 21 Û 1 £ t £ 2 
Þ 2 = 
1 
 t 
{ 
3 
 t 
Sin2 x Cos2 x 
Sin2 x Cos2 x 
Cos2 x 
Cos2 x 
Sin2 x 2 
 t 
2 
 t 
 Þ 3) có dạng : + 4.t = 6 
Û 4.t2 - 6.t + 2 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x. 
Có thể đặt : 2 = U Î [ 1 ; 2 ] U.V = 
2 
 Û 
 2 = V Î [ 1 ; 2 ] U + 
4.V = 6 
Từ hệ trên có thể tìm U Î [ 1 ; 2 ] 
 V Î [ 1 ; 2 ] 
* Bài tập tương tự tự giải : 
1) ( 2 + Ö 3 ) x + ( 2 - Ö 3 ) x - 4 = 0 
2) ( 7 +3Ö 5 ) x + 7.( 7 - 3Ö 5 ) x = 2 x+ 3 
3) ( 5 - Ö 21 ) x + 7.( 5 + Ö 21 ) x = 2 x+ 3 
d) Nếu trong phương trình có chứa : a x ; ; a2x ; ; a3x ; 
thì đặt : a x + = t ³ 2 ( BĐT Côsi) 
hoặc : a x - = t 
Ví dụ : Giải phương trình : 
1) 4 x + 4 - x + 2 x + 2 - x = 10 
Û 22x + + 2 x + = 10 
Đặt : 2 x + = t ³ 2 ( BĐT Côsi) 
Þ 1) có dạng : t2 - 2 + t = 10 
Sin2 x 
Cos2 x 
1 
ax 
1 
a2x 
1 
a3x 
1 
ax
1 
ax 
1 
22x 
1 
2x
1 
2x 
 Þ Tìm được 
x 
 Û t2 + t - 12 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x. 
2) 23x - 6.2x - + = 1 
Û 23x - - 6 . (2 x - ) = 1 
Đặt : 2x - = t (Lập phương trình 2 vế ) 
Þ 23x - 3. 2x.2 + 3. - = t3 
Þ 23x - = t3 + 6.( 2 x - = t3 + 6.t 
Þ 2) có dạng : t3 + 6.t - 6.t = 1 Þ t = 1 Þ tìm được x 
* Bài tập tương tự tự giải : 
 8. 23x + 8. + 24. 2x + 24. = 125 
IV- Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 
Đối với phương pháp này ta thường làm như sau: 
Cho phương trình : ¦(x) = g(x) 
Nhận xét thấy x0 là nghiệm của phương trình. Sau đó chứng minh x > x0 
và 
x < x0 khô