SKKN Áp dụng kỹ thuật chọn điểm rơi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong một số bài toán bất đẳng thức

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .Trang 2
 I. Lí do chọn đề tài nghiên cứuTrang 2
 II. Mục đích nghiên cứu ..Trang 2
 III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu....Trang 2
 IV. Nhiệm vụ nghiên cứu......Trang 5
 V. Phương pháp nghiên cứu..Trang 5
 VI. Phạm vi nghiên cứu...Trang 5
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU....Trang 6
 I. Bài toán xuất phát......Trang 6
 II. Sai lầm trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình
 nhân..Trang 6
 III. Sai lầm trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình 
cộng..Trang 15
 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.Trang 18
Các phụ lục..Trang 19- 22.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
2
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
TÊN ĐỀ TÀI: ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TÌM GIÁ TRỊ 
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT 
ĐẲNG THỨC.
A. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU.
I/ LÍ DO CHỌN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU, TRIỂN KHAI ỨNG DỤNG.
Bất đẳng thức là một nội dung khó đối với học sinh nhưng lại là một trong 
những nội dung quan trọng trong các kiến thức thi Đại Học. Trong quá trình học 
và ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng 
túng, dễ mắc sai lầm. Có những bài toán tìm GTLN, GTNN nếu không nắm 
được cách làm thì dễ dẫn đến sai lầm trong quá trình suy luận.
Để giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong quá trình giải 
những bài toán bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN chúng tôi áp dụng một kỹ 
thuật nhỏ gọi là “ Kỹ thuật chọn điểm rơi”. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Thông thường đứng trước bài toán bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN 
học sinh nghĩ ngay đến dạng mẫu đã học, áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học
nhưng thực tế qua các bài toán bất đẳng thức dùng cho học sinh khá, giỏi hoặc 
đề thi đại học, cao đẳng học sinh còn gặp những dạng phức tạp mà để giải nó đòi 
hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là 
dựa trên “ Kỹ thuật chọn điểm rơi” để giải bài toán.
III/KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
1/ Khách thể nghiên cứu:
+ Thực tế việc giải bất đẳng thức các em đã làm từ cấp 2, chủ yếu là dạng 
có sẳn. Lên lớp10 các em được trang bị kiến thức về bất đẳng thức kĩ lưỡng hơn,
đa dạng hơn nhưng cách giải cũng chủ yếu là dùng phương pháp biến đổi, bất 
đẳng thức Cô-Si.
2/ Đối tượng cần nghiên cứu:
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
3
Là học sinh lớp 10A8và 10D4, lớp 12 trong quá trình học chương bất đẳng 
thức và học sinh luyện thi vào đại học, cao đẳng. 
Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Phan Bội Châu có những điều kiện 
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Học sinh:
Chọn lớp 10A8 là nhóm thực nghiệm và 10D4 là nhóm đối chứng và tiến 
hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của 2 lớp 
trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có 
sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh 
lệch giữa điểm số trung bình của 2 lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng (ĐC) Thực nghiệm (TN)
TBC 5,5 5,5
p 0,44
0,44 0,05P , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm 
TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. 
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm Kiểm tra trước TĐ Tác động (TĐ) KT sau TĐ
Thực nghiệm O1
Dạy học theo hệ thống 
bài tập liên quan
O3
Đối chứng O2
Dạy học theo hệ thống 
bài tập có nhiều loại
O4
ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3/ Quy trình nghiên cứu
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
Thiết kế bày dạy lớp thực nghiệm theo hệ thống bài tập liên quan 
Thiết kế bày dạy lớp đối chứng theo hệ thống bài tập có nhiều loại.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
4
Tiến hành dạy thực nghiệm:
Chọn 2 lớp để khảo sát với nội dung đánh giá điểm và kiểm chứng T-Test 
để chọn đúng 2 lớp tương đương. 
Thời gian tiến hành thực nghiệm: Tổ chức các tiết dạy học theo như kế 
hoạch
4/ Đo lường
Đánh giá học sinh sau tác động thông qua bài kiểm tra sau đó dùng phép 
kiểm chứng 
t-test phụ thuộc và tính mức độ ảnh hưởng đối với nhóm thực nghiệm.
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng Thực nghiệm
ĐTB 6,1 7,4
Độ lệch chuẩn 0,97 1,45
Giá trị P của T- test 0,0001
Chênh lệch giá trị TB chuẩn 
(SMD)
1,34
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương 
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả 
p=0,0001, cho thấy sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối 
chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn 
ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. 
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 7,4 6,1 1,34
0,97
 . Điều đó cho 
thấy mức độ ảnh hưởng của nhóm thực nghiệm là lớn.
BÀN LUẬN
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là 7,4TBC ,
kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là 6,1TBC . Độ chênh lệch 
điểm số giữa hai nhóm là 1,3 ; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và 
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
5
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp 
đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là 1,34SMD . 
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn. 
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là
0,0001 0,001p . Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm 
không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động. 
IV/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1/ Cơ sở lý luận và thực tiễn:
1.1. Cơ sở lý luận: Sách giáo khoa lớp 10, các tài liệu ttham khảo.
2.1. Cơ sở thực tiễn: Học sinh lớp10 và 12 trường THPT Phan Bội 
Châu trong các năm học vừa qua.
2/ Những định hướng đổi mới: 
- Cho học sinh làm một số dạng toán liên quan đến đề tài này.
- Khuyến khích các em tìm tòi một số bài toán liên quan đến đề tài này.
3/ Đánh giá thực trạng: Học sinh nhiều em chưa biết ứng dụng “ Kỹ thuật 
chọn điểm rơi” để giải một số bài toán bất đẳng thức.
4/ Đề xuất biện pháp: Trong tiết dạy tự chọn 10 và 12, Giáo viên nên cho 
một vài bài toán dạng này để khích lệ sự tìm tòi, sáng tạo cho học sinh.
V/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa. Báo Toán học và tuổi trẻ.
 - Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
- Điều tra kết qủa học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu 
quả đạt được của HS khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện 
tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài.
VI/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1/ Phạm vi khoa học: Kiến thức Toán của chương trình phổ thông
2/ Địa bàn nghiên cứu: Trường THPT Phan Bội Châu, Cam Ranh, Khánh Hòa.
3/ Thời gian nghiên cứu: Từ năm học 2011 – 2013
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
6
B. CHƯƠNG 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
I. BÀI TOÁN XUẤT PHÁT.
Giải. 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: 2 . 2a b a bP
b a b a
 .
2MinA a b 
* Nhận xét: Từ bài toán này có thể thay đổi miền xác định để có các bài 
toán sau:
II/ SAI LẦM TRONG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG 
TRUNG BÌNH NHÂN.
A) Bất đẳng thức Cô si: 1 2; ;...; nCho a a a là các số không âm. 
Ta có 1 2 1 2... ...nn na a a n a a a . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 .... na a a .
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp: 1 12 . 2 2P a a MinP
a a
1.2. Nguyên nhân sai lầm: 12 1MinP a a
a
 (mâu thuẫn với giả thiết 
3a )
1.3. Phân tích và tìm lời giải:
 Xét bảng biến thiên của 1;a
a
và P để dự đoán MinP
Bài 1: Cho 3a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1P a
a
 .
1. Bài toán xuất phát: , 0.Cho a b Tìm giá trị nhỏ nhất của a bP
b a
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
7
a 3 4 5 6 7 8 9 10 . 100
1
a
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
.
1
100
P
13
3
14
4
15
5
16
6
17
7
18
8
19
9
110
10
..
1100
100
Ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán là khi 3a thì P 
nhận giá trị nhỏ nhất.
Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng 10
3
MinP đạt tại « Điểm 
rơi: 3a »
Do bất đẳng thức xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên tại « Điểm rơi: 3a » ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cô si trực tiếp 
cho 2 số a và 1
a
 vì 
13
3
 . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cô si 
cho cặp số 1;a
m a
sao cho tại « điểm rơi: 3a » thì 1a
m a
 . Khi đó ta có sơ đồ 
điểm rơi sau đây:
Sơ đồ:
3
1 33 9
1 1 3
3
a
m ma m
m
a
. Vậy 9m là hệ số điểm rơi.
Từ đó ta biến đổi P theo sơ đồ « Điểm rơi » như nêu ở trên.
1.4. Lời giải đúng:
1 1 8 1 8 2 8 2 8.3 102 .
9 9 9 9 3 9 3 9 3
a a a a aP a
a a a
10
3
MinP tại 3a 
1. Nhận xét và lời giải:
Bài 2: Cho 2a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2
1P a
a
 .
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
8
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
2 2 2
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 92 .
8 8 8 8 8 8 48 8.2
a a a a aP a
a a a a
9
4
MinP khi 2a 
1.2. Nguyên nhân sai lầm.
Mặc dù ta đã biến đổi P theo điểm rơi 2a và 9
4
MinP là đáp số đúng nhưng 
cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: ‘nếu 2a thì 
2 2 2
48 8.2a
 là đánh giá sai’
Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi P sao cho khi 
sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
1.3. Sơ đồ điểm rơi:
2
2
1 22 8
1 1 4
4
a
m ma m
m
a
. Vậy 8m là hệ số điểm rơi.
1.4. Lời giải đúng:
3
2 2 2
1 1 6 1 6 3 6.2 93 . .
8 8 8 8 8 8 4 8 4
a a a a a aP a
a a a
Vậy 9
4
MinP khi 2a .
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp: 3
2 2 2
1 1 12 3 . . 3P a a a a a
a a a
3MinP 
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
2
13MinP a a
a
 mâu thuẫn với giả thiết 10
2
a 
Bài 3: Cho 
10
2
a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2
12P a
a
 .
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
9
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của 
2
1; 2 ;a a
a
và P để dự đoán 
MinP
a
1
10
1
9
1
8
1
7
1
6
1