SKKN Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU 
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT 
SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG 
TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG 
CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 
MỤC LỤC 
 Trang 
Mục lục......................................................................................................................1 
Mở đầu......................................................................................................................2 
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn........................................................................4 
1.1.Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 ..............................4 
1.2.Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 ........4 
1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.......................................................................5 
Chương 2. Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán 
về phương trình chứa tham số...................................................................................6 
2.1. Một số kiến thức liên quan.................................................................................6 
2.1.1. Bất đẳng thức tam giác....................................................................................6 
2.1.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số >,>ଶ và ú, úଶ...............................6 
2.2. Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ............................6 
2.2.1. Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác định 
điều kiện cần..............................................................................................................6 
2.2.2. Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần........................................13 
2.2.3. Một số phương pháp khác để tìm điều kiện cần............................................17 
Kết luận......22 
Tài liệu tham khảo...24 
 MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
 Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập. Để đáp ứng nhu cầu công 
nghiệp hoá-hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học-công nghệ, 
giáo dục-đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu, nhằm nâng cao dân trí, đào tạo 
nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. 
 Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị trí đặc biệt 
quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác. Môn toán có 
khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện 
cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic 
 Phương trình đặc biệt là phương trình chứa tham số chiếm một khối lượng 
không nhỏ trong chương trình toán phổ thông nhất là đối với chương trình đại số 
10. Vì vậy, việc đưa ra những phương pháp cụ thể để giải các dạng toán ở nội dung 
này là hết sức cần thiết. Có khá nhiều tài liệu nghiên cứu về nội dung này song chỉ 
trình bày tổng hợp nhiều phương pháp nên mức độ của mỗi phương pháp thực sự 
chưa được làm sâu. 
 Phương pháp điều kiện cần và đủ có lẽ đã quen thuộc đối với giáo viên, sinh 
viên ngành toán song đối với nhiều học sinh cấp III đây còn là một vấn đề khá mới 
mẻ. Tuy nhiên, phương pháp điều kiện cần và đủ lại tỏ ra khá hiệu quả đối với việc 
giải các bài toán về phương trình chứa tham số. Bằng phương pháp này, học sinh 
có thể vận dụng vào giải các bài toán về phương trình chứa tham số một cách đơn 
giản và dễ hiểu, nhất là đối với một số phương trình đặc biệt sẽ được đề cập đến 
trong phần sau. Xuất phát từ vị trí và tính hiệu quả của phương pháp điều kiện cần 
và đủ đối với kỹ năng giải toán của học sinh, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Vận 
dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương 
trình chứa tham số trong chương trình đại số 10” với mong muốn cung cấp cho 
học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu trong học toán và giải toán, đồng thời 
góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân. 
Hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo 
trong việc ôn luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng học 
sinh giỏi. 
2. Mục đích nghiên cứu 
 - Nghiên cứu để làm rõ nội dung của phương pháp điều kiện cần và đủ, trên cơ 
sở đó vận dụng vào việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số trong 
phạm vi chương trình đại số 10. 
 - Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số ở lớp 10. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 
 - Tổng hợp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương trình phục vụ cho đề tài. 
 - Trình bày phương pháp điều kiện cần và đủ. 
 - Vận dụng điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa 
tham số. 
4. Đối tượng nghiên cứu 
 Đối tượng nghiên cứu là phương pháp điều kiện cần và đủ cùng với một số bài 
toán phương trình chứa tham số giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ trong 
chương trình đại số 10. 
5. Phương pháp nghiên cứu 
 - Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phương trình chứa tham số và phương 
pháp điều kiện cần và đủ. 
 - Trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, khái quátrút ra những vấn đề cần thực hiện 
trong đề tài. 
6. Cấu trúc của đề tài 
 Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài bao gồm 2 chương: 
 Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài. 
 Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng 
toán về phương trình chứa tham số. 
Chương 1 
 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 
1.1 . Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 
Theo sách giáo khoa đại số 10 thì các nội dung về phương trình được đề cập đến 
bao gồm: 
 -Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn. 
 -Phương trình quy về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. 
 -Phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Trong các nội dung đó, có một số nội dung có lẽ không gây khó khăn đối với học 
sinh lớp 10. Để đáp ứng được phạm vi nghiên cứu và yêu cầu của đề tài những nội 
dung này sẽ không được đề cập đến. Vì vậy, trong đề tài này tôi xin được trình bày 
các bài toán về phương trình chứa tham số của các nội dung sau: 
 -Phương trình bậc hai một ẩn. 
 -Phương trình qui về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. 
Ngoài ra, trong đề tài này tôi cũng xin trình bày một số bài toán về phương trình 
chứa tham số nhưng không nằm trong nội dung sách giáo khoa nhằm phục vụ cho 
việc bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh khối lớp 10. 
1.2. Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 
 Trong một phương trình ngoài ẩn số ra còn có chữ khác mà chữ này được xem 
như là hằng số thì phương trình đó được gọi là phương trình chứa tham số, chữ cái 
khác ở trên được gọi là tham số. 
 Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 chủ yếu được phân 
theo 2 dạng: 
 Dạng 1: Giải và biện luận phương trình theo giá trị của tham số. 
 Dạng 2: Xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. 
Các bài toán được đề cập đến trong đề tài này tập trung vào dạng thứ 2, tức là xác 
định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó, chẳng hạn như, 
xác định tham số để phương trình có nghiệm, có duy nhất nghiệm, hoặc nghiệm 
đúng với mọi x thuộc một khoảng nào đó... 
1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ 
 Cho phương trình chứa tham số Nሺ2,݉ሻ= 0 (I) với 2 ∈ ܦ௫, ݉∈ ܦ௠, trong đó 2 là biến, ݉là tham số, ܦ௫, ܦ௠ lần lượt là miền của 2, ݉đang xét. 
 Phương pháp điều kiện cần và đủ được chia làm 2 bước: 
Bước 1 (Điều kiện cần): Giả sử (I) thỏa mãn tính chất P mà đầu bài đòi hỏi. Dựa 
vào tính chất P, hàm số Nሺ2,݉ሻ và miền ܦ௫ đang xét ta tìm ra một điều kiện ràng 
buộc nào đó của .݉ Điều kiện đó chính là điều kiện cần để bài toán đã cho có tính 
chất P. 
Khi đó ݉∈ ܪ௠ ⊂ ܦ௠ và ܪ௠ sẽ chứa các giá trị của ݉để làm cho bài toán thỏa 
mãn tính chất P. Nếu ଴݉∉ ܪ௠ thì ứng với ଴݉, (I) không có tính chất P. Nghĩa là 
những giá trị ݉cần tìm chỉ chứa trong tập ܪ௠ này. Trong tập ܪ௠ có thể có những 
giá trị ݉không làm cho bài toán thỏa mãn tính chất P nên để loại những giá trị đó 
ta cần đến bước thứ 2, bước: điều kiện đủ. 
Bước 2 (Điều kiện đủ): Giả sử ݉∈ ܪ௠. Ta cần tìm xem trong những giá trị đó giá 
trị nào của ݉ làm cho (I) thỏa mãn tính chất P. Khi đó ta có điều kiện đủ để (I) 
thỏa mãn tính chất P. 
Nếu ܪ௠ là tập hữu hạn các giá trị ݉thì ta lần lượt thay từng giá trị ,݉ rồi giải bài 
toán để xem nó có thỏa mãn tính chất P hay không, nếu thỏa mãn thì nhận còn 
không thì loại. Nếu ܪ௠ là một khoảng hay một đoạn giá trị thì ta dựa vào đặc trưng 
của bài toán và một số kiến thức liên quan về lí thuyết phương trình để giải chúng. 
Kết quả của phép giải sẽ loại đi những giá trị không thích hợp của .݉ 
Chương 2 
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ 
DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 
2.1. Một số kiến thức liên quan 
2.1.1. Bất đẳng thức tam giác 
Với mọi >, ú ∈ ℝ ta luôn có: |> + ú| ≤ |>| + |ú| 
Dấu “=” xảy ra khi >ú ≥ 0. 
2.1.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số >,>ଶ và ú, úଶ 
Với 2 bộ số >,>ଶ và ú, úଶ ta có: 
 ሺ>ú + >ଶúଶሻଶ≤ ሺ>ଶ+ >ଶଶሻሺúଶ+ úଶଶሻ 
Dấu “=” xảy ra khi ௔భ௕భ= ௔మ௕మ. 
2.2. Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ 
2.2.1. Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác 
định điều kiện cần 
 Trong phần này tôi xin trình bày các bài toán có chung một yêu cầu đó là tìm 
tham số để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Các phương trình đưa ra đều 
có một đặc điểm chung đó là nếu 2 là một nghiệm của phương trình thì ߙ− 2 cũng 
là nghiệm của phương trình đó. Lợi dụng đặc điểm đó mà ta có phương pháp 
chung để giải các bài toán này như sau: 
 Giả sử phương trình có nghiệm 2଴ lúc đó nó còn có một nghiệm khác là ߙ−2଴, do tính duy nhất nghiệm nên 2 nghiệm này phải bằng nhau, từ đây ta tính được 2଴. Thế 2଴ vào phương trình đầu để tìm tham số. Sau đó thế ngược những tham số 
tìm được vào phương trình đầu để giải. Nếu ứng với tham số nào mà phương trình 
không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm thì ta sẽ loại giá trị tham số đó. Những g