SKKN Kinh nghiệm giải bài tập về chu kỳ của Con lắc đơn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TẬP VỀ 
CHU KỲ CỦA CON LẮC ĐƠN 
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
1.Khái niệm con lắc đơn. 
- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn, 
khối lượng không đáng kể, dài l. 
- Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương 
thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất. 
- Khi dao động của con lắc đơn với góc lệch nhỏ ( sinα a» (rad)), con lắc dao động điều hoà 
với chu kỳ: g
l
T p2=
Trong đó:l là chiều dài của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng trường tại vị trí đặt con lắc 
( đơn vị m/s2). 
2. Con lắc đồng hồ. 
- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có 
thể coi như dao động điều hoà của con lắc đơn. 
- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T (thường T =2s); trong một số trường hợp do nhiệt 
độ môi trường thay đổi và vị trí đặt con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai. Gọi chu kỳ chạy sai 
của đồng hồ là T2 (còn chu kỳ chạy đúng T =T1) và độ biến thiên chu kỳ là DT = T2 – T1. Nếu: 
+ DT> 0: T2 > T1: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm. 
+ DT< 0: T2 < T1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh. 
+ DT= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng. 
- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời giant : 
+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là: 1' nT=t . 
Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T2 trong khoảng thời giant : 2T
n
t
=
. 
+ Thời gian chạy sai: 12
'
T
T
T
T D
»
D
=-= ttttq
Nếu T2 thay đổi không đáng kể so với T1 thì: 1T
TD
» tq
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l. 
1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép. 
1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh . 
1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường. 
1.4/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng rất nhỏ lD 
Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo gia tốc trọng trường g. 
2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao. 
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu. 
2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc. 
Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng trường g. 
3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g. 
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng lD và thay đổi 
gia tốc g. 
Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có tác dụng của ngoại lực. 
4.1/ Lực đẩy Acsimet. 
4.2/ Lực điện. 
4.3/ Lực quán tính. 
Sử dụng một số công thức gần đúng: 
Nếue rất nhỏ so với 1 thì: ;1)1( ee nn +»+ ;1)1( ee nn -»- 2121 1)1)(1( eeee ±±»±± 
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l 
1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép. 
* Phương pháp: 
- Viết công thức tính chu kỳ T theo chiều dài l1;l2:( giả sử l2 >l1). 
g
l
T 11 2p=
g
l
T 22 2p= 
- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là 
g
l
T p2= 
l = l1+l2 Biến đổi ta được : 2221 TTT += 
l = l1- l2 Tương tự: 2221 TTT -= 
* Ví dụ: 
Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l1 dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T1 = 1,5s. Con lắc 
đơn chiều dài l2 cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T2 =0,9s. Tính chu kỳ của con 
lắc chiều dài l dao động điều hoà ở nơi trên với: l = l1+l2 và l = l1- l2 
Hướng dẫn: 
-Với l = l1+l2 Sử dụng công thức 2221 TTT += Thay số: sT 75,19,05,1 22 =+= 
-Với l = l1- l2 Sử dụng công thức 2221 TTT -= Thay số: sT 2,19,05,1 22 =-= 
Ví dụ 2: Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l’ 
sao cho chu kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài l’ bằng bao 
nhiêu lần chiều dài l ? 
Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l’ lần lượt là: 
g
l
T p21 = và g
l
T
'
2 2p= Tỷ số: 9,0%90
'
1
2 ===
l
l
T
T ll 81,0' =Þ 
Ví dụ 3: 
Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian tD , con 
lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong 
khoảng thời gian tD ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Xác định chiều dài ban đầu của 
con lắc ? 
Hướng dẫn: Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l1, l2 là T1;T2 
Xét trong khoảng thời gian tD như nhau thì: 60T1 = 50T2 
5
6
1
2
1
2 ==Þ
l
l
T
T 
25
36
1
2 =Þ
l
l 12 25
36
ll =Þ và l2 = l1 +44. 
Giải hệ được: l = 100 cm. 
1.2/Chu kỳ của con lắc vướng đinh . 
*Phương pháp: 
Một dao động toàn phần của con lắc bị 
vướng đinh gồm 2 giai đoạn: 
+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với 
chiều dài l và chu kỳ 
g
l
T p21 = . 
+ Giai đoạn còn lại nó dao động với 
chiều dài l’ (điểm treo con lắc là vị trí đinh) 
và chu kỳ 
g
l
T
'
2 2p= . 
Chu kỳ của con lắc là: )(
2
1
2
1
2
1
2121 TTTTT +=+= 
* Ví dụ: 
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây 
mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng 
α1 
l 
I 
α2 
của sợi dây có một chiếc đinh được đóng vào điểm O’ cách Q một đoạn O’Q = 50 cm sao cho 
con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà. 
a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s2 
b/Nếu không đóng đinh vào O’ mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì 
hiện tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn 
hồi) 
Hướng dẫn: a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O’ nằm trên phương 
thẳng đứng của dây treo nên mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn 
+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ s
g
l
T 2
8,9
1
221 === pp . 
+ Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l’ = OO’ =0,5m và chu kỳ 
s
g
l
T 4,1
8,9
5,0
22
'
2 === pp . 
Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là: )(
2
1
2
1
2
1
2121 TTTTT +=+= = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s 
b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên 
khi quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước 
lúc va chạm và vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn). 
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là: 
T = 1/2T1 = 1 s. 
*Ví dụ 1:Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc 
đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài 
a = 17.10-6K-1. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c. 
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi 
ngày chạy sai bao nhiêu? 
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 12 )2
1
1( TtT D+= a 
Thay số: 2)).2030(10.17
2
1
1( 62 -+=
-T = 2,00017 s 
+ Chu kỳ T2>T nên đồng hồ chạy chậm. 
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : t = 24.60.60 s là: 
t
T
T
D=
D
= attq
2
1
1
 = 24.3600.1/2.17.10-6 .10 = 7,34 s. 
Ví dụ 2: 
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con lắc có 
thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc 
a = 2.10-5K-1. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một 
tuần nó chay sai bao nhiêu? 
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh. 
Một tuần :t = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian: 
t
T
T
D=
D
= attq
2
1
1
 = 7.24.3600.1/2.2.10-5 .15 = 90,72 s. 
Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường 
tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ 
chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay 
đổi. 
Hướng dẫn: Vận dụng công thức: t
T
T
D=
D
= attq
2
1
1
Khi nhiệt độ tăng thêm300c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 11 602 t sq a= D = ; 
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên 2tD thoả mãn: 
0
2 2 2 1
1
45 3 / 4 11,25
2
t s t t cq a= D = Þ D = D = 
1.3.Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường. 
- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t1 
đến t2 thì chiều dài của dây được xác định bởi: ).1(12 tll D+= a 
với 12 ttt -=D : Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường; 
a : là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ). 
* Phương pháp: 
+ Công thức tính chu kỳ T1; T2 tương ứng với chiều dài l1, l2 của con lắc: 
g
l
T 11 2p= 
g
l
T 22 2p= 
+ Xét tỷ số: tt
l
tl
l
l
T
T
D+»D+=
D+
== aa
a
2
1
1)1(
)1(
2
1
1
1
1
2
1
2 12 )2
1
1( TtT D+=Þ a 
Và : t
T
TT
T
T
D=
-
=
D a
2
1
1
12
1
* Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ chạy 
chậm) và ngược lại. Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian t : 
t
T
T
D=
D
= attq
2
1
1
*Ví dụ 1: 
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây 
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài 
a = 17.10-6K-1. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c. 
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi 
ngày chạy sai bao nhiêu? 
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 12 )2
1
1( TtT D+= a 
Thay số: 2)).2030(10.17
2
1
1( 62 -+=
-T = 2,00017 s 
+ Chu kỳ T2>T nên đồng hồ chạy chậm. 
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : t = 24.60.60 s là: 
t
T
T
D=
D
= attq
2
1
1
 = 24.3600.1/2.17.10-6 .10 = 7,34 s. 
Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con 
lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc 
a = 2.10-5K-1. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một 
tuần nó chay sai bao nhiêu? 
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh. 
Một tuần :t = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian: 
t
T
T
D=
D
= attq
2
1
1
 = 7.24.3600.1/2.2.10-5 .15 = 90,72 s. 
Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường 
tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi n