SKKN Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LẬP 
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 
CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
CHÉO NHAU 
I ./ ĐẶT VẤN ĐỀ 
Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với nhiều học sinh, mà đặc biệt 
là hình học không gian, đa số các em không biết nối kết hình học tổng hợp với hình học giải 
tích. Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo chương trình nâng cao nhưng 
các em vẫn còn rất yếu về hình học. Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trình 
Hình học nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ trong không gian”, đòi hỏi phải 
nắm vững các kiến thức hình học không gian ở lớp 11. 
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một cách máy móc 
cách giải của một số bài toán mà các sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hình 
học tổng hợp với hình học giải tích. Vì vậy, khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường 
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết 
bài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung 
của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã 
học ở môn Hình học 11 vào bài toán này. 
Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài toán “Viết phương trình đường 
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh định 
hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể. 
II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP: 
1. Lý thuyết 
a. Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Đường thẳng D cắt cả d1 
và d2 đồng thời vuông góc với cả d1 và d2 được gọi là đường vuông góc chung của hai 
đường thẳng d1 và d2 . 
 b. Các định lý : 
b.1- Hai đường thẳng chéo nhau có một và chỉ một đường vuông góc chung. 
b.2- Nếu d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa 
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 
2. Bài toán 
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Lập phương trình đường 
thẳng D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . 
Bài giải: 
Trong bài này ta giả sử đường thẳng d1 qua A(xA ;yA ;z A) có vectơ chỉ phương (VTCP) a
r
, 
đường thẳng d2 qua B(xB ;yB ;z B) có VTCP b
r
 a. Trường hợp đặc biệt : 1 2d d^ 
Ta có cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 như 
sau: 
+ Dựng mp (P): 1(P) dÉ và 2(P) d^ tại M 
+ Dựng MN : 1MN d^ tại N 
+ Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và 
d2” 
Ta có: 1d MN^ tại N và 2d MN^ tại M nên MN là đường vuông chung của hai đường 
thẳng chéo nhau d1 và d2 
Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chung trong trường hợp 1 2d d^ này là: 
B1: Lập phương trình mp(P) : 1(P) dÉ và 2(P) d^ 
B2: Tìm M: 2M (P) d= Ç 
B3: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u a,bé ù= ë û
r r r
 b. Trong các trường hợp khác ta có thể sử dụng một trong các cách sau 
Cách 1: 
P 
d1 
d2 
M 
u
r
P 
d1 
d2 
M 
N 
a
r
b
r
B1. Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d1 là a
r
, VTCP của d2 là b
r
B2. Tìm u a,bé ù= ë û
r r r
 khi đó u a^r r và u b^r r 
B3. Lập phương trình của : 
· Mặt phẳng (P) sao cho :(P)É d1 và (P) có cặp VTCP ( a, u
r r
) 
· Mặt phẳng (Q) sao cho :(Q)É d2 và (Q) có cặp VTCP ( b, u
r r
) 
B4. Ta có : D= (P) (Q)Ç 
Phương trình của đường thẳng D được lập từ giao tuyến của 
hai mặt phẳng (P) và (Q). 
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Ta có : u ;a
r r
; b
r
 lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D , d1 và d2 
Mà u a^
r r
 và u b^
r r
 nên 1d ^ D và 2d ^ D 
D= (P) (Q)Ç và (P)É d1 nên d1 vàDđồng phẳng mà u ;a
r r
 không cùng phương nênD cắt d1 
D= (P) (Q)Ç và (Q)É d2 nên d2 vàD đồng phẳng mà u ;b
r r
 không cùng phương nên D cắt d2 
Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Cách 2: 
B1. Lấy điểm ( )M M M 1M x ; y ;z dÎ , lấy điểm ( )N N N 2N x ; y ;z dÎ 
 Khi đó N M N M N MMN (x x ; y y ;z z )= - - -
uuuur
B2: Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 
MN a
MN b
ì ^ïÛ í
^ïî
uuuur r
uuuur r
MN.a 0
MN.b 0
ì =ïÛ í
=ïî
uuuur r
uuuur r 
Giải hệ này sẽ tìm toạ độ của hai điểm N và M 
B3: Đường thẳng D là đường thẳng MN 
d1 
d2 
M 
N 
d1 
d2 
u
r
 P 
Q 
D 
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
 Ta có
MN a
MN b
ì ^ï
í
^ïî
uuuur r
uuuur r nên 1d ^ D và 2d ^ D 
1d MDÇ = và 2d NDÇ = 
Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Cách 3: 
B1: Tính u a,bé ù= ë û
r r r
 khi đó u a^r r và u b^r r 
B2: Lập phương trình mặt phẳng (P):(P)É d1 và (P) có cặp VTCP ( a,u
r r
) 
B3: Tìm M: 2M d (P)= Ç 
B4: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u a,bé ù= ë û
r r r
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Vì u a^
r r
 và u b^
r r
 nên 1d ^ D và 2d ^ D 
2d MDÇ = 
 D là đường thẳng qua M và có VTCP ur và (P)M Î , (P) có VTCP ur nên DÌ (P) 
1d ,D đồng phẳng và u ;a
r r
 không cùng phương nên d1 cắt D. 
Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Cách 4: 
B1: Lập phương trình mp(P): 1
2
d (P)
d / /(P)
Ìì
í
î
B2: Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của 
d2 lên (P) 
B3: Tìm M = 1d ' dÇ 
B4: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u a,bé ù= ë û
r r r
d1 
d2 
u
r
M 
D 
P 
P d1 
d2 
M 
d’ 
u
r
D 
c 
Cách này có được từ cách dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo 
nhau ở Hình học 11 
+ Do d1 và d2 chéo nhau nên có duy nhất mp(P) chứa d1 và song song với d2 
+ d’ là hình chiếu vuông góc của (d2) lên (P) nên d’ // d2 
+ d’ và d1 đồng phẳng và có VTCP lần lượt là u ;a
r r
 các vectơ này không cùng phương nên 
d1 cắt d’ tại M 
+ D là đường thẳng qua M và có VTCP u a,bé ù= ë û
r r r
+ D , d2 và d’ đồng phẳng D Ç d’ = M nên D cắt d2 tại M 
+ Vì u a^
r r
 và u b^
r r
 nên 1d ^ D và 2d ^ D 
Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
Cách 5: 
B1: Lấy A bất kì: 1A dÎ 
B2: Lập phương trình mặt phẳng (P): 1(P) A,(P) d' ^ 
B3: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc d2 lên (P) 
B4: Tìm H là hình chiếu của A lên d’ 
B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H và song song với d1 
 Khi đó: 2c d MÇ = 
B6: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP AHuuur 
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
+ 1 1(P) d AH d^ Þ ^ 
+ H là hình chiếu của A lên d’ AH d 'Þ ^ 2AH dÞ ^ 
+ D là đường thẳng qua M và có VTCP AHuuur AH / /Þ D 
Suy ra : 1d ^ D và 2d ^ D 
+ D cắt d2 tại M 
+ AH và D , d1 đồng phẳng , AH / /D , AH cắt d1 nên D cắt d1 
P 
d1 
d2 
A 
H 
M 
d’ 
Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 
3. Ví dụ minh họa 
Ví dụ1: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 có phương trình lần 
lượt là: 
 d1: 
x 8 t
y 5 2t
z 8 t
= +ì
ï = +í
ï = -î
 và d2 : 
x 3 y 1 z 1
7 2 3
- - -
= =
-
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó 
Bài giải 
Cách 1 
 Đường thẳng d1 qua A(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương là a (1;2; 1)= -
r
; d2 qua B(3;1;1)có vectơ 
chỉ phương là b ( 7;2;3)= -r 
Ta có : a, b (8;4;16)é ù =ë û
r r
Gọi D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 thì D có vectơ chỉ phương 
u (2;1;4)=
r
Mặt phẳng (P) : (P)É d1 và (P) có cặp VTCP ( u,a
r r
). Suy ra (P) qua A có vectơ pháp tuyến 
là: 1n u,a ( 9;6;3)é ù= = -ë û
uur r r
Phương trình của mp(P): 3x 2y z 6 0- - - = 
Mặt phẳng (Q) :(Q)É d2 và (Q) có cặp VTCP ( u, b
r r ). Suy ra (Q) qua B có vectơ pháp tuyến 
2n u, b ( 5; 34;11)é ù= = - -ë û
uur r r , phương trình của mp (Q): 5x 34y 11z 38 0+ - - = 
Khi đó : D= (P) (Q)Ç , phương trình tham số của D :
x 1 2t
y t
z 3 4t
= +ì
ï =í
ï = - +î
Cách 2: 
Gọi : 1 2M d ; N dÎ Î khi đó ta có: M(8 t;5 2t;8 t); N(3 7t ';1 2t ';1 3t ')+ + - - + + 
MN ( 5 7t ' t; 4 2t ' 2t; 7 3t ' t)= - - - - + - - + +
uuuur
Giả sử đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 thì MN
uuuur
 đồng thời vuông 
góc với hai vectơ chỉ phương ar và br nên ta có: 
MN.a 0 5 7t ' t 2( 4 2t ' 2t) ( 7 3t ' t) 0
7( 5 7t ' t) 2( 4 2t ' 2t) 3( 7 3t ' t) 0MN.b 0
ì = - - - + - + - - - + + =ìï Ûí í- - - - + - + - + - + + == îïî
uuuur r
uuuur r 
6t ' 6t 6 t ' 0
62t ' 6t 6 t 1
- - = =ì ì
Û Ûí í+ = - = -î î
Vậy M(7;3;9) , N(3;1;1). Suy ra đường vuông góc chung của d1 và d2 có phương trình tham 
số là: 
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +ì
ï = +í
ï = +î
Cách 3: 
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là a (1;2; 1)= -
r , đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là 
b ( 7;2;3)= -
r
. Ta có a, b (8;4;16)é ù =ë û
r r
Gọi D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 thì D có vectơ chỉ phương 
u (2;1;4)=
r
Mặt phẳng (P): (P)É d1 và (P) có cặp VTCP ( u,a
r r ). Suy ra (P) đi qua A có vectơ pháp tuyến 
1n u,a ( 9;6;3)é ù= = -ë û
uur r r , khi đó phương trình mặt phẳng (P): 3x 2y z 6 0- - - = 
Gọi 2M d (P)= Ç 
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:
x 3 7t ' t ' 0
y 1 2t ' x 3
z 1 3t ' y 1
3x 2y z 6 0 z 1
= - =ì ì
ï ï= + =ï ïÛí í= + =ï ï
ï ï- + + + = =î î
Vậy M(3;1;1) 
Khi đó Dqua M có vectơ chỉ phương u (2;1;4)=r , nên ta có phương trình tham số của đường 
thẳng D là: 
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +ì
ï = +í
ï = +î
Cách 4: 
Đường thẳng d1 qua A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là a (1;2; 1)= -
r , đường thẳng d2 
qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là b ( 7;2;3)= -r . 
Lập phương trình mp(P): 1
2
(P) d
(P) / /d
Éì
í
î
Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) có cặp vectơ chỉ phương ( a,br r ) nên mp (P) có vectơ pháp tuyến 
n =
r
a, b (8;4;16)é ù =ë û
r r . Khi đó mp(P) có phương trình là: 2x y 4z 53 0+ + - = 
Gọi đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên mặt phẳng (P). Nên đường thẳng d’ 
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) là mp chứa d2 và vuông góc với mp 
(P) 
Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và có cặp vectơ chỉ phương ( b, nr r ) nên mp(Q) có vectơ pháp 
tuyến n ' b,n (5;34; 11)é ù= = -ë û
uur r r , mp (Q) có phương trình là: 5x 34y 11z 38