SKKN Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh Bất Đẳng Thức và Tìm giới hạn của Hàm số - Trường Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt

Trong cuộc đời học sinh của mỗi người, thậm chí cả giáo viên chúng ta khi tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức đều quan tâm đến nguồn gốc xuất phát của bài toán chứng minh bất đẳng thức. Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tại sao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này “ ; “ Tại sao để tính giới hạn này người ta thêm bớt lượng này thì không được, nhưng thêm bớt lượng kia lại giải ra “. Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí của tôi và luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó.

Hình ảnh trực quan về tiếp tuyến của một đường cong là cơ sở để giải thích những câu hỏi đó của các em học sinh. Cũng từ đó đã nảy sinh ra việc nghiên cứu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số mà được gọi là phương pháp tiếp tuyến. Phương pháp này thể hiện được nguồn gốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số “ với mục đích cung cấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh và quan trọng hơn cả là giúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sáng tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản, từ những hình ảnh hết sức trực quan.

pdf 18 trang Huy Quân 28/03/2025 760
Bạn đang xem tài liệu "SKKN Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh Bất Đẳng Thức và Tìm giới hạn của Hàm số - Trường Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

Tóm tắt nội dung tài liệu: SKKN Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh Bất Đẳng Thức và Tìm giới hạn của Hàm số - Trường Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt

SKKN Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh Bất Đẳng Thức và Tìm giới hạn của Hàm số - Trường Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN 
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ 
TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - TRƯỜNG 
CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 
A.Phần mở đầu 
 Trong cuộc đời học sinh của mỗi người, thậm chí cả giáo viên chúng ta 
khi tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức đều quan tâm đến nguồn gốc xuất phát 
của bài toán chứng minh bất đẳng thức. Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng 
học sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tại 
sao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này “ ; “ Tại sao 
để tính giới hạn này người ta thêm bớt lượng này thì không được, nhưng thêm 
bớt lượng kia lại giải ra “. Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí của tôi 
và luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó. 
Hình ảnh trực quan về tiếp tuyến của một đường cong là cơ sở để giải 
thích những câu hỏi đó của các em học sinh. Cũng từ đó đã nảy sinh ra việc 
nghiên cứu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số 
mà được gọi là phương pháp tiếp tuyến. Phương pháp này thể hiện được nguồn 
gốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến 
để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số “ với mục đích cung 
cấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh và quan trọng hơn cả là 
giúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sáng 
tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản, từ những hình ảnh 
hết sức trực quan. 
 Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm 
giới hạn của hàm số là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một 
lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số, một nội dung 
mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặp 
rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải. Hi vọng phương pháp 
này sẽ xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới 
hạn hàm số của học sinh. Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đối 
tượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đang 
chuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướng 
sáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức và giới hạn hàm số. 
B.Phần nội dung 
1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức 
a.Cơ sở lí thuyết : 
Nếu y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0 0;A x f x ( A 
không phải là điểm uốn ), khi đó tồn tại ;  chứa 0x sao cho ( )f x ax b 
 ;x  hoặc ( )f x ax b ;x  . Đẳng thức xảy ra khi 0x x .Từ đây ta có 
 1 2 1 2... ( ... )n nf x f x f x a x x x nb hoặc 
 1 2 1 2... ( ... )n nf x f x f x a x x x nb với 1 2, ,..., ;nx x x  và đẳng thức 
xảy ra khi 1 2 0... nx x x x 
Nếu 1 2 ... nx x x k ( k không đổi ) thì 1 2 ... nf x f x f x ak nb hoặc 
 1 2 ... nf x f x f x ak nb với 1 2, ,..., ;nx x x  
b.Thực trạng vấn đề : 
Bất đẳng thức là một vấn đề rất quan trọng và khó đối với học sinh cấp 
trung học phổ thông. Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định 
phương pháp giải vì không có một phương pháp và đường đi rõ ràng. Có những 
cách giải từ trên trời rơi xuống. Học sinh không thể hiểu được vì sao người ta lại 
nghĩ ra được một bài toán như vậy, vì sao lại có một bài giải như vậy. Trong đề 
tài này tôi xin trình bày một phương pháp mà nếu học sinh không nắm được cơ 
sở lí luận đó thì sẽ không hiểu tại sao lại có một lời giải như vậy, và khi học sinh 
nắm được cơ sở lí luận của phương pháp này rồi thì việc sử dụng phương pháp 
này thật rõ ràng cụ thể, các em sẽ có thể tự chứng minh được một lớp các bất 
đẳng thức và có thể tự sáng tác ra các bài toán chứng minh bất đẳng thức. 
c.Các bước tiến hành 
Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc 
điểm từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạng 
các biến được cô lập dạng 1( ) ... nf x f x hoặc 1( ) ... nf x f x . Sau đó 
thực hiện theo các bước sau : 
 Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và điều mong ước là 1 0... nx x x 
 Dựa vào hình thức của BĐT, xét hàm số ( )f x , viết phương trình tiếp 
tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm có hoành độ 0x , giả sử phương 
trình tiếp tuyến là ( )y g x . 
 Viết 0( ) ( ) ( )
kf x g x x x h x , trong đó 0 0h x , 2,k k  , kiểm nghiệm 
( ) ( ) 0f x g x x D  hoặc ( ) ( ) 0f x g x x D  . 
 Từ đó đưa ra lời giải : ta có ( ) ( ) 0i if x g x hoặc 
( ) ( ) 0i i if x g x x D  , , 1,ix D i n 
 Cộng n bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh 
Các ví dụ làm rõ phương pháp 
Ví dụ 1: Cho , , 0a b c . CMR: 
2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2
8
2 2 2
a b c b a c c a b
a b c b a c c a b
Phân tích : Vì BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử 
1a b c . 
Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành ( ) ( ) ( )f a f b f c 8 với , ,a b c 0;1 
trong đó ( )f x = 
2
2
2 1 , 0;1
3 2 1
x x x
x x
. Dấu “=” của BĐT xảy ra khi a b c 1
3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 1
3
là : 
y 44
3
x 
Ta xét 4( ) 4
3
f x x 
= 
2
2
3 1 4 1
0 0;1
3 2 1
x x
x
x x
  
Vì vậy ta có lời giải sau: 
Vì BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử 1a b c . 
Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
8
2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )
a b c
a a b b c c
 , 
, ,a b c 0;1 , 1a b c 
Ta có 
2
2 2
1 44
2 (1 ) 3
a
a
a a
2
2
3 1 4 1
0 0;1
3 2 1
a a
a
a a
  
 2
2 2
1 44
2 (1 ) 3
b
b
b b
2
2
3 1 4 1
0 0;1
3 2 1
b b
b
b b
  
 2
2 2
1 44
2 (1 ) 3
c
c
c c
2
2
3 1 4 1
0 0;1
3 2 1
c c
c
c c
  
Cộng ba BĐT theo vế ta được 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )
a b c
a a b b c c
 4 4 8a b c 
Ví dụ 2:Cho , ,a b c 3
4
 và 1a b c . 
CMR: 2 2 2
9
1 1 1 10
a b c
a b c
Phân tích : 
Dấu “=” xảy ra khi 1
3
a b c 
Xét hàm ( )f x 2 1
x
x 
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 1
3
là 
y 36 3
50
x . 
Ta có 36 3( )
50
xf x = 
2
2
3 1 (4 3)
50 1
x x
x
30
4
x  
Vì vậy ta có lời giải sau : 
 2 1
a
a 
 36 3
50
a 
 = 
2
2
3 1 (4 3)
50 1
a a
a
30
4
a  
 2 1
b
b 
36 3
50
b 
 = 
2
2
3 1 (4 3)
50 1
b b
b
30
4
b  
2 1
c
c 
36 3
50
c 
 = 
2
2
3 1 (4 3)
50 1
c c
c
30
4
c  
Cộng ba BĐT ta được : 
 2 2 2
9
1 1 1 10
a b c
a b c
  , ,a b c 3
4
 và 1a b c 
Ví dụ 3:Cho , ,a b c >0 và 3a b c .CMR: a b c ab bc ca 
Phân tích : 
Dấu “=” xảy ra khi 1a b c 
BĐT 2 2 22 2 2 9a b c a b c 
Xét hàm 2( ) 2f x x x .Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )f x tại điểm có hoành 
độ 1 là 3y x . Ta có 
 2( ) 3 2 3f x x x x x = 21 2 0x x x x  0; 
Suy ra 2 2a a 2 2b b 2 2c c 9 Suy ra BĐT được chứng minh 
Bài tập rèn luyện: 
1.Cho các số thực , ,a b c >0 thỏa 1a b c .CMR: 
9
1 1 1 10
a b c
bc ac ab
HD: Ta có 
2
4
b c
bc
 , tương tự. 
Ta có sự đánh giá sau: 2 2 2
4 4 4
1 1 1 2 5 2 5 2 5
a b c a b c
bc ac ab a a b b c c
2.Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng 
1 1 1 9 1 1 14
a b c a b c a b b c c a
Phân tích: Ví BĐT là thần nhất nên không làm mất tính tổng quát ta có thể giả 
sử 1a b c . Khi đó BĐT có thể được viết lại : 
1 1 1 1 1 19 4
1 1 1a b c a b c
.Dấu “=”xảy ra khi a b c 1
3
Dẫn đến việc xét hàm ( )f x = 2
1 5x
x x
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có 
hoành độ 1
3
là 18 3y x .Ta xét 
 ( ) 18 3f x x = 
3 2
2
18 21 8 1x x x
x x
= 
23 1 2 1
(1 )
x x
x x
vì , ,a b c là độ dài của 3 cạnh tam giác , khi đó 1 a b c > 2a suy ra , ,a b c 10;
2
suy ra ( ) 18 3f x x 10 0;
2
x  
. 
Từ đó có lời giải bài toán như thế nào ? 
3.Cho , ,a b c >0.CMR: 
 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 5
b c a a c b b a c
b c a a c b b a c
Phân tích : Vì BĐT cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh 
BĐT đúng với mọi , ,a b c >0 và 1a b c 
BĐT được viết lại thành 
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 5
a b c
a a b c c
2 2 2
1 1 1 27
2 2 1 2 2 1 2 2 1 5a a b b c c
Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
3
Từ đó liên tưởng đến hàm ( )f x = 2
1
2 2 1x x 
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
hàm số tại điểm có hoành độ 1
3
 là 54 27
25
xy 
Ta xét ( )f x 54 27
25
x 
 = 
2
2
3 1 (12 2)
0 0;1
25 2 2 1
x x
x
x x
  
Từ đó ta có lời giải : 
 Vì BĐT cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh BĐT đúng 
với mọi , ,a b c >0 và 1a b c 
2
1
2 2 1a a 
54 27
25
a 
 = 
2
2
3 1 (12 2)
0 0;1
25 2 2 1
a a
a
a a
  
2
1
2 2 1b b 
54 27
25
b 
 = 
2
2
3 1 (12 2)
0 0;1
25 2 2 1
b b
b
b b
  
2
1
2 2 1c c 
54 27
25
c 
 = 
2
2
3 1 (12 2)
0 0;1
25 2 2 1
c c
c
c c
  
Cộng ba BĐT theo vế ta được 
2
1
2 2 1a a 
+ 2
1
2 2 1b b 
+ 2
1
2 2 1c c 
54 27
25
a 54 27
25
b 
54 27
25
c 
 = 27
5
4.Cho , ,a b c >0 . CMR: 2 2 2 2 2 21 3 1 1 1
3 3
a b c a b c a b c
a b c
Phân tích : Vì BĐT là cùng bậc nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử 
2 2 2 1a b c . 
Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành ( ) ( ) ( )f a f b f c 1 với , ,a b c 0;1 
trong đó ( )f x 1 3 1 , 0;1
3 3
x x
x
 . Dấu “=” của BĐT xảy ra khi a b c 1
3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 1
3
là : 
y 1 2 3 2 2 3
33
x 
Ta xét ( )f x 1 2 3 2 2 3
33
x = 
2
3 1 1 3
0 0;1
3 3
x
x
x
  
Vì vậy ta có lời giải sau: 
Vì BĐT là cùng bậc nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử 2 2 2 1a b c . 
Ta có 1 3 1
3 3
a
a
1 2 3 2 2 3
33
a = 
2
3 1 1 3
0 0;1
3 3
a
a
a
  
1 3 1
3 3
b
b
1 2 3 2 2 3
33
b = 
2
3 1 1 3
0 0;1
3 3
b
b
b
  
1 3 1
3 3
c
c
1 2 3 2 2 3
33
c = 
2
3 1 1 3
0 0;1
3 3
c
c
c
  
Cộng ba BĐT theo vế ta được 
( ) ( ) ( )f a f b f c 2 2 21 2 3 1 2 32 2 3 3 2 2 3 1
3 3
a b c a b c 
5. Cho , ,a b c  : 6a b c .CMR: 4 4 4a b c 3 3 32( )a b c 
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi 2a b c 
BĐT 4 3 4 3 4 32 2 2 0a a b b c c . 
Ta xét hàm 4 3( ) 2f x x x .Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại 
điể

File đính kèm:

  • pdfskkn_su_dung_phuong_phap_tiep_tuyen_de_chung_minh_bat_dang_t.pdf