Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phép dời hình để giải Toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH 
ĐỂ GIẢI TOÁN 
phần mở đầu 
 1. Lí do chọn đề tài : 
Trong chương trình Hình Học 11, sách giáo khoa có phần : "Phép dời hình 
và phép đồng dạng." 
Phần này không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải 
toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận 
mới. 
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi còn gặp không ít khó khăn. 
Đặc biệt là đối tượng học sinh có trình độ nhận thức và tư duy còn yếu, không 
đồng đều. Do đó tôi luôn suy nghĩ phải làm thế nào để các em có thể nắm bắt 
được kiến thức cơ bản nhanh nhất và vận dụng linh hoạt để giải toán. 
Hơn nữa, có thể phần nào giúp các em bớt lo lắng và thêm phần say mê 
trong học tập. 
Chính vì những điều đó mà tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và viết đề tài này: " 
Vận dụng phép dời hình để giải Toán ". 
2. Giới hạn của đề tài : 
Phép dời hình. 
3. Phương pháp nghiên cứu: 
- Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. 
- Khảo sát tình hình học tập của học sinh. 
4. Cấu trúc đề tài: 
Phần mở đầu. 
1. Lý do chọn đề tài. 
2. Giới hạn đề tài. 
3. Phương pháp nghiên cứu. 
4. Cấu trúc đề tài. 
Phần nội dung. 
A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình. 
 B. áp dụng một số phép dời hình dể giải Toán. 
I. Phép đối xứng trục 
II. Phép đối xứng tâm 
III. Phép tịnh tiến. 
IV. Phép quay. 
C. Kết thúc. 
Phần nội dung : 
A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình: 
I. Định nghĩa: 
Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một 
điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với 
M,N thì : M'N' = MN. 
II. Tính chất : 
1. Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điẻm bất kỳ. 
2. Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C thành 3 
điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'.3. Phép dời hình biến một đường 
thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một doạn thănghr 
thành một đoạn thẳng bằng nó. 
4. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một 
góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường tròn bằng 
nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia. 
5. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình 
Mở rộng: 
Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. 
B. áp dụng một số phép dời hình để giải toán: 
I. Phép đối xứng trục: 
1. Định nghĩa: 
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường thẳng 
d gọi là phép đối xứng trục. 
d : trục đối xứng 
Kí hiệu : Đd(M) = M' 
* Chú ý: cho Đd 
- Nếu M Î d thì M' º M 
- Đd Hoàn toàn xác định khi biết d 
- Đường thắng a vuông góc với d sẽ biến thành chính nó 
2. Bài tập áp dụng: 
Bài số 1: 
 Cho 2 điểm phân biệt A,B cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường 
thẳng d cho trước. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB nhỏ nhất ? 
Lời giải: 
Đd(A) =A' ; Mọi M Î d: 
AM +MB = A'M + MB 
Để AM + MB nhỏ nhất 
thì A'M + MB nhỏ nhất . 
Điều đó xẩy ra khi A',M,B thẳng hàng 
Vậy {M} = A'B Ç d. 
Bài số 2: 
Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt Oy tại S. Dựng đường thẳng m 
vuông góc với d, cắt Ox , Oy tại A,B sao cho A,B cách đều d ? 
Lời giải: m 
* phân tích : Giả sử đã A x 
dựng được đường thẳng d 
m thoả mãn điều kiện O 
đề bài, Ta có: 
Đd(B) = A S B y 
Mà B Î Oy nên nằm trên O' 
đường thẳng ảnh của Oy qua Đd: O'y' 
Suy ra; {A} = O'y' Ç Ox 
* Cách xác định M: 
Đd(O) = O' ; Đd(S) = S ® Đd(Oy) =O'S ® O'S Ç Ox = {A} 
Đd(A) = B . m là đường thẳng qua AB. 
Bài số 3: 
Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm trên Ox một 
điểm B, trên Oy một điểm C sao cho DABC có chu vi nhỏ nhất. 
Lời giải: 
Đox(A) = A1 
Đoy(A) = A2 
A1A2 Ç Ox = {B} 
A1A2 Ç Oy = {C} 
®DABC có chu vi nhỏ nhất. 
Chứng minh: 
CV DABC = AB + BC +CA 
=A1B + BC + CA2 = A1A2 
"B1Î Ox , C1Î Oy 
B1¹ B , C1¹ C 
CV DAB1C1 = A1B1 + B1C1 + C1A2 > A1A2. 
Bài số 4: 
Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông 
ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d? 
Lời giải: 
* Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn đề bài. 
Suy ra:ĐBD(A) = C ; mà A Î (Q) nên C Î (Q1) là ảnh của (Q) qua ĐBD . 
Suy ra : {C} = (Q1) Ç (Q'). 
Từ đó suy ra cách xác định hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện đề bài 
như sau: Đd(Q) = (Q1) 
®{C} = (Q1) Ç (Q') ; Đd(C) = A 
Giả sử AC Ç d = {I} ; trên d lấy B,D sao cho IB = ID = IA =IC 
Khi đó ta xác định được hình vuông ABCD . 
* Biện luận: 
- Nếu (Q1)Ç (Q') {C; C'}® Bài toán có 2 nghiệm. 
- Nếu (Q1) Ç (Q') = {C}® Bài toán có một nghiệm. 
- Nếu (Q1) Ç (Q') =f ® Bài toán vô nghiệm. 
Bài số 5: 
Cho DABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng D cân đỉnh P có đáy 
song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của DABc. 
Lời giải: 
* Phân tích: Giả sử đã 
dựng được DPBC thoả mãn 
điều kiện đề baì . Thế thì : 
với IB = IC ta có PI ^ BC 
Do đó: ĐPI(B1) = C1 
Mà B1Î AB nên C1Î A'B' 
là ảnh của AB qua ĐPI. 
Suy ra: {C1} = A'B'Ç AC. 
* Cách xác định: 
Vì BC // B1C1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường 
thẳng đó là d). 
Đd(AB) = A'B' ; A'B' Ç AC = {C1} ; Đd(C1) = B1 
Khi đó ta có : DPB1C1 là tam giác cần tìm thoả mãn đề bài. 
Bài số 6: 
Cho 2 đường thẳng cắt nhau x,y và 2 điểm A,B không nằm trên x,y. Xác 
định 2 điểm C,D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác ABCD là 
hình thang cân có AB là cạnh đáy. 
Lời giải: 
Gọi d là đường trung 
trựccủa AB. Đd(x) = x'. 
Khi đó: x'Ç y = {D} 
Ta lại có Đd(D) = C Î x. 
Vậy ABCD là 
 hình thang cần tìm. 
* Biện luận: 
- Nếu x'Ç y = {D!} ® Bài toán có 1 nghiệm. 
- Nếu x' // y ® Bài toán vô nghiệm. 
- Nếu x' º y ® bài toán vô số nghiệm. 
II. Phép đối xứng tâm: 
1. Định nghĩa: 
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng với M qua O ® 
Phép đối xứng tâm. 
O : Tâm đối xứng 
KH : Đo(M) = M'. 
* Chú ý: Cho Đo 
- Nếu M º O thì M' º O. 
- Đo hoàn toàn xác định khi biết O. 
- Mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó. 
 2. Bài toán áp dụng: 
Bài số 1: 
Cho ^xOy và một điểm A thuộc miền trong góc đó. Hãy xác định đường 
thẳng qua A cắt õ tại B, cắt Oy tại C sao cho A là trung điểm của BC. 
Lời giải: 
Vì A là trung điểm BC 
nên ta có ĐA(B) =C . 
Vậy ta có cách xác định 
đường thẳng qua A cắt 
Ox, Oy lần lượt tại B,C 
sao cho AB = AC : 
ĐA(Ox) = x' 
Khi đó x'Ç Oy = {C} 
ĐA(C) = B Î Ox 
Vậy đường thẳng cần tìm là BC. 
Bài số 2: 
Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R>r ). Hãy xác 
định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O;r), cắt đường tròn (O;r) tại B, cắt 
(O;R) tại C,D sao cho : CD = 3AB 
Lời giải: 
* Phân tích: 
Theo g/t: CD = 3AB 
® AB = BC = AD. 
® Alà trung điểm của BD 
Khi đó : ĐA(B) = D 
Mà B Î (O;r) nên D Î (O';r) 
là ảnh của (O;r) qua ĐA 
* Cách xác định: 
Lấy bất kì A Î (;r) 
ĐA(O;r) = (O';r) 
Khi đó : (O;r) Ç (O;R) = {D} 
DA Ç (O;r) = {B} ; DA Ç (O;R) = {C} 
Vậy đường thẳng cần tìm là DC thoả mãn ĐK đề bài. 
* Biện luận: 
Do r < R , mà AÎ (O;r) nên (O;r) Ç (O';r) ={D,D'} 
Suy ra bào toán có 2 nghiệm hình. 
Bái số 3: 
Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2 đỉnh B,D nằm 
trên (O;R) cho trước? 
Lời giải: 
* Phân tích: 
vì ABCD là HBH nên 
AC Ç BD = {I} với I 
là trung điểm mỗi đường. 
Từ đó : 
® B,D là ảnh của 
nhau qua ĐI 
® B,D nằm trên (O') là 
ảnh của (O) qua ĐI. 
* Cách xác định: 
Láy trung điểm I của AC , ĐI(O) =(O'). 
Khi đó: (O') Ç (O) = {B,D}. 
Ta có hình bình hành ABCD thoả mãn ĐK đề bài. 
* Biện luận: 
- Nếu I thuộc miền trong (O) thì XĐ 1 hình bình hành ABCD. 
- Nếu I thuộc miền ngoài (O) thì bài toán vô nghiệm. 
- Nếu I Î (O) thì B º D º I suy ra HBH suy biến thành đoạn thẳng AC. 
Bài số 4: 
Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R). Xác định hình vuông ABCD sao cho 
AÎ(O); C Î b ; B,D Î a. 
(H/S tự giải ) 
Bài số 5: 
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ M,N,P,Q 
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông 
góc với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy. 
Lời giải: 
Theo g/t: MQ // NP 
MN // PQ ® MNPQ 
là hình bình hành. 
Gọi {I} = MP Ç NQ 
Ta có: ĐI(M) = P 
Suy ra ĐI biến MO 
thành đường thẳng P 
song song với MO, 
Đó chính là đường thẳng PP1. 
Tương tự : 
ĐI : NO ® QQ1 , PO ® MM1 , QO ® NN1 
Mà MO,NO,PO,QO đồng quy tại O 
Nên PP1, QQ1, MM1, NN1 đồng quy tại O' với ĐI(O) = O' 
III. Phép tịnh tiến: 
1. Định nghĩa: 
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho : 
MM' = v ¹ O cho trước Þ Phép tịnh tiến theo v . 
 v : Véc tơ tịnh tiến 
Kí hiệu : Tv (M) = M' 
* Chú ý : 
- đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến sẽ biến thành chính nó 
- Tv hoàn toàn xác định khi biết v . 
2. Bài toán áp dụng: 
Bài số 1: 
Cho 2 đường thẳng cắt nhau d và d' , 2điểm A,B không thuộc d,d' . Tìm M 
Îd; M' Î d' sao cho ABMM' là hình bình hành ? 
Lời giải: 
* Nhận xét: 
Vì MM' = BA 
nên T BA : M ® M'. 
Mà M Î d , nên M' Î d'' 
là ảnh của d qua TBA . 
vậy {M'} = d' Ç d'' . 
Do đó ta có cách xác định M,M' : 
TBA : d ® d'' ; d'' Ç d' = {M'} ; 
TAB (M') = M Î d. 
Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là HBH. 
Bài số 2: 
Cho (O;R) và điểm M Î (O). Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm trên 
đường tròn cho trước . Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình 
hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước. 
Lời giải: 
Vì ABMM' là HBH nên MM' = BA ® TBA (M) = M' 
Mà M Î (O) nên M' Î (O') là ảnh của (O) qua TBA. 
Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua TBA . 
Vẽ Hình 
Bài số 3 : 
Cho DABC . Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho MN // 
BC và AM = CN. 
Lời giải: 
 A 
 M N 
 B C 
 D 
* Phân tích : 
Nếu qua m kẻ đường thẳng song song với AC , cắt BC tại D thì tứ giác 
MNCD là hình bình hành. 
® MD = NC mà NC = AM (gt) ® MD = MA ® DMAD cân đỉnh M. 
® ^MDA = ^MAD mà ^MDA = ^CAD (gt) ® ^MAD = ^NAD ® AD là 
đường phân giác của ^BAC. 
* Cách xác định