Sáng kiến kinh nghiệm Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA 
BÀI TOÁN TÍCH PHÂN 
VÀ ỨNG DỤNG 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
1. Lí do chọn đề tài 
Phần tích phân chiếm một thời lượng tương đối lớn trong chương trình 
trung học phổ thông và là một vấn đề không thể thiếu trong các kì thi tốt 
nghiệp, Đại học và Cao đẳng. Đây là một vấn đề khó đối với học sinh cũng 
như giáo viên. Đặc biệt nhiều bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân 
trong các kì thi Đại học, Cao đẳng dạng bình thường ít được ra, mà ta thường 
gặp các bài toán ở mức độ khó và biến đổi phức tạp hơn. Đứng trước các bài 
toán này thí sinh thường lúng túng trong việc nhận dạng, biến đổi, phân tích 
và chọn lời giải. Để phần nào khắc phục được hạn chế đó chúng tôi nêu lên đề 
tài: “ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
” mà trong quá trình giảng dạy đã đúc kết được. Đề tài thể hiện được hướng 
tiếp cận và khai thác hiệu quả đối với các dạng toán tích phân trong chương 
trình lớp 12 THPT góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và ôn thi Đại học, 
Cao đẳng. Rất mong sự đồng cảm và chia sẽ của các thầy cô và các bạn quan 
tâm đến vấn đề này. 
2. Mục đích nghiên cứu 
Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán 
về tích phân và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp 
các bài tập dạng này. 
Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong 
sáng hơn. 
 Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc 
trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. 
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài 
Đối tượng nghiên cứu là phương pháp tiếp cận để giải quyết lớp các bài 
toán về tích phân thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng cũng như tốt 
nghiệp THPT. 
4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài 
Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, luyện thi 
Đại học và Cao đẳng. 
5. Nhiệm vụ nghiên cứu 
Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân tính 
diện tích hình phẳng. 
Kỹ năng phân tích, nhận dạng và tính tích phân. 
6. Phương pháp nghiên cứu 
a) Nghiên cứu tài liệu: 
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài: 
- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 . 
- Tài liệu tham khảo. 
b) Điều tra: 
- Thực dạy và kết quả kiểm tra: 
Trong quá trình nghiên cứu đề tài năm học 2012-2013 đã tiến hành đối 
chứng 12B và thực nghiệm các lớp 12G, 12I thực nghiệm. 
- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả 
năng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng 
nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình. 
- Đàm thoại: 
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy 
phù hợp với phân môn. 
+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán tích phân mới để biết 
được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn. 
c) Giả thuyết khoa học: 
Nếu học sinh nắm vững các bước giải và dạng toán thì các em cảm thấy 
hăng say, tích cực, tự tin và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm 
vẫn cao hơn. 
7. Bố cục đề tài 
Bố cục đề tài gồm: Đặt vấn đề, Giải quyết vấn đề gồm 2 chương: 
Chương 1 và chương 2, Kết luận, kiến nghị và tài liệu tham khảo. 
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC NỘI 
DUNG TÍCH PHÂN TẠI TRƯỜNG THPT 
1.1. Cơ sở lí luận: 
Một số bài tập tính tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tuy nhiên 
đứng trước các bài tập đó học sinh thường lúng túng khi chọn cách giải và 
chọn lời giải. Một số bài tập tích phân các em hay thiếu kinh nghiệm về việc 
chọn phương pháp giải hay và hiệu quả, học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà 
không phát hiện và so sánh để chọn lời giải hợp lí. Nhiều giáo viên đã đưa ra 
được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề đó có hiệu quả như: Phân dạng bài 
tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ. Tuy 
nhiên đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính 
diện tích hình phẳng đôi khi học sinh cảm thấy sợ khó, giáo viên ít quan tâm. 
1.2. Cơ sở thực tiễn: 
1.2.1. Thực trạng việc dạy của giáo viên: 
Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng 
thường dừng lại ở mức độ đơn lẻ, chưa đưa ra được các cách giải và cách 
phân tích cho một bài toán để chọn được lời giải hay. Đối với dạng toán tích 
phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng giáo viên ít 
quan tâm hơn. 
1.2.2. Thực trạng việc học của học sinh: 
Đa số học sinh biết giải các bài tập tích phân cơ bản, biến đổi đơn giản 
và bế tắc khi gặp dạng biến đổi phức tạp. Nhiều học sinh còn lúng túng khi 
chọn phương pháp giải và lời giải chưa thật sự rõ ràng. Đối với dạng toán 
tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng học 
sinh còn sợ khó. 
Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013: 
Lớp Số lượng 
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu 
Số lượng % Số lượng % 
12B 44 14 31,8 30 68,2 
12G 42 32 76,2 10 23,8 
12I 39 31 79,5 8 20,5 
1.2.3. Sự cần thiết của đề tài: 
Qua phân tích thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học 
sinh, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 
12. Đề tài giới thiệu những kinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng 
cao hiệu quả giảng dạy tích phân cho học sinh khối 12 và giúp các em đạt kết 
quả cao trong các kì thi tốt nghiệp, Đai học và cao đẳng. 
Chương 2: ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG 
DỤNG 
Vấn đề được đặt ra: 
Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ 
động và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều 
đó, chúng ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm 
tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập 
tốt hơn và hiệu quả giảng dạy cao hơn . 
 Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: 
Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều 
tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch; Tiến 
hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài. 
Nội dung của chương 2: 
2.1. Dạng bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 
2.1.1. Phương pháp 
 Dạng 1: [ ( )] '( )
b
a
I f u x u x dx= ò 
 Cách thực hiện: 
Bước 1: Đặt ( ) ( ( )) '( )u x t dt d u x u x dx= Þ = = 
Bước 2: Đổi cận: )( )(but autbx ax ==== Þ 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được: 
 I = òò =
)(
)(
)()(')]([
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf (tiếp tục tính tích phân mới) 
2.1.2. Bài tập ứng dụng 
Tính các tích phân sau: 
Bài 1: 
1
3 4 3
0
(1 )I x x dx= +ò 
Phân tích 
 - Đứng trước bài toán này ta có các hướng giải: 
1. Khai triển hằng đẳng thức 4 3(1 )x+ và đưa tích phân về dạng cơ bản. 
2. Sử dụng định nghĩa tích phân. 
3. Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1 
- Trình bày lời giải theo phương pháp đổi biến số như sau: 
Giải 
Đặt 4 4 4 3 3 11 (1 ) (1 ) 4
4
t x dt d x x dx x dx x dx dt= + Þ = + = + = Þ = 
Đổi cận: 0 1; 1 2x t x t= Þ = = Þ = 
Từ đó: 
1
3 4 3
0
(1 )I x x dx= +ò
2
3 4
1
21 1 15
14 16 16
t dt t= = =ò . 
Nhận xét: Đối với dạng toán tương tự như bài 1 sử dụng phương pháp 
đổi biến số cho ta một lời giải rõ ràng và hiệu quả. Với hướng 1 nếu số mũ 
lớn thì việc khai triển khó khăn hơn và đó đương nhiên không thực tế. 
Bài 2: 
1
3 2
0
1I x x dx= +ò 
Phân tích 
- Bài toán này có thể nêu các hướng giải: 
1. Sử dụng định nghĩa tích phân. 
2. Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1: Để khử căn thức đặt:
3 1t x= + hoặc 
đặt 3 1t x= + để khử 2x . 
- Lời giải trình bày theo phương pháp đổi biến số: 
Giải 
Cách 1: 
Đặt: 3 3 3 2 21 ( 1) ( 1) ' 3
3
dt
t x dt d x x dx x dx x dx= + Þ = + = + = Þ = 
Đổi cận: 0 1; 1 2x t x t= Þ = = Þ = 
Khi đó: ( )
1
12 1 2
2
1
2 21 1 ( ) 2 4 2 2
2 (2 2 1)
1 1 13 3 9 9 9 91
2
t
I t dt t t
+
= = = = - = -
+
ò . 
Cách 2: 
Đặt: 3 2 3 2 3 2 2 21 1 ( 1) 2 3
3
tdt
t x t x dt d x tdt x dx x dx= + Þ = + Þ = + Û = Þ = 
Đổi cận: 0 1; 1 2x t x t= Þ = = Þ = 
Khi đó: 
2
2 3
1
2 2 22
. (2 2 1)
3 9 91
I t dt t= = = -ò . 
Bài 3: 
2
1
1 lne x
I dx
x
+
= ò 
Phân tích 
- Với bài toán này ta có thể nghỉ đến hướng giải: 
1. Sử dụng phương pháp đổi biến số, thực hiện theo hai cách: 
+ Tách thành 1 tích phân cơ bản và một tích phân đổi biến số. 
+ Sử dụng ngay phép đổi biến số. 
2. Sử dụng định nghĩa tích phân. 
- Sau đây lời giải được trình bày theo phương pháp đổi biến số: 
Giải 
Đặt: 1 1ln ln (ln ) 't x dt d x x dx dx dx dt
x x
= Þ = = = Þ = 
Đổi cận: 1 0; 1x t x e t= Þ = = Þ = 
Khi đó: 
1
2 3
0
11 4
( 1) ( )
03 3
I t dt t t= + = + =ò . 
Nhận xét: 
Như vậy đối với một bài toán ta có nhiều cách giải khác nhau do đó ta 
cần linh động lựa chọn cách giải hợp lí, hiệu quả và phù hợp. Trên đây là 
những bài toán cơ bản của phép đổi biến số ta cảm thấy việc giải nó có phần 
nhẹ nhàng. Đối với các đề thi cao đẳng đại học các bài toán khó hơn không 
cho dạng tường minh mà ta phải biến đổi về dạng cơ bản và tìm lời giải hợp 
lí, hiệu quả. Ví dụ: 
Bài 4: (ĐH Khối B - 2010). 2
1
ln
(2 ln )
e x
I dx
x x
=
+ò 
Phân tích 
- Bài toán này có hướng giải: 
1. Sử dụng phương pháp đổi biến số có thể đặt 2 lnt x= + hoặc lnt x= . 
2. Sử dụng định nghĩa tích phân. 
- Lời giải được trình bày theo phương pháp đổi biến số: 
Giải 
Đặt: 1 12 ln (2 ln ) (2 ln ) 't x dt d x x dx dx dx dt
x x
= + Þ = + = + = Þ = 
Đổi cận: 1 2; 3x t x e t= Þ = = Þ = 
Khi đó: 
3 3
2 2
2 2
32 1 2 2 1 3
( ) (ln ) ln
2 3 2
t
I dt dt t
t t t t
- -
= = - = + = +ò ò . 
Bài 5: (ĐH Khối A- 2010). 
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
I dx
e
+ +
=
+ò 
Phân tích 
 - Đây là bài toán phức tạp hơn các bài toán vừa nêu, đứng trước bài 
toán này ta: 
+ Nhận thấy tử có thể phân tích nhân tử chung từ đó biến đổi hàm số 
lấy tích về dạng quen thuộc. 
+ Nhận dạng để tìm cách giải. 
- Lời giải trình bày như sau: 
Giải 
Biến đổi: 
1 1 1 12 2 2
2
0 0 0 0
2 (1 2 )
1 2 1 2 1 2
x x x x x
x x x
x e x e e x e e
I dx dx x dx dx
e e e