Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG 
GẶP CỦA HỌC SINH KHI 
TÍNH TÍCH PHÂN 
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 
 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các 
năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh 
THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự 
áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của 
tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy 
móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định 
nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích 
phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được 
có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? 
phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến 
đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học 
sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng 
dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi 
mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh 
khi tính tích phân”. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm 
nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và 
đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. 
 Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự 
trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với tích phân. Cùng với sự tích 
luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua một số năm giảng dạy. Kết hợp 
với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình Đại học 
Toán mà đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo. Tôi mạnh 
dạn chọn đề tài này. 
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề 
này, tự phân loại được một số dạng toán tích phân, nêu lên một số phương 
pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn 
trong việc tính tích phân. Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy 
được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ. Từ đó 
hình thành cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo trong học tập. 
II - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : 
-Các phương pháp tính tích phân : PP đổi biến số, PP tích phân từng 
phần, Tích phân hàm số lượng giác, tích phân hàm số vô tỷ... 
- Kỹ năng tính tích phân dùng bảng nguyên hàm cơ bản mà học sinh 
đã học. 
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : 
- Học sinh lớp 12 BT.THPT 
- Các phương pháp tính tích phân trong chương trình toán lớp 12. 
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : 
Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, 
kiểm tra kết quả. Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ 
giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối 
tượng học sinh khác nhau : Học sinh khá, giỏi và học sinh trung bình về môn 
Toán. 
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU : 
Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Tích phân trong chương 
trình lớp 12 ở THPT. 
 VI. PHƯƠNG PHÁP 
+ Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của 
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức 
của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 
+Thực nghiệm sư phạm 
PHẦN II : NỘI DUNG 
 I. CƠ SỞ KHOA HỌC 
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai 
đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và 
đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh. 
 II. NỘI DUNG CỤ THỂ. 
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân 
Bài tập minh hoạ 
Bài 1: Tính tích phân: I = ò
- +
2
2
2)1(x
dx 
* Sai lầm thường gặp : I = ò
- +
2
2
2)1(x
dx = ò
- +
+2
2
2)1(
)1(
x
xd =-
1
1
+x
2
2- = - 3
1 -1 = -
3
4 
* Nguyên nhân sai lầm : 
Hàm số y = 
2)1(
1
+x
 không xác định tại x= -1 [ ]2;2-Î suy ra hàm số không 
liên tục trên [ ]2;2- nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như 
cách giải trên. 
* LỜI GIẢI ĐÚNG 
Hàm số y = 
2)1(
1
+x
 không xác định tại x= -1 [ ]2;2-Î suy ra hàm số không 
liên tục trên [ ]2;2- do đó tích phân trên không tồn tại. 
* Chú ý đối với học sinh: 
Khi tính dxxf
b
a
)(ò cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên [ ]ba; không? 
nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu 
không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. 
* Một số bài tập tương tự : 
Tính các tích phân sau: 
 1/ ò -
5
0
4)4(x
dx . 3/ dx
xò
2
0
4cos
1
p
 2/ dxxx 2
13
2
2 )1( -ò
-
. 4/ dx
x
xex x
ò
-
+-1
1
3
23 . 
Bài 2 :Tính tích phân: I = ò +
p
0 sin1 x
dx 
* Sai lầm thường gặp : Đặt t = tan
2
x thì dx = 
21
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+ 
Þ ò + x
dx
sin1
= ò + 2)1(
2
t
dt = ò -+ 2)1(2 t d(t+1) = 1
2
+t
 + c 
Þ I = ò +
p
0 sin1 x
dx = 
1
2
tan
2
+
-
x
p
0 = 
1
2
tan
2
+
-
p
- 
10tan
2
+
do tan
2
p không xác định nên tích phân trên không tồn tại 
*Nguyên nhân sai lầm: 
Đặt t = tan
2
x x [ ]p;0Î tại x = p thì tan
2
x không có nghĩa. 
* LỜI GIẢI ĐÚNG: 
I = ò +
p
0 sin1 x
dx = òò ÷ø
ö
ç
è
æ -=
÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
÷
ø
ö
ç
è
æ -+
p
p
p p
p
p
p 0
0
20 42
tan
42
cos
42
2
cos1
x
x
x
d
x
dx = 
tan 2
4
tan
4
=÷
ø
ö
ç
è
æ --
pp 
* Chú ý đối với học sinh: 
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số 
liên tục và có đạo hàm liên tục trên [ ]ba; . 
*Một số bài tập tương tự: 
 Tính các tích phân sau: 
 1/ ò
p
0 sin x
dx 2/ ò +
p
0 cos1 x
dx 
Bài 3: Tính I = ò +-
4
0
2 96xx dx 
* Sai lầm thường gặp: 
I = ò +-
4
0
2 96xx dx = ( ) ( ) ( ) ( ) 4
2
9
2
1
2
3
333 40
4
0
24
0
2 -=-=
-
=--=- òò
x
xdxdxx 
* Nguyên nhân sai lầm: 
Phép biến đổi ( ) 33 2 -=- xx với x [ ]4;0Î là không tương đương. 
* LỜI GIẢI ĐÚNG: 
I = ò +-
4
0
2 96xx dx 
 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ò òòò --+---=--=-
3
0
4
3
4
0
4
0
2 3333333 xdxxdxxdxdxx 
 = - ( ) ( ) 5
2
1
2
9
2
3
2
3 4
3
2
3
0
2
=+=
-
+
- xx 
* Chú ý đối với học sinh: 
( )( ) ( )xfxfn n =2 2 ( )Nnn γ ,1 
I = ( )( ) =ò
b
a
n nxf2 2 ( )dxxf
b
a
ò ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [ ]ba; rồi dùng tính 
chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Một số bài tập tương tự: 
1/ I = ò -
p
0
2sin1 x dx ; 3/ I = ò ÷ø
ö
ç
è
æ -+
2
2
1
2
2 2
1
x
x dx 
 2/ I = ò +-
3
0
23 2 xxx dx 4/ I = ò -+
3
6
22 2cottan
p
p
xx dx 
Bài 4: Tính I = ò
- ++
0
1
2 22xx
dx 
* Sai lầm thường gặp: 
I = ( )
( )
( )
4
0arctan1arctan1arctan
11
1 0
1
0
1
2
p
=-=+=
++
+
-
-
ò xx
xd 
* Nguyên nhân sai lầm : 
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời 
* LỜI GIẢI ĐÚNG: 
 Đặt : x+1 = tant ( )dttdx 2tan1+=Þ 
 Đổi cận: 
x -1 0 
t 0 
4
p 
Khi đó : I = ( ) òò ===+
+ 4
0
4
0
4
0
2
41tan
tan1
p
p
p
p
tdt
t
dtt 
* Chú ý đối với học sinh: 
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện 
thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong 
một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 
2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo 
khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi 
gặp tích phân dạng ò +
b
a
dx
x 21
1 ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx 
hoặc t = cotx ; 
 ò
-
b
a
dx
x 21
1 thì đặt x = sint hoặc x = cost 
*Một số bài tập tương tự: 
1/ I = ò
-8
4
2 16
dx
x
x 2/ I = dx
x
xx
ò +
++1
0
2
3
1
322 3/ I = ò
-
3
1
0
8
3
1 x
dxx 
 Bài 5: Tính :I = ò
-
4
1
0
2
3
1
dx
x
x 
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt 
ò ò=
-
dt
t
t
dx
x
x
cos
sin
1
3
2
3
Đổi cận: 
x 0 1/4 
t 0 ? 
* Nguyên nhân sai lầm: 
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 21 x- thì thường đặt x = sint nhưng 
đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 
4
1 không 
tìm được chính xác t = ? 
* LỜI GIẢI ĐÚNG: 
 Đặt : t = 21 x- Þdt = xdxtdtdx
x
x
=Þ
- 21
 Đổi cận: 
x 0 1/4 
t 1 
4
15 
 I = ò
-
4
1
0
2
3
1
dx
x
x 
 = ( ) ( )ò ò -=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=-=
-4
15
1
4
15
1
4
15
1
3
2
2
3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt 
* Chú ý đối với học sinh: 
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 21 x- thì thường đặt x = sint hoặc 
gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến 
cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới 
làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương 
pháp khác. 
*Một số bài tập tương tự: 
 1/ tính I = dx
x
x
ò
+
7
0
2
3
1
 2/ tính I = ò
+
2
1
2 1xx
dx 
Bài 6: Tính I = ò
- +
-1
1
4
2
1
1
dx
x
x 
* Sai lầm thường mắc: I = ò ò
- - -÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
+
-1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x 
 Đặt t = x+ dx
x
dt
x
÷
ø
ö
ç
è
æ -=Þ
2
1
1
1 
 Đổi cận: 
x -1 1 
t -2 2 
I = ò
- -
2
2
2 2t
dt = dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2 -
-
+ò-
=(ln 2+t -ln 2-t ) 22
2
2
2
2
ln --
-
+
=
t
t 
 = ln 
22
22
ln2
22
22
ln
22
22
-
+
=
--
+-
-
-
+ 
* Nguyên nhân sai lầm: 
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
-
=
+
- là sai vì trong [ ]1;1- chứa x = 0 nên 
không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được 
* LỜI GIẢI ĐÚNG: 
xét hàm số F(x) = 
12
12
ln
22
1
2
2
++
+-
xx
xx 
 F’(x) = 
1
1
)
12
12
(ln
22
1
4
2
2
2
+
-
=¢
++
+-
x
x
xx
xx 
Do đó I = ò
- +
-1
1
4
2
1
1
dx
x
x = 
12
12
ln
22
1
2
2
++
+-
xx
xx
ln
2
11
1 =-
22
22
+
- 
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm 
số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 
. 
 III .HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN K