SKKN Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học Lớp 7

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM 
YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI TOÁN 
HÌNH HỌC LỚP 7 
PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ 
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu 
tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý 
cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn 
đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục 
tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay. 
Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói 
chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là 
cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong 
cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. 
Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực 
cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ 
cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu 
tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy 
khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối 
tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là 
cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả 
năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn 
học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo 
viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận 
dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù 
hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng 
tư duy chủ động, sáng tạo. 
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, 
giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một 
phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy 
mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. 
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
I/ NHỮNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu 
không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp 
tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ 
dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy 
nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn 
và phức tạp. 
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho 
việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì 
việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài 
toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ ttieen. Hơn nữa, việc 
vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán 
dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ 
nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi 
học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như 
vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như 
vậy mới giải được bài toán?  gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo 
viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh 
không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ 
cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn 
đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả 
năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở 
của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu 
tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi 
các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động 
tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. 
II/ NHỮNG CƠ SỞ CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ. 
I - CƠ SỞ LÝ LUẬN. 
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một 
số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong 
chương trình THCS: 
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c. 
Giải: 
Cách dựng: 
- Dựng tia Ax. 
- Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax. 
- dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam 
giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a. 
- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được 
tam giác ABC. 
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước. 
Cách dựng: 
- Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta 
được DOAB. 
- Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được Oˆ'Oˆ = . 
c 
b 
a 
A x C 
B 
b 
a c 
x 
A 
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước. 
Cách dựng: 
- Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C. 
- Dượng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia phân giác phân 
giác của xAy. 
Thật vậy: DABD = DACD ( c- c- c) Þ 21 AˆAˆ = 
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước. 
Cách dựng: 
- Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm 
của CD và AB là trung điểm của AB. 
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước. 
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a 
cho trước. 
Cách dựng: 
- Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B. 
- Dựng đường trung trực của AB. 
 O’ 
A’ 
B’ 
x 
y 
z A 
B 
C 
D 
r 
r r 
r 
1 
2 
C 
D 
B A 
O 
B A 
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc 
lại cách dựng. 
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những 
đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện. 
 I - CƠ SỞ THỰC TẾ 
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng 
bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng 
minh hai tam giác bằng nhau. 
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta 
thường làm theo các bước sau: 
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) 
thuộc hai tam giác nào? 
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. 
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng 
bằng nhau. 
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có 
cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất 
hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra 
là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải 
toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã 
tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học 
sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả. 
PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ YÊÚ TỐ PHỤ. 
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất 
để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: 
CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC. 
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của 
cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H Î BC) thì DH = 4cm. 
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A. 
1) Phân tích bài toán: 
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. 
Vẽ DH vuông góc với BC( H Î BC) và DH = 4cm. 
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A. 
2) Hướng suy nghĩ: 
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy 
yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC. 
3) Chứng minh: 
GT DABC; AB = 10cm; A 
D 
BC = 12 cm; 
AB
2
1
DBDA == ; DH ^ BC 
DH = 4 cm 
KL D ABC cân tại A. 
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = 6BC
2
1
= cm. 
Lại có: BD = AB
2
1 = 5 cm ( do D là trung điểm của AB) 
Xét D HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 
Þ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 Þ BH = 3 ( cm) 
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm) 
Þ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 
3). 
Ta có: DH ^ BC, DH // AK Þ AK ^ BC. 
Xét D ABK và DACK có: 
· BK = KC ( theo cách lấy điểm K) 
· AKB = AKC = 900 
· AK là cạnh chung 
Þ D ABK = DACK (c – g – c) 
Þ AB = AC Þ D ABC cân tại A. 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam 
giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc 
chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường 
thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử 
ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương 
trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc 
chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài 
toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ. 
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có CˆBˆ= ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng 
cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác). 
!) Phân tích bài toán: 
Bài cho: tam giác ABC có CˆBˆ= ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC. 
2) Hướng suy nghĩ: 
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (IÎ BC) 
3) Chứng minh: 
GT DABC; CˆBˆ = 
KL AB = AC 
A 
1 2 
Vẽ tia phân giác AI của BAC (IÎ BC). 
Þ BAC
2
1
AˆAˆ 21 == . (1) Mà CˆBˆ = ( gt) 
Þ 21 IˆIˆ = (2) 
Xét D ABI và D ACI ta có: 
· 21 IˆIˆ = ( theo (2)) 
· Cạnh AI chung 
· 21 AˆAˆ = ( theo (1)) 
Þ D ABI = D ACI ( g – c – g) 
Þ AB = AC