SKKN Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP 
VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ 
BÀI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP 
HIỆP HỊA THNG 1 NĂM 2012 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ: 
 Dựa vào phương pháp toạ độ do chính mình phát minh Descartes đã sáng lập 
ra môn hình học giải tích .Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng 
ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc này giúp ta bỏ đi thói quen tư 
duy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng của 
toán học và nhiều lĩnh vực khác. 
 Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là 
việc làm rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất. 
Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải một 
số bài toán sơ cấp ơ’ phổ thông. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
PHẦN I: LÝ THUYẾT 
I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG. 
1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông 
góc với nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị 1 2,e e  .Như vậy ta 
có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. 
2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy. 
Hạ MH vuông goc x’Ox và MK vuông góc y’Oy. Theo qui tắc hình bình 
hành, ta có: 
OM OH OK    
 1 2xe ye 
  
 Bộ hai (x, y) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ 
của điểm M, ký hiệu M(x, y). 
 Cho a
 
trên hệ trục. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a   . 
Gọi (x,y) là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x,y) gọi là toạ độ của véc tơ a trên 
hệ trục Oxy và ký hiệu là a = (x,y). 
3. Các phép tính véc tơ : 
Cho hai véc tơ 1 2 1 2, ,( ) ; ( )a a a b b b 
  
và k là một số thực. 
 Các phép tính véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một 
véctơ, tích vô hướng hai véc tơ được xác định như sau: 
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
( , )
( , )
. ( , )
.
a b a b a b
a b a b a b
k a ka ka
a b a b a b
  
  
 
  
4. Các công thức về lượng : 
Cho hai véc tơ 1 2 1 2; ;( ) ; ( )a a a b b b 
  
 và gọi là góc tạo bởi hai véctơ đó 
. .a b a b   khi và chỉ khi a và b là hai véctơ cùng hướng 
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
. ..cos
.
a b a ba b
a b a a b b
  
  
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = 0 là : 
2 2
( , ) o oAx By Cd M D
A B
5. Phương trình của đường thẳng, đường tròn . 
* Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0, y0) và nhận véctơ 
( , )n A B làm véc tơ pháp tuyến là: 
A(x – x0) + B(y – y0) = 0 
 * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 
= R 2 
II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. 
1. Định nghĩa : 
Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc 
với nhau đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các véc tơ đơn vị 1 2 3, ,e e e   . Như 
vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. 
2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ. 
Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz. Hạ MH vuông góc x’Ox, MK 
vuông góc y’Oy và ML vuông góc z’Oz. Theo qui tắc hình hộp, ta có : 
1 2 3
OM OH OK OL
xe ye ze
    
   
Bộ ba (x,y,z) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm 
M, ký hiệu M(x,y,z). 
 Cho a
 
. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a   . Gọi (x, 
y. z) là toạ độ của điểm M. Khi đó bộ ba (x, y, z) gọi là toạ độ của véc tơ a trên hệ 
trục Oxyz và ký hiệu là a = (x,y,z). 
3. Các phép tính véc tơ : 
Cho hai véc tơ 1 2 3 1 2 3, ,( , ) ; ( , )a a a a b b b b 
  
và k là một số thực. 
Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích 
vô hướng, tích có hướng hai vectơ được xác định như sau: 
1 2 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
( , )
( , )
. ( , )
.
. ( , , )
a b a b a b
a b a b a b
k a ka ka
a b a b a b
a a a a a a
a b
b b b b b b
  
  
 
  
  
4. Các công thức về lượng : 
Cho hai vectơ 1 2 3 1 2 3, ,( , ) ; ( , )a a a a b b b b 
  
 và gọi là góc tạo bởi hai 
vectơ đó 
. .a b a b   khi và ch ỉ khi a và b là hai vectơ cùng hướng 
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . ..cos
.
a b a b a ba b
a b a a a b b b
  
  
Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương 
1, 2 3( , )a a a a 
và điểm M. Giả sử ta tính được 1, 2 3( , )AM b b b  Khi đó khoảng cách từ 
điểm M đến đường thẳng (D) được tính là : 
2 2 2
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
2 2 2
1 2 3
( , )
a a a a a a
b b b b b b
d M D
a a a
5. Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. 
a. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0,y0,z0) và có cặp 
vectơ chỉ phương 1 2 3 1 2 3, ,( , ) ; ( , )a a a a b b b b 
  
là : 
2 3 3 1 1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
( ) ( ) ( ) 0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
b. Phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0,y0,z0) 
v à nhận vectơ 1 2 3,( , )a a a a  làm vectơ chỉ phương là: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
 (t là tham số) 
c. Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) và có bán kính R là : 
 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 
PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN 
III. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG: 
1. CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ: 
 Bài 1: Cho 4 số thực x1, x2, x3, x4. 
 chứng minh rằng (x12 +y12)(x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 
Giải: 
 Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : 1 1 2 2( , ); ( , )a x y b x y 
  
 Ta có 
22 2. ( . )a b a b a b a b     
 vậy (x12 +y12) (x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 
 đẳng thức xãy ra 1 2 2 1//a b x y x y 
  
 Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì 
 2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z 
Giải 
Bất đẳng thức can chứng minh tương đương với: 
3 3 3 32 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2 2 2 2 2 2 2 2
y z y zx y x z y z 
 Xét 3 điểm 3 3 3
2 2 2 2 2 2
( , ) ; (0, ) ; ( ,0)y y zA x z B y z C 
 (1) AB + AC > BC 
 Ta có AB AC BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây 
3
2 2
3
2 2
( , )
( , )
yAB x y
zAC x z
 
 
 Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể 
xãy ra đẳng thức AB + AC > BC. 
 Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. 
 Bài 3 Giải bất phương trình: 
 21 3 2( 3) 2 2(1)x x x x 
 Giải 
 Điều kiện 1x 
 Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: 
 ( 3, 1)
(1,1)
u x x
v
2( 3) 1
3
. 1 3
u x x
v
u v x x
 Suy ra bất phương trình (1) tương đương . .u v u v 
2
2
3 1
6 9 1
3
7 10 0
3
5
2
3
5
u v
x x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x
 
 Vậy x=5 là nghiệm duy nhất. 
Bài 4 
 Chứng minh rằng: 4 4cos 1 sin 1 cos2 ,x x x x R  
Giải 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: 
2
2
(cos ,1)
(cos2 ,0)
(sin ,1)
a x
a b x
b x
Khi đó, từ 
4 4cos 1 sin 1 cos2 ( )
a b a b
x x x dpcm
Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
2 2( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8y f x x x x x 
Giải 
Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ: 
(1 cos ,2)
(2 cos ,2)
a x
b x
Khi đó : 
2 2 2
2 2 2
2 2
(1 cos ) 2 cos 2cos 5
(2 cos ) 2 cos 4cos 8
3 4 5
a x x x
b x x x
a b
 từ a b a b 
 5y 
Dấu “=” xảy ra (chẳng hạn) tại 2
3
x 
Vậy miny=5 
Bài 6 : T ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2 2 2 22 2 2 2 ( )y x px p x qx q p q 
Gi ải 
 Ta c ó 2 2 2 2( ) ( )y x p p x q q 
 Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q). Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) 
thuộc Ox sao cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ nhất. 
 Xét hai trường hợp: 
- Nếu pq <0 thì A hoặc B trùng O, hoặc A,B nằm về hai phía đối với O .Khi đó 
(MA + MB) nhỏ nhất M trùng O, tức là 2 2min 2 2 2( )y p q p q đạt được 
khi x = 0 
- Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với 
Ox). Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : 
 ' 'MA MB MA MB A B 
Đẳng thức xãy ra A’, M, B thẳng hàng 
2 2
min
2 2
( )' '
( )
2
' ( ) ( )
2( )
x p k q pA M k A B
p k q p
pk
p q
pqx
p q
y A B p q p q
p q
  
 đạt được khi x = 2pq/(p+q) 
Bài 7 Giải phương trình: 
 2 2 22 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x 
 Giải 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: 
 ( 1,1) (3 2,5)
(2 3,4)
u x
u v x
v x
2
2
2
2 2
4 12 25
9 12 29
u x x
v x x
u v x x
 Suy ra phương trình (1) tương đương: 
 u v u v 
A 
A
B 
M O 
x 
y 
( 0)
1 (2 3)
1 .4
1
4
11 (2 3)
4
1
4
4 4 2 3
1
4
7
2
u kv k
x k x
k
k
x x
k
x x
k
x
 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7
2
x 
Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
 3 6 (3 )(6 )x x x x m 
Giải 
 Đặt 3 ; 6u x v x 
 Phương trình đã cho trở thành 
 2 2 2 2
1 10 2 (1)
9 9 (2)
0, 0 0, 0 (3)
u v mu v uv m
u v u v
u v u v
 - Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường 
phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và 
bán kính = 3 
 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm 
chung thoả điều kiện (3). 
Vậy Pt có nghiệm khi 
3 1 10 2 3 2
6 2 9 3
2
m
m
Bài 9: Chứng minh rằng: 
 2 21 1 2,a a a a a R  
 (Hướng dẫn) 
 Xét hai vectơ 
1 3,
2 2
1 3,
2 2
x a
y a
 
 2 21 2cos 1 2sinx x m 
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 2 2( ) cos 6cos 13 cos 2cos 2y f x x x x x 
 trên  2004 ,2006 
 (Hướng dẫn) 
 Xét hai vectơ 
 (3 cos ,2)
(1 cos ,1)
a x
b x
2. CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC : 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh góc vuông là bvà c, M là một 
điểm trên cạnh BC sao cho góc BAM = . Chứng minh rằng: 
 AM = 
.cos sin
bc
c b 
Giải 
 Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Khi đó A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) 
Từ định nghĩa: x = AM cos , y = AM sin . 
 Nên M(AM cos , AM sin ) 
Do M thuộc BC CM cùng phương v ới CB 
X 
x 
y 
c 
M 
y 
O 
B 
cos sin 0
( cos sin )
cos sin
AM AM
b c
AM c b bc
bcAM
c b
 Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường 
tròn ngoại tiếp lần lượt là , , ,a b cm m m R 
 Chứng minh: 9
2a b c
Rm m m 
 (Đại học y dược TPHCM năm2000) 
 Giải 
 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có: 
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
( ) 0
2( . . . ) 0
3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0
3 2(3 2sin 2sin 2sin ) 0
9sin sin sin
4
OA