Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp sửa dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

 Phạm Văn Dũng 1
Sáng kiến kinh nghiệm 
Phương pháp sửa dụng đạo hàm 
chứng minh bất đẳng thức
 Phạm Văn Dũng 2
MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu 
vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều 
lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về 
Toán học. 
Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen 
thì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài 
toán đại số cũng như BĐT. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng 
rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải 
các BĐT thông thường. 
Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết 
riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giá 
trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống và tính phân loại 
cũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyện 
cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đề 
này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao 
chất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà. 
2. Các nhiệm vụ của đề tài 
Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau: 
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiết 
Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
1. Bất đẳng thức một biến số 
Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số 
Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu 
Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-
Schwarz,... 
2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số 
Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng 
Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, 
BĐT Chebyshes, 
Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến 
3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế 
3. Mục đích của đề tài 
Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng 
như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán về chứng 
minh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại. 
Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về “cái 
nhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán 
đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinh 
hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN 
bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng 
lực giải các bài toán này. 
Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tư 
duy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó. 
 Phạm Văn Dũng 3
4. Phương pháp nghiên cứu 
- Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài. 
- Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải. 
- Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG 
và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân. 
5. Đối tượng nghiên cứu 
- Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp, 
- Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh, 
đội tuyển HSG Quốc gia. 
6. Những đóng góp mới của đề tài 
- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương 
pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hình 
thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh. 
7. Địa bàn 
Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên. 
8. Lịch sử nghiên cứu 
Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG của trường, của 
tỉnh và luyện thi Đại học. 
 Phạm Văn Dũng 4
B. NỘI DUNG 
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT 
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b]. 
*) Nếu  ( ) 0, ;f x x a b  thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có 
   ; ;
min ( ) ( ); m ax ( ) ( )
x a b x a b
f x f a f x f b
*) Nếu  ( ) 0, ;f x x a b  thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có 
   ; ;
min ( ) ( ); max ( ) ( )
x a b x a b
f x f b f x f a
2. Định lý 2: ( Định lý Fermart) 
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của  0 ;x a b và có đạo 
hàm tại điểm 0x . Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại 0x thì 0( ) 0f x . 
3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) 
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và 0x . Trong một lân cận đủ bé  của 
0x , nếu 0( )f x thay đổi dấu khi x qua 0x (có thể không tồn tại 0( )f x ) thì f(x) đạt 
cực trị tại 0x . 
*) Nếu  0 0( ) 0, ;f x x x x  và  0 0( ) 0, ;f x x x x   thì 0x là điểm cực 
tiểu. 
*) Nếu  0 0( ) 0, ;f x x x x  và  0 0( ) 0, ;f x x x x   thì 0x là điểm cực 
đại. 
4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và  0 ;x a b . Trong một lân cận 
đủ bé  của 0x , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời 0( ) 0f x 
và ( ) 0f x thì 0x là một điểm cực trị của hàm số. 
 *) Nếu 0( ) 0f x và ( ) 0f x thì 0x là một điểm cực tiểu của hàm số. 
 *) Nếu 0( ) 0f x và ( ) 0f x thì 0x là một điểm cực đại của hàm số. 
 Phạm Văn Dũng 5
II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT 
ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ 
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 
1. Bất đẳng thức một biến số 
1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số 
Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997) 
 Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìm GTNN của hàm số 
sin sin( ) 1
sin sin
x A x Bf x
x C x C
. 
Giải: Ta có sin sin sin (1)A B C a b c A B C . 
Hàm số xác định khi và chỉ khi 
)
sin 0 sinsin (*
sin sin0
sin
x A
x Cx C
x B x A
x C
Ta có 
sin sin sin sin sin sin( ) . .2 2sin sin2( sin ) 2( sin )
A C x C B C x Cf x
x A x Bx C x C
. 
Do (1) nên ( ) 0,f x x  thỏa mãn (*). Ta có bảng biến thiên 
x sinC sinA 
f’(x) 
f(x) 
 1 
1 f(sinA) 
Vậy sin sinmin ( ) (sin ) 1
sin sin
A Bf x f A
A C
. 
Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình 
sin sin sinx A x B x C 
có đúng một nghiệm vì trên  sin ;A . Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì 
0 < sinA – sinB < sinA – sinC). 
Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992) 
 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có 
1 1 2
n n
n nn n
n n
 . 
Giải: Đặt *0;1 ,
n nx n N
n
  . BĐT cần chứng minh trở thành 
 1 1 2, 0;1n nx x x  . 
 Phạm Văn Dũng 6
Xét hàm số ( ) 1 1n nf x x x liên tục  0;1x có 
 1 1 1'( ) 0, 0;1
1 1(1 ) (1 )
f x x
n n nn nx x
  
Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, 0;1x (đpcm). 
Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997) 
 Cho n là số lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi 0x ta có 
2 2 3
1 ... 1 ... 1
2! ! 2! 3! !
n nx x x x xx x
n n
 . 
Giải: Đặt 
2
( ) 1 ...
2! !
2 3
( ) 1 ...
2! 3! !
nx xu x x
n
nx x xv x x
n
Ta cần chứng minh 
( ) ( ). ( ) 1f x u x v x . 
Ta có 
( )
2 1
( ) 1 ... ( )
2! ( 1)! !
2 3 1
( ) 1 ...2! 3! ( 1)! !v x
n nx x xu x x u x
n n
n nx x x xv x x n n
Vậy 
 
 
( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( )
( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
! ! !
2 4 12 1 ...
! 2! 4! ( 1)!
f x u x v x u x v x u x v x
n n nx x xu x v x u x v x u x v x
n n n
n nx x x x
n n
Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên ( )f x cùng dấu với (-2x). Do đó ta có bảng biến thiên 
x 0 
y’ + 0 - 
Y 
 1 
Từ bảng biến thiên ta có .( ) (0) 1, 0f x f x  (đpcm) 
Bài toán 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học) 
 Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 
 Phạm Văn Dũng 7
1. 1
2 .
nx x
n e
 với mọi 0;1x . 
Giải: Ta có 
21 1. 1 (1 ) (*)
22 .
n nx x x x
nen e
Xét hàm số 2( ) (1 )nf x x x với 0;1x . Ta có 
 2 1( ) 2 (2 1)nf x x n n x 
Nên ta có bảng biến thiên 
x 
 0 
2
2 1
n
n 
 1 
f’(x) + 0 - 
f(x) 
Vậy 
2
2 1(0;1)
(2 )ax ( )
(2 1)
n
n
nm g x
n 
. 
Ta chứng minh 
2 12
2 1
(2 ) 1 2 1
(2 1) 2 2 1
nn
n
n n
n ne n e
  
2 12 1 (2 1) ln(2 1) ln(2 ) 1
2
nn e n n n
n
1ln(2 1) ln(2 ) (2)
2 1
n n
n
Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số ( ) lnf x x trên [2n; 2n+1] suy ra tồn tại 
 2 ;2 1c n n thuộc sao cho (2 1) (2 )( )
2 1 2
f n f nf x
n n
. Suy ra 
1 1ln(2 1) ln(2 ) (3)
2 1
n n
e n
. 
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. 
Bài luyện tập 
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi 0;
2
x 
 ta có 22
4 4sinx x x
 . 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu x > 0 và mọi số nguyên dương n ta có 
2 3
1 ...
2! 3! !
n
x x x xe x
n
 . 
Bài 3 (Toán học và tuổi trẻ) 
 Phạm Văn Dũng 8
 Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 
1
1 2ln 2
(2 1)
n
k k k 
 . 
HD: Xét hàm số 
2 3 2 1 2
( ) ln(1 ) ...
2 3 2 1 2
n nx x x xf x x x
n n
 trên  0; . Hàm số đồng biến trên  0; suy ra ( ) (0)f x f , đpcm. 
Bài 4: Cho x > 0. Chứng minh rằng 
11 11 1
x x
e
x x
. 
Bài 5: (ĐH Bách khoa, 1980) 
 Chứng minh rằng 3
23
sin 2
x x
x
 với 0;
2
x 
. 
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số 4 4( ) 1 1f x x x x x với  0;1x . 
1.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu 
Trong một số bài toán có thể phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp thậm chí phải 
khảo sát thêm hàm số phụ. Ta thường sử dụng 
 f(x) đồng biến trên [a; b] thì f(x) > f(a) với mọi x > a. 
 f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f(x) > f(b) với mọi x < b. 
 Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi 0x ta có 
3
sinx
6
xx x . 
Giải: Xét hàm số 
3
( ) sinx
6
xf x x trên  0; . Ta có 
2
( ) 1 cos
2
( ) sinx
( ) 1 cos
xf x x
f x x
f x x
Ta có  ( ) 1 cos 0, 0; ( ) (0) 0f x x x f x f  , nên f’(x) đồng biến 
trên  0; . Suy ra ( ) (0) 0 ( )f x f f x đồng biến trên  0; . Do đó 
( ) (0) 0, 0f x f x  và ( ) (0) 0, 0.f x f x  
Tức là 
3 3
sinx>0 sinx
6 6
xx xx với x > 0 (1) 
Lưu ý ( ) (0) 0f x f với x > 0 ta có sinx x (2) 
Từ (1) và (2) ta có đpcm. 
Bài toán 6: Tìm GTNN của hàm số 2 2( ) 1 1f x x x x x . 
Giải: TXĐ: R. 
Xét hàm số 2 2( ) 1 1f x x x x x trên R. Ta có 
 Phạm Văn Dũng 9
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2( )
1 3 1 3 1 3 1 3
2 4 2 4 2 4 2 4
1 1
2 2
x x x x
f x
x x x x
g x g x
với mọi x, trong đó 
2
( ) , .
3