Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán

0 | P a g e 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG 
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 
TỔ TOÁN 
–––––––––&–––––––– 
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP 
LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI TOÁN 
Người thực hiện: PHẠM VĂN GIA 
Chức vụ: Giáo viên 
Lạng Giang, tháng 10 năm 2014 
1 | P a g e 
MỤC LỤC 
NỘI DUNG Trang 
Phần I: Mở đầu...................... 2 
I. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 2 
II. Mục đích nghiên cứu........................................................................... 2 
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................... 2 
IV. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... 3 
V. Phạm vi nghiên cứu............................................................................. 3 
VI. Những đóng góp của đề tài................................................................. 3 
Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả 
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài........................................ 4 
Chương II: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải 
phương trình, hệ phương trình đại số ...................................................... 
7 
Chương III: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong bài toán 
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số................................................. 
19 
Chương IV: Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa trong bài toán 
tính tích phân .................................................................................... 
Chương V: Kết quả nghiên cứu........................................................ 
26 
33 
Phần III: Kết luận và đề nghị................. 34 
Danh mục tài liệu tham khảo................................................................... 35 
2 | P a g e 
PHẦN I: MỞ ĐẦU 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán 
là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và 
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học 
sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết . Trong chương trình 
môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-
CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp 
lượng giác hóa. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và 
phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn. Để 
đáp ứng yêu cầu đó, tôi xin viết chuyên đề “Một số ứng dụng của phương pháp 
lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương 
trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính 
tích phân. Hy vọng chuyên đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về 
phương pháp này. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa nhằm 
nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh 
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 
Hệ thống hóa các bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải 
toán 
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của hệ thống các câu hỏi và bài tập đã 
được xây dựng 
3 | P a g e 
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong 
việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 
của hàm số, tính tích phân 
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
Nghiên cứu tài liệu tham khảo. 
Điều tra, khảo sát thực tế học sinh. 
Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn. 
Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. 
VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 
Trình bày rõ được cơ sở lí luận của phương pháp. 
Trình bày được 3 ứng dụng quan trọng của đề tài trong việc giải phương 
trình, hệ phương trình đại số; tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính 
tích phân. 
Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, góp phần đổi 
mới phương pháp dạy học. 
4 | P a g e 
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ 
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan 
đến lượng giác hoá đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng 
cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt 
phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào 
thích hợp cho việc lượng giác hoá. 
Những kiến thức liên quan: 
1. Các hàm số cơ bản: 
a. Hàm số: siny x , cosy x . 
 Miền xác định: R . 
 Miền giá trị:  1;1 . 
 Chu kì: 2 . 
b. Hàm số: tany x . 
 Miền xác định: \ ,
2
R k k Z
 
 
 
. 
 Miền giá trị: R . 
 Chu kì: . 
c. Hàm số: coty x . 
 Miền xác định: \ ,R k k Z . 
 Miền giá trị: R . 
 Chu kì: . 
5 | P a g e 
2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị: 
 Nếu sin cos 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
A x x x x
 thì ta có 
2 2A . 
 Nếu cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
B x x x x
 thì ta có 
2 2B . 
 Nếu sin cosC x x  thì ta có 2 2 2 2C   . 
 Nếu cos sinn nD x x thì ta có 1 1D . 
3. Phép đổi biến số: 
 Nếu ,( 0)x k k thì ta đặt  cos , 0;x k hoặc 
sin , ;
2 2
x k
. 
 Nếu x R thì ta đặt tan , ;
2 2
x
. 
 Nếu ,x y thoả mãn điều kiện 2 2 2 2 2 ,( , , 0)a x b y c a b c thì ta đặt 
sin
c
x
a
 ,  cos , 0;2
c
y
b
 . 
 Nếu , ,x y z thoả mãn x y z xyz hoặc 1xy yz zx thì ta có thể đặt 
tanx , tan , tany z  với , , ;
2 2
  
6 | P a g e 
4. Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp: 
Biểu thức Cách đặt Miền giá trị của biến 
2 2x a tanx a 
(hoặc cotx a ) 
;
2 2
(hoặc 0; ) 
2 2a x sinx a 
(hoặc cosx a ) 
;
2 2
(hoặc  0; ) 
2 2x a 
cos
a
x
hoặc 
sin
a
a
 0; \
2
 
 
 
hoặc ; \ 0
2 2
a x
a x
 hoặc 
a x
a x
cos2x a R 
( )( )x a b x 
2( )sinx a b a R 
1
x y
xy
 hoặc 
1
x y
xy
tan
tan
x
y

 , ;
2 2
 
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 
Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được rất ít 
em tập trung làm bài tập dạng này 
Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng toán này, một 
số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống . 
7 | P a g e 
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. 
Dạng 1: Giải phương trình đa thức 
Ví dụ 1: Giải phương trình 3
1
4 3 0 1
2
x x 
Giải 
+ Xét với 1;x , hàm số 3
1
4 3
2
y x x đồng biến và 1 0y nên (1) vô 
nghiệm 
+ Xét với ; 1x , hàm số 3
1
4 3
2
y x x đồng biến và 1 0y nên (1) 
vô nghiệm 
+ Xét với  1;1x . Khi đó ta đặt cosx t với  0;t . Phương trình lúc này 
có dạng 
 3
2
1 1 9 3
4cos 3cos 0 cos3
22 2
9 3
k
t
t t t
k
t
Vì  0;t nên 
cos
9 9
7 7
cos
9 9
5 5
cos
9 9
t x
t x
t x
+ Vì phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên chúng có tối đa 3 nghiệm , do 
đó phương trình (1) có đúng 3 nghiệm ở trên. 
8 | P a g e 
Chú ý: Trong phương trình có chứa 34 3x x , đây là dấu hiệu giúp đặt cosx t 
để sử dụng công thức góc nhân ba với cos3t 
Ví dụ 2: Tìm nghiệm 0;1x của phương trình 
 2 2 132 1 2 1 1 1x x x
x
Giải 
Vì 0;1x nên ta đặt cosx t với 0;
2
t
 . Ta có phương trình 
2 2
2 2 2 2
1
 32cos cos 1 2cos 1 1
cos
32cos .sin .cos 2 cos 1 2sin 4 1 cos cos8 cos 2
t t t
t
t t t t t t t t
Giải (2) và kết hợp điều kiện 0;
2
t
 ta được các nghiệm 
1 2 3
2 2 4
; ;
7 9 9
t t t
Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm 1 2 3
2 2 4
cos ; cos ; cos
7 9 9
x x x
Ví dụ 3: Cho phương trình 3 3 1 0x x . Chứng minh có 3 nghiệm 1 2 3x x x 
thỏa mãn 23 22x x 
Giải 
Đặt 3 3 1f x x x . Ta có 2 0; 1 0; 2 0f f f 
Do tính liên tục của f x nên 0f x có 3 nghiệm 1 2 3x x x thỏa mãn 
1 2 32 1 1 2 2 1,2,3ix x x x i  
Khi đó ta đặt 0 02cos , 0 ;180x 
9 | P a g e 
Phương trình có dạng 3
1
8cos 6cos 1 0 cos3
2
Vì 0 00 ;180 nên phương trình 
1
cos3
2
 có 3 nghiệm 
0 0 0
1 2 3160 ; 80 ; 40 
Vì vậy ... Dễ thấy 23 22x x 
Một số bài tập tương tự 
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình 6 4 264 96 36 3 0x x x có nghiệm thực 
0x x thỏa mãn điều kiện 0
2 2 2 2 2 3
2 2
x
Bài 2: Trên đoạn  0;1 phương trình 2 4 28 1 2 8 8 1 1x x x x có bao nhiêu 
nghiệm? 
Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ 
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 21 1 1 2 1x x x 
Giải: 
Điều kiện xác định: 1 1x . Đặt sin ; t ;
2 2
x t
Ta có phương trình 
2
3
 1 cos sin 1 2cos 2 cos 2sin cos 1 2 1 2sin
2 2 2 2
2 3 2
3sin 4sin sin 1
2 2 2 2 2
t t t t
t t t
t t t
10 | P a g e 
Giải (1) và kết hợp điều kiện t ;
2 2
 ta được 
1
6
2
1
2
t
x
xt
Ví dụ 2: Giải phương trình 
3 32 21 1 1 1 2 1x x x x 
Giải 
Điều kiện xác định: 1 1x . Đặt  cos ; t 0;x t 
Ta có phương trình 
3 3
2
3 3
1 sin 1 cos 1 cos 2 sin
sin cos cos sin 2 2 2 sin
2 2 2 2
sin cos cos sin 1 sin cos 2 2 2 sin
2 2 2 2 2 2
1 1
2 sin 2 cos 1 0 cos
2 2
t t t t
t t t t
t
t t t t t t
t
t t t x
Vậy phương trình có nghiệm 
1
2
x 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
33 2 21 2 1x x x x 
Giải 
Điều kiện xác định: 1 1x . Đặt  cos ; t 0;x t 
Ta có phương trình 
33 2 2
3 3
 cos 1 cos cos 2 1 cos
cos sin 2 cos .sin
t t t t
t t t t
11 | P a g e 
 sin cos 1 sin .cos 2 cos .sint t t t t t 
Đặt 
2 1
sin cos sin .cos ; 2 
2
z
z t t t t z
 . Phương trình trở thành 
2
2 3 2
2
1 2
 1 1 2 3 2 0
2 2
2
2 2 2 1 0 2 1
2 1( )
z
z z z z z
z
z z z z
z loai
Với 
2
2 sin 1
4 4 2
z t t x
Với 
21 2, sin cos 1 2 1 2 1 
1 2 2 2 1
2
z t t x x
x
Vậy phương trinh có 2 nghiệm 
2 1 2 2 2 1
;
2 2
x x
Ví dụ 4: Giải phương trình 1 1 1 1 2x x x 
Giải: 
Điều kiện xác định: 1 1x 
Nhận xét rằng: 
2 2
1 1
1
2 2
x x 
 nên đặt 
1 1
cos , sin t 0;
2 2 2
x x
t t
Từ đó ta có 21 2 cos , 1 2 sin , 2cos 1x t x t x t 
12 | P a g e 
Phương trình trở thành 
2 2 cos 1 2 sin 1 2 2cos 1
2 cos 1 2 sin 2 2 cos 1 0
2 cos 1 0 
2 sin 2 2 cos 1 0 
t t t
t t t
t A
t t B
2 1 2
cos 0
2 2 2
x
A t x
2 2
2
2 sin 1 2 2 cos 0 t ,sin 0,cos 0
2
 2 1 cos 1 4 2 cos 8cos
 10cos 4 2 cos 1 0
2
cos &l ... t
20 | P a g e 
Khi đó hàm số được chuyển về dạng 
4
4 4 2
22
1 tan 1
sin cos 1 sin 2
21 tan
t
y t t t
t
Vì 20 sin 2 1t nên 
1
1
2
y 
Vậy 
21min sin 2 1 1
2 4
y t t x
2max 1 sin 2 0 0 0y t t x 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 2 biến 
22
2 2
4
,
4
x x y
f x y
x y
Giải 
Nếu 0y thì , 0f x y 
Nếu 0y , đặt tan , ;
2 2 2
x
t t
y
 . Khi đó 
2 2
22
2 2
2
tan tan 22 2
, 2 cos2 sin 2 2
tan 1
1
2
 = 2 2 cos 2 2
4
x x
t ty y
f x y t t
tx
y
t g t
Vì 1 cos 2 1
4
t
 nên 2 2 2 2 2 2g t 
21 | P a g e 
( ) 2 2 2
8
3
( ) 2 2 2
8
g t t
g t t
Vậy max , max 2 2 2; min , min 2 2 2f x y g t f x y g t 
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 
 2
2
2
1 2 2
xy y
u
x xy
 với 2 2 1x y 
Giải 
 Với 2 2 1x y ta có x và y không đồng thời bằng 0 và 
22 21 2 2 2 0x xy x y x 
Đặt 
sin
cos
x t
y t
 . Khi đó hàm u trở thành 
2
2
2sin cos 2cos sin 2 cos2 1
1
1 2sin 2sin cos sin 2 cos2 2
t t t t t
u
t t t t t
Để tìm tập giá trị của u ta biến đổi 
1 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 1
 1 sin 2 1 cos2 1 2 2
u t u t u t t
u t u t u
Điều kiện có nghiệm của (2) là 
2 2 2 2 6 61 1 1 2 2 4 1 0 1 1
2 2
u u u u u u 
Kết luận 
6 6
min 1 ;max 1
2 2
u u 
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2 2
3 4y xy
u
x y
22 | P a g e 
Giải 
Biến đổi hàm số u về dạng 
2
2 2 2 2 2 2
3 4 .
y x y
u
x y x y x y
Vì
2 2
2 2 2 2
1
x y
x y x y
 nên đặt 
2 2
2 2
sin
cos
x
t
x y
y
t
x y
Khi đó hàm u trở thành 2
3 3
3sin 4sin cos 2sin 2 cos2
2 2
u t t t u t t 
Nhận thấy 
5 3 5
2sin 2 cos2 1 4
2 2 2
t t u 
Vậy min 1; max 4u u 
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 2 2
1
1 1
x y xy
u
x y
Giải 
Từ điều kiện ,x y và sự có mặt của các biểu thức 2 21 ,1x y ta đặt 
tan
tan
x a
y b
Khi đó 
2 2
tan tan 1 tan .tan 1
sin cos sin 2 2
21 tan 1 tan
a b a b
u a b a b a b
a b
Từ đó ta thu được 
1 1
max ,min
2 2
u u 
23 | P a g e 
Dạng 2: Tìm cực trị có điều kiện 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 5u y x biết 
x,y là nghiệm của phương trình . 2 236 16 9 1x y . 
Giải 
Biến đổi điều kiện (1) về dạng: 
2 2
6 4
1
3 3
x y 
Từ đó ta nghĩ đến việc đặt 
1
2 cos cos
2
4
3sin
sin3
4
x a x a
y
a
y a
 với  0;2a 
Khi đó hàm u trở thành 
3
sin cos 5
4
u a a 
Dễ dàng nhận thấy 
15 25
4 4
u nên ta có 
25 15
max ,min
4 4
u u 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 3 2u x y 
biết x,y thỏa mãn 2 24 9 1 1x y 
Giải 
Biến đổi điều kiện (1) về dạng: 
2 2
3
1
2 4
x y 
Từ đó ta nghĩ đến việc đặt 
2coscos
2
4
3 sin
sin 3
4
x
x aa
y y a
a
 với  0;2a 
Khi đó hàm u trở thành 4cos 4 3sin 2 8sin 2
6
u a a a
Từ đó ta thấy 6 10u nên 
24 | P a g e 
 max 10u khi 
1
2
sin 1
6 3 3
2
x
a a
y
 min 6u khi 
1
4 2
sin 1
6 3 3
2
x
a a
y
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất hàm số 1 1u x y y x biết x,y thỏa mãn 
2 2 1x y 
Giải 
Từ điều kiện 2 2 1 1x y ta đặt 
sin
cos
x t
y t
Khi đó sin 1 cos cos 1 sinu t t t t 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thu được 
 2 2 2sin cos 2 sin cos 2 sin cosu t t t t t t (1) 
Dấu “=” xảy ra khi 
1 cos 1 sin
cos 1 cos sin 1 sin cos sin
sin cos
t t
t t t t t t
t t
 (*) 
Mặt khác lại có sin cos 2t t (2), dấu “=” xảy ra khi sin cos 2t t (**) 
Từ (1) và (2) ta thu được 2 2 2u 
Dấu “=” xảy ra khi 
1
sin cos
2
t t 
25 | P a g e 
Vậy max 2 2u khi 
1
2
x y 
Một số bài tập tương tự 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
2
2 2
4 4xy y
u
x y
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
2014 2014
1 1y x x với 
 1;1x 
Bài 3: Cho hệ 
2 2
2 2
4
9
6
x y
z v
xz yv
 . Tìm nghiệm của hệ để P zx đạt lớn nhất 
26 | P a g e 
Chương IV . ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 
TRONG BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN 
A. Kiến thức cơ bản 
1. Một số phép lượng giác thường gặp 
Cho ,R u v là hàm hữu tỉ của hai biến u, v 
1.1 . Tính 2 2, , 0I R x a x dx a 
Thực hiện phép đổi biến 
 
sin , ;
2 2
cos , 0;
x a t t
x a t t
1.2.Tính 2 2, , 0I R x a x dx a 
Thực hiện phép đổi biến 
tan , ;
2 2
cot , 0;
x a t t
x a t t
1.3.Tính 2 2, , 0I R x x a dx a 
Thực hiện phép đổi biến 
 
 
, ; \ 0
sin 2 2
, 0; \
cos 2
a
x t
t
a
x t
t
 
  
  
1.4.Tính , , 0
a x
I R x dx a
a x
 hoặc , , 0
a x
I R x dx a
a x
Thực hiện phép đổi biến cos2x a t 
1.5.Tính , , 0I R x x a x b dx a 
Thực hiện phép đổi biến 2sinx a b a t 
27 | P a g e 
2. Phương pháp tính tích phân bằng phép lượng giác hóa 
- Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp 
- Chuyển các biểu thức đại số sang dạng lượng giác, thực hiện phép đổi 
cận 
- Tính tích phân lượng giác thu được 
B. Một số ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Tính tích phân 
1
2
0
4
dx
I
x
Giải 
Đặt 2sinx t với ;
2 2
t
 .Khi đó 2cosdx tdt 
Đổi cận Với 0x thì 0t 
Với 1x thì 
6
t
Ta có 
6 6
2
0 0
2cos 1 1 ln3
ln tan 6
4cos 2 cos 2 2 4 4
0
tdt dt t
I
t t
Ví dụ 2: Tính tích phân 
2
2 2
0
4I x x dx 
Giải 
Đặt 2sinx t với ;
2 2
t
 .Khi đó 2cosdx tdt 
Đổi cận Với 0x thì 0t 
Với 2x thì 
2
t
28 | P a g e 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2sin 4 4sin .2cos 16sin .cos 4sin 2 2 1 cos4
1
 2 sin 4 2
4
0
I t t tdt t tdt tdt t dt
t t
Ví dụ 3: Tính tích phân 
2
2
2 1
dx
I
x
Giải 
Đặt 
1
sin
x
t
 với ; \ 0
2 2
t
 .Khi đó 
2
cos
sin
t
dx dt
t
Đổi cận Với 2x thì 
4
t
Với 2x thì 
6
t
Khi đó 
6 6 62
2
24 4 4
cos
cos 1 cos 1 6sin
sin cos 1 2 cos 11
1
4sin
2 3 2 21
ln
2 2 3 2 2
tdt
dt d t ttI
t t t
t
Ví dụ 4: Tính tích phân 
2
2
2
3
1I x dx 
Giải 
29 | P a g e 
Đặt 
1
sin
x
t
 với ; \ 0
2 2
t
 .Khi đó 
2
cos
sin
t
dx dt
t
Đổi cận Với 
2
3
x thì 
3
t
Với 2x thì 
6
t
Khi đó 
26 6
2 2 3
4 4
1 cos cos
1.
sin sin sin
tdt tdt
I
t t t
Đặt 
3 2
cos sin
cos 1
sin 2sin
u t du tdt
tdt
dv v
t t
 . 
Khi đó 
 6
2
3
3 2 3cos 1 1 cos 1 1 16 6
3 ln 3 ln
2sin 2sin 3 4 cos 1 3 4 2 3
3 3
x dx t
I
x x t
Ví dụ 5: Tính tích phân 
3
322 4 5
dx
I
x x
Giải 
Viết I lại dưới dạng 
3
3
2 1 4
dx
I
x x
Ta đi xác định nguyên hàm của hàm số 
3
1
1 4
f x
x x
 với a b 
30 | P a g e 
Đặt 2sinx a b a t với 0;
2
t
 . Khi đó sin 2dx b a tdt 
Do đó 
3 2 2
2 2
2
sin 2 1
sin 2sin . cos
cot 2 2
2 2
b a tdt dt
F x
tb ab a t b a t
t a b x
c c
b a x a b x
Từ đó 
3 1
2 2
I F x 
Chú ý: Trong lời giải trên, sở dĩ ta lựa chọn hướng tìm nguyên hàm vì nếu làm 
tích phân ngay thì phép đổi cận bị “lẻ”. 
Ví dụ 6: Tính tích phân 
2
3
4
a b
a b
I x a b x dx
 với a b 
Giải 
Đặt 2sinx a b a t với 0;
2
t
 . Khi đó sin 2dx b a tdt 
Đổi cận Với 
3
4
a b
x
 thì 
6
t
Với 
2
a b
x
 thì 
4
t
Khi đó 
2 24 4
2
6 6
sin 2 1 cos4
4 8
b a b a
I tdt t dt
31 | P a g e 
2 2
1 34 = sin 4
8 4 8 12 8
6
b a b a
t t
Ví dụ 7: Tính tích phân 
1 3
32
0 1
x
I dx
x
Giải 
Đặt tana t với ;
2 2
t
 21 tandx t dt 
Đổi cận Với 0x thì 0t 
Với 1x thì 
4
t
Khi đó 
3 2 34 4 4
3
3 22 2
0 0 0
4
3 2 4
0
tan 1 tan tan
sin cos sin cos
1 tan 1 tan
1 1 1
 = cos cos cos cos cos 4
2 4 16
0
t t dt tdt
I t t t t
t t
t t d t t t
Ví dụ 8: Tính tích phân 
0
a
a x
I dx
a x
 với 0a 
Giải 
Đặt cos2x a t với  0;t . Khi đó 
1 cos2
cot
1 cos2
a x t
t
a x t
 và 
2 sin 2dx a tdt 
32 | P a g e 
Đổi cận Với x a thì 
2
t
Với 0x thì 
4
t
Vậy 
4 4 4
2
2 2 2
2 cot sin 2 4 cos 2 1 cos2
1 2 =2 sin 2 1
2 2
4
I a t tdt a tdt a t dt
a t t a
Một số bài tập tương tự 
Tính các tích phân sau 
1. 
1
2
0
1I x dx 2. 
1
2
0
1
1
I dx
x
3. 
1 2
2
2
2
1
x
I dx
x
5. 
2
3
4
1
a b
a b
I dx
x a b x
(với 0 a b ) 
4. 
2 2
2
2 1 2 3
dx
I
x x x
6. 
1
2
ln 2
1x xI e e dx
33 | P a g e 
Chương V: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 
 Khi khảo sát chất lượng của học sinh bằng bài kiểm tra 60 phút cho 
4 lớp 12 trong năm học 2013 – 2014 trong quá trình học phụ đạo, bồi dưỡng 
nâng cao tôi đã có những kết quả cụ thể như sau : 
Thông qua quá trình giảng dạy học, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả 
cho thấy: 
+ Học sinh đã biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán 
và biết cách trình bày bài giải. Học sinh khá giỏi rất hứng thú với các dạng bài 
tập trên và các em làm khá thành thạo. 
+ Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ 
thể. 
Kết quả đạt 
được 
Trước khi bồi dưỡng Sau khi bồi dưỡng 
Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm 
Giỏi 7 4,2 % 23 14,1 % 
Khá 24 14,7 % 51 31,2 % 
Trung bình 48 29,4 % 62 38 % 
Yếu 63 38,6 % 21 11,8 % 
Kém 21 13,1 % 8 4,9 % 
34 | P a g e 
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 
I. KẾT LUẬN 
Trên đây là một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp lượng giác 
hóa. Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất 
mong các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài được đầy đủ 
hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán ở trường 
THPT nói chung và trường THPT Lạng Giang số 1 nói riêng. 
Xin chân thành cảm ơn! 
II. ĐỀ NGHỊ 
Tôi xin được đề xuất một số ý kiến nhỏ như sau: 
– Sáng kiến kinh nghiệm hay nên phổ biến rộng rãi cho giáo viên các 
trường THPT 
– Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang nên đưa ra một số đề tài xuất sắc 
cụ thể trong từng năm để giáo viên trong toàn tỉnh cùng trao đổi, thảo luận và 
nghiên cứu. 
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Lạng Giang, tháng 10 năm 2014 
Người viết 
PHẠM VĂN GIA 
35 | P a g e 
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Hồng Đức (chủ biên) – Phương pháp giải toán đại số – Nhà xuất bản 
Hà Nội – 2008. 
2. Trần Phương – Đại số sơ cấp – Nhà xuất bản Hà Nội – 2003. 
3. ThS. Nguyễn Anh Tuấn – Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ – 
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam – 2014. 
4. Võ Thanh Văn (chủ biên) – Chuyên đề ứng dụng lượng giác trong giải 
toán THPT – Nhà xuất bản đại học sư phạm –2010.