Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc

PHẦN I: MỞ ĐẦU
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp đồng bậc. Phương pháp đồng bậc (hay còn gọi là phương pháp đẳng cấp) là một phương pháp thường gặp trong khi giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức....Theo phương pháp này, từ giả thiết ta tìm một hệ thức giữa các ẩn mà ở đó mỗi hạng tử cùng bậc, sau đó đưa hệ thức đó về hệ thức một ẩn, hoặc phân tích thành nhân tử hoặc một hệ thức mới đơn giản hơn. 
Đối với các em học sinh chuẩn bị thi vào các trường ĐH-CĐ hoặc thi học sinh giỏi các cấp, việc tìm ra một phương pháp ôn tập hợp lí có ý nghĩa rất quan trọng. Các em cần có một cái nhìn xuyên suốt về kiến thức và các phương pháp giải toán đã học. Nhằm giúp các em học sinh có được một cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán quan trọng, tôi chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc”. 
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả
Giúp học sinh tìm ra phương pháp ôn tập hiệu quả thông qua việc ôn luyện theo các phương pháp giải toán.
Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới phương pháp có hiệu quả.
NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua các chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán bậc THPT hiện hành.
 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua các chủ đề: phương trình, hệ phương trình; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; bất đẳng thức.
Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình toán hiện hành và trong nội dung thi ĐH-CĐ, thi học sinh giỏi các cấp.
 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Khảo sát ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua từng chủ đề.
Phân tích cách nhận dạng, áp dụng phương pháp cho mỗi dạng toán.
Tổng kết, rút kinh nghiệm.
 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:
Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả, góp phần đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp học tập chủ động, tích cực của học sinh.
Nâng cao chất lượng dạy học của bản thân, của đồng nghiệp.
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
	Trong nhà trường phổ thông, nhiệm vụ của môn toán không chỉ là trang bị cho học sinh các kiến thức toán học như các định lý, khái niệm, quy tắc mà quan trọng hơn là phải trang bị cho các em những kiến thức về phương pháp và tư duy. Việc hình thành ở các em các kĩ năng tư duy như khái quát hóa, tổng quát hóathông qua việc dạy và học môn toán có vai trò quan trọng trong việc hình thành phẩm chất của con người lao động có tư duy sang tạo sau này.	 Việc có được một cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả qua nhiều dạng toán quan trọng trong chương trình giúp các em học sinh có được năng lực tư duy độc lập, khái quát, tổng kết được những vấn đề đã học. Qua đó phần nào hình thành được những kĩ năng tư duy quan trọng.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
	- Trong chương trình môn toán trung học phổ thông hiện hành, các chủ đề liên quan đến phương pháp đồng bậc khá nhiều song chưa có một nghiên cứu toàn diện cho vấn đề đó.
	- Đối với các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi cuối cấp, các em thường lúng túng khi chọn ra phương pháp ôn tập phù hợp. Việc ôn tập theo phương pháp giải toán giúp các em có hướng nhìn xuyên suốt vấn đề và tiết kiệm thời gian.
	- Việc đổi mới phương pháp hướng tới phát tính tích cực của học sinh đòi hỏi giáo viên phải tìm ra những cách thức phù hợp nhằm phát huy năng lực của học sinh.
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
	Trong phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, việc tạo ra các biểu thức đồng bậc giúp ta dễ dàng đưa cách hệ thức đã cho về dạng 1 ẩn hoặc có thể phân tích thành nhân tử. Từ đó thu được những hệ thức đơn giản hơn. Trong chương này ta sẽ xem xét một số ví dụ đặc trưng từ các phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình vô tỉ, hệ phương trình ...
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Lời giải: Ta có (1) 
	 (2)
	Nếu , từ (2) suy ra vô lí vì , do đó 
	(2) 
Vậy phương trình có các họ nghiệm: .
Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác đẳng cấp với sin và cos thường gặp. Do nên các biểu thức bậc nhất đối với sin và cos ta có thể coi là bậc ba (nhân thêm ).
Ví dụ 2 (A-2006) Giải phương trình: .
Lời giải: Ta viết lại phương trình dưới dạng:
Ta thấy đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với và . Do đó phương trình tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 3: Giải phương trình (1)
Lời giải: Ta có (1) (2)
Điều kiện: . Khi đó:
(2)
 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ; .
Nhận xét: Việc sử dụng hằng đẳng thức và tách số hạng hợp lí giúp đưa một phương trình vô tỉ khá khó khăn về một phương trình dạng đẳng cấp đơn giản. Đây là dạng phương trình khá thường gặp trong các kì thi. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho những kĩ thuật tương tự.
Ví dụ 4: Giải phương trình .
Lời giải: Tập xác định .
Ta có phương trình đã cho tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 5: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện: 
Ta có: phương trình 
Bình phương hai vế và biến đổi ta được:
Đối chiếu điều kiện ta được : 
Ví dụ 6(A-2007). Cho phương trình . (1)
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm .
Lời giải: Điều kiện : 
 (1) 
Đặt t=>0,vì 
Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 
Ta có 
Bảng biến thiên 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 
Ví dụ 7: Giải hệ .
Hướng dẫn: Nhân phương trình (1) với 7 rồi cộng với phương trình (2), ta được:
Dễ thấy không thỏa mãn hệ, do đó
Từ đó giải được các nghiệm: (1;1), (-1;-1), , 
Nhận xét: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai quen thuộc, việc làm mất hệ số tự do nhằm tạo ra một phương trình thuần nhất.
Ví dụ 8: Giải hệ 
Lời giải: Ta có:
Ta có 
Nếu , kết hợp với (1) ta được 
Nếu , kết hợp với (1) ta được 
Nếu , thì (1) không thỏa mãn. 
Vậy hệ có hai nghiệm 
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: 
Lời giải: Điều kiện: . Khi đó 
 Thay vào (2) ta được:
Vậy hệ có hai nghiệm và . 
Nhận xét: Dễ nhận thấy (1) là phương trình thuần nhất bậc hai đối với và nên ta có cách biến đổi như trên. Ta cũng có thể đặt x=ty hoặc biến đổi (1) .
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình 
Lời giải:
Nếu , từ (1) thỏa mãn hệ
Nếu , nhân hai vế của (1) với rồi trừ theo vế cho (2) ta được:
Với thay vào (1) ta được thỏa mãn hệ .
Vậy hệ có hai nghiệm 
Nhận xét: Mục đích của việc “nhân hai vế của (1) với rồi trừ theo vế cho (2)” nhằm tạo ra phương trình thuần nhất với và .
Ví dụ 11: (HSG Bắc Giang 2010) Giải hệ phương trình: 
Lời giải: Điều kiện . Dễ thấy không thỏa mãn hệ.
Ta có (1) 
Nếu không thỏa mãn (2)
Nếu , kết hợp với (2) ta được thỏa mãn hệ.
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: 
Lời giải: Từ điều kiện và từ hệ ta có .
Do đó hệ đã cho 
Nhân từng về các phương trình trong hệ cuối ta được:
 (do )
Thay vào (1) ta được: 
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình :
Lời giải: 
Điều kiện . Nhận thấy phương trình đầu của hệ thuần nhất với và . Đặt , khi đó phương trình đầu của hệ trở thành:
Từ đó ta có , thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
Từ đó giải và đối chiếu điều kiện ta được .
Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với
Từ đó ta được 
Nếu thỏa mãn hệ đã cho.
Nếu , ta có:
Từ đó giải được : và 
Vậy hệ có các nghiệm 
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:
Lời giải: Đặt ta thu được hệ 
.
Dễ dàng giải hệ này ta được: hoặc .
Từ đó thu được nghiệm của hệ đã cho 
.
Nhận xét: -Trong ví dụ trên ta dùng phép tịnh tiến để đưa hệ về đồng bậc.
Bằng phép tịnh tiến như trên ta có thể tạo ra hệ phương trình khá khó khăn xuất phát từ một hệ đơn giản.
Ví dụ 16: Tìm các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm.
Lời giải.
Nhân 2 vế của bất phương trình thứ hai với -3 ta được :
Cộng vế hai bất phương trình cùng chiều ta được:
Điều kiện cần để hệ bất phương trình có nghiệm là 
Điều kiện đủ. Với . Xét hệ phương trình: (II)
Giả sử là nghiệm của hệ (II). Khi đó
Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I)
(II) 
Thay vào phương trình thứ 2 của hệ (II) ta được 
Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy là kết quả cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình
ĐS: 
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS:
Bài 2: Giải các phương trình
	ĐS:
	ĐS: 
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS:
	ĐS: 
	ĐS: 
	 ĐS: 
	ĐS: 
	ĐS: 
Bài 3: Giải các hệ:
	ĐS: 
	 ĐS: 
	ĐS:
	ĐS:
	 ĐS:
	ĐS:
(A-2011) 
	ĐS: 
	ĐS: 
	ĐS: 	
 	 ĐS
	ĐS: 
	ĐS: 
	ĐS:
	ĐS: 
	ĐS: 
.	ĐS:.
 ĐS: .
Bài 4. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ có nghiệm.
Bài 5. Tìm để hệ sau có nghiệm
Chương III: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
	Ta đã biết đối với biểu thức một biến, đạo hàm là một công cụ khá hữu hiệu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số. Việc lợi dụng sự đồng bậc của các biến trong một số trường hợp có thể giúp đễ dàng đưa các biểu thức nhiều biến về biểu thức một biến. Do đó ta thu được bài toán dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Cho . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
Hướng dẫn: 
Ta có (thay )
+ Nếu y= 0 thì S=0
+ Nếu thì với 
Từ đây bằng phương pháp miền giá trị hoặc hàm số dễ dàng chỉ ra:
Nhận xét: - Ở đây ta thay để tạo ra biểu thức đồng bậc ở cả tử và mẫu
	 - Bài này cũng có thể làm bằng phương pháp lượng giác hóa.
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thức thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
(1)
Hướng dẫn: Đặt 
+Nếu y=0, khi đó thỏa mãn (1)
+ Nếu , đặt ta được: 
	Dễ dàng chỉ ra . Vì nên suy ra đpcm.
Ví dụ 3: Cho hai số thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải: 
Đặt , khi đó từ giả thiết ta có:
Do nên 
Ta có .
Xét hàm số trên , dùng đạo hàm dễ dàng chỉ ra đồng biến trên . Từ đó tìm được:
 đạt được khi ;
 đạt được khi .
Ví dụ 4 (A-2011) Cho các số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải: Đặt . Khi đó:
Xét hàm số 
Dễ chứng minh với , suy ra đồng biến trên .
Do đó . Khảo sát trên ta được .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy .
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:
	1) A=	2) B=	3)
	4) biết thoả mãn: 
Bài 2: (B-08): Cho . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 
Bài 3:Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 
Bài 4: Cho x là số dương và y là số tùy ý, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Chương IV: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
1) Thuần nhất hóa bất đẳng thức không đồng bậc.
	Các bất đẳng thức cổ điển hầu hết đều phát biểu dưới dạng các biến độc lập, do đó chúng đều ở dạng đồng bậc. Từ đó đối với các bài toán mà giả thiết cho các biến có sự ràng buộc thì một trong những ý tưởng là sử dụng hợp lí giả thiết để đưa về dạng đồng bậc. 
Ví dụ 1. Cho . Chứng minh rằng: 
.
Lời giải: Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với:
(*)
Do tính đối xứng nên có thể giả sử , khi đó ta có: 
và
Từ đó suy ra đpcm.
Ví dụ 2.Cho . Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Bất đẳng thức đã cho tương dương với:
Bất đẳng thức trên dễ dàng suy ra từ các bất đẳng thức sau:
Như vậy ta có đpcm.
Nhận xét: Việc bình phương kết luận để tạo ra biểu thức đồng bậc với giả thiết làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 3: Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
 (1)
Theo AM-GM ta có:
;;
Từ 3 bất đẳng thức trên suy ra (1).
Ví dụ 4. (HSG Bắc Giang 2013). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1. Chứng minh rằng:
.
Lời giải.
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
.
Bất đẳng thức cuối dễ dàng suy ra từ hai bất dẳng thức
Nhận xét: Ý tưởng đưa về đồng bậc với bài trên là hoàn toàn tự nhiên và đơn giản!!!
Ví dụ 5.(HSG Bắc Giang 2011). Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Lời giải.
Ta có . Ta sẽ chứng minh:
 (1)
Thật vậy (1) 
 (2)
Ta có 
Lại có , từ đó suy ra (2). Đpcm.
2) Chuẩn hóa bất đẳng thức đồng bậc
	Đối ngẫu với phương pháp trên, đối với các bất đẳng thức đồng bậc, ta có thể dùng kĩ thuật chuẩn hóa, đưa về các bất đẳng thức có điều kiện.
Ví dụ 1: Cho là ba số dương. Chứng minh rằng: 
.
Lời giải:
Do hai vế của BĐT đều là các biểu thức thuần nhất đối với nên ta có thể giả sử . Khi đó BĐT đã cho trở thành: 
 Hay	
Ta có 
	. Đpcm.
Ví dụ 2: (A-2009) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Lời giải:
Do tính thuần nhất của giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh nên ta có thể giả sử .
 Từ giả thiết 
Bất đẳng thức đã cho trở thành: 
 , đúng do 
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của.
Lời giải:
Do tính thuần nhất của P nên ta có thể giả sử 
Ta có:
Theo AM-GM: 
Ta có: 
 Suy ra : khi .
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Cho . Chứng minh 
Cho . Chứng minh .
Cho là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh
Cho 3 số dương thỏa mãn . TìmGTNN của
.
Cho 3 số dương thỏa mãn . Chứng minh: 
Cho 3 số dương thỏa mãn . Chứng minh: 
.
Cho là các số dương chứng minh
Cho là các số dương chứng minh
Chothỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
 là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
PHẦN III: KẾT LUẬN
Phương pháp đồng bậc là phương pháp có nhiều ứng dụng trong toán học phổ thông. Việc giúp các em học sinh thấy rõ được được ứng dụng của phương pháp trong nhiều vấn đề, làm cho không những nắm chắc kiến thức đã học mà còn giúp các em có những ý tưởng sáng tạo trong học toán.
Sáng kiến kinh nghiệm này đã đề cập tới những ứng dụng của phương pháp đồng bậc trong nhiều chủ đề quan trọng nằm trong nội dung thi tuyển sinh ĐH- CĐ và thi học sinh giỏi các cấp. Trong mỗi ví dụ minh họa cho phương pháp ở mỗi chủ đề, tôi đã cố gắng phân tích những ý tưởng, kĩ thuật để đưa các bài toán về áp dụng phương pháp đồng bậc. Những ví dụ phong phú được lấy từ nhiều chủ đề nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn xuyên suốt về phương pháp.
 Chuyên để này đã được sử dụng để ôn thi cho các học sinh đang chuẩn bị thi vào ĐH-CĐ, thi HSG cấp tỉnh ở trường THPT Lạng Giang số 1 các năm 2012-2013 và 2013-2014 và thu được kết quả tốt. Việc đưa ra một hình thức ôn tập mới, tiết kiệm thời gian và công sức làm cho các em học sinh cảm thấy hào hứng, chủ động và có hiệu quả. Hi vọng kết quả của SKKN này sẽ góp một phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy và học hiện nay. Tuy nhiên do năng lực và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên chuyên đề này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, người viết rất mong được sự góp ý từ các đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Lạng Giang, ngày 10/10/2014
Người viết
Ngô Ngọc Hà
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Xuân Liêm. “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB Giáo dục, 2008.
[2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. “Giải tích 12 ”, NXB Giáo dục, 2008.
[3] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn. “Đại số và giải tích 11”, NXB Giáo dục, 2008.
[4]. Báo toán học và tuổi trẻ.
[5]. Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang.
[6] Đề thi tuyển sinh đại học và đề dự bị đại học của Bộ giáo dục đào tạo từ năm 2002 đến 2013.
[7] Một số diễn đàn k2pi.net, onluyentoan.vn,...