SKKN Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN 
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN 
TỬ VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ 
phần I 
phần Mở đầu 
1. Lý do chọn đề tài 
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề 
thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng 
được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù 
hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh. 
Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu 
tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của 
một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình 
đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy 
người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách 
hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải 
toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương trình lớp 8. 
Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều 
có thể tiếp thu được. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễn đạt một 
cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông 
tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho 
học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải. 
Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn đề tài: “Các phương 
pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó”. 
2. Mục đích của đề tài: 
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân 
tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt 
dạng toán này. 
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức. 
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. 
- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải 
toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. 
3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến này tôi đã thực hiện 
trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản 
về phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với 
học sinh phổ thông cơ sở: 
 - Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9. 
 - Sách giáo viên lớp 7, 8, 9. 
 - Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, 
giáo viên. 
Phần II 
Nội dung 
I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi nó thành tích của 
những đa thức bậc nhỏ hơn. 
Ví dụ: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2) 
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. 
Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (thừa số) 
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a. 12x2y - 18y3 
 b. 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2 
Giải 
a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó: 
12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2) 
b. Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z) 
Do đó ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2 
 = 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)] 
 = 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z) 
 2. Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung. 
 Chẳng hạn đa thức: 2x2(3y - z) + (z - 3y)(x + y) 
 Có thể viết là: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) và xuất hiện nhân tử chung là 
(3y - z). 
Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức. 
 1. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử 
 a. 4x2 - 12x + 9 c. 16x2 - 9(x + y)2 
 b. 27 - 27x + 9x2 - x3 b. 1 - 27x3y6 
Giải 
 a. 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 
 b. 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 
 c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 
 = (x - 3y)(7x + y) 
 d. 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4) 
 2. Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn: 
 - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2 
Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 
 1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) 
 = (x - 5)(y + 2) 
 b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) 
 = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) 
 c. x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2 
 = (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1) 
 2. Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử. 
Chẳng hạn ở ví dụ a có thể phân tích như sau: 
 xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10) 
 = x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5) 
 3. Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp 3 
phương pháp kể trên. Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử 
chung ra ngoài hoặc đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó 
tiếp tục phân tích sẽ đơn giản hơn. 
 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 
 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) 
 = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] 
 = 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z) 
Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 
 1. Dạng tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c 
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + 8 
Giải 
 Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng 
đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa 
thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 
hay nhiều hạng tử. 
 Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 
 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) 
 Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 
 = (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4) 
 Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 
 = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) 
 Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 
 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) 
 Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 
 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) 
 Cách 6: x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8 
 = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] 
 = (x - 2)(x - 4) 
 Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất. ở 
đây ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành 2 số hạng - 2x và - 4x. Trong đa thức 
x2 - 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và thứ 
4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2). 
 Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân 
tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho: 
a
b1 = 
2b
c , tức là b1.b2 = a.c 
 Trong thực hành ta làm như sau: 
 Bước 1: Tìm tích a.c 
 Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. 
 Bước 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b. 
 Trong ví dụ trên x2 - 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8. 
 Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng 
dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví 
dụ: (- 4, - 2). 
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - 8 
Giải 
Cách 1: Cách hạng tử thứ 2 
 9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) 
= (3x - 2)(3x + 4) 
Chú ý hệ số 6 được phân tích thành - 6 và 12, vì có tích bằng 72 bằng 9.(- 8). 
Cách 2: Tách hạng tử thứ 3 
9x2 + 6x - 8 = (9x2 + 6x + 1) - 9 = (3x + 1)2 - 9 
= (3x + 1 + 3)(3x + 1 - 3) = (3x + 4)(3x - 2) 
Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng 
tử khác nhau thường nhằm mục đích: 
- Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1). 
- Làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương (cách 2). 
Chú ý: 
a. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa 
thức bậc 2 một biến 
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 
Giải 
Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) 
= (x - y)(4x - 3y) 
Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 
 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) 
 = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) 
b. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử 
trong phạm vi số hữu tỷ nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số 
nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách 2 
sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình phương của 
một số hữu tỷ. 
Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c bằng 6 bằng 1.6, bằng 2.3 
không có 2 thừa số nào có tổng bằng 4. 
Còn theo cách 2 thì: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)2 + 2 = (x + 2)2 - 
( - 2); -2 không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 
6 không phân tích được thành tích. 
2. Đa thức bậc 3 trở lên 
Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thường 
dùng cách tìm nghiệm của đa thức. 
2.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức 
a. Định nghĩa nghiệm của đa thức 
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa 
thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. 
Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau: 
b. Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm 
của đa thức. 
c. Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn 
bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẽ thì - 1 là nghiệm của đa thức. 
d. Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì 
nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do. 
Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm 
của đa thức có thể dùng nhận xét sau: 
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì 
1
)1(
-a
f và 
1
)1(
+
-
a
f đều là số nguyên. 
Ví dụ: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 
Có các ước của 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18. 
f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18 
f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44 
Hiển nhiên ± 1 không là nghiệm của f(x), ta thấy: 
)13(
18
--
- ; 
)16(
18
-±
- ; 
)19(
18
-±
- ; 
)118(
18
-±
- không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không là nghiệm của f(x); 
)12(
44
+
- không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x). 
Chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x)