SKKN Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán Bất Đẳng Thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH 
CÁCH TÌM TÒI LỜI GIẢI 
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN 
BẤT ĐẲNG THỨC 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) là 
chuyên đề chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, phong phú và cũng được coi 
là rất khó đối với học sinh. Bất đằng thức là một trong những bài toán được 
quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học- Cao 
đẳng. Vì vậy dạy cho học sinh giải toán bất đẳng thức đòi hỏi phải dạy cho 
các em cách tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết. Đa phần các bài toán về bất 
đẳng thức đòi hỏi ở học sinh tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt 
khi đi tìm cách giải. 
 Một số học sinh rất ngại khi gặp bài toán về bất đẳng thức, cái ngại ở 
đây không phải do khối lượng kiến thức nhiều mà thông thường học sinh 
không nắm được phương pháp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức vì 
các bài toán bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sử 
dụng các bất đẳng thức trung gian rất khó nghĩ tới nên phần lớn học sinh gặp 
rất nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Học sinh chỉ 
quen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán bất đẳng 
thức, khi điều này không khả thi thì lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, 
đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức trung gian. 
Trong những bài toán đơn giản việc áp dụng bất đẳng thức quen 
thuộc, các phương pháp thường gặp trong giải bài toán bất đẳng thức thì học 
sinh dễ tiếp cận. Song đối với những bài toán phức tạp thì vấn đề không đơn 
giản chút nào. Như vậy để có thể giải các bài toán về bất đẳng thức phức tạp, 
người giải toán cần có một phương pháp, một kỹ thuật sử dụng để chứng 
minh bất đẳng thức. 
Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiều 
học sinh say mê tìm tòi lời giải một cách sáng tạo. Với mong muốn giúp học 
sinh hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tôi xin trình 
bày một số bài toán minh họa trong việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi 
lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức. 
PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 
Với hai số không âm a, b ta có ( ) 1
2
a b
ab
+
³ 
Dấu đẳng thức xảy ra a bÛ = 
2. Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm 
Với ba số không âm a, b , c ta có 3
3
a b c
abc
+ +
³ 
Dấu đẳng thức xảy ra a b cÛ = = 
3. Tổng quát: Với các số không âm a1, a2, ...., an có 
1 2
1 2
...
...n n n
a a a
a a a
n
+ + +
³ 
 Dấu đẳng thức xảy ra 1 2... na a aÛ = = 
 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số. 
 ( )2 2 2 2 2( )( )ax by a b x y+ £ + + 
 Dấu “=” xảy ra khi ay – bx = 0 
PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA 
A. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG GIAN: 
Một số BĐT trung gian thường gặp: 
1. Chứng minh rằng: Nếu a ³ 0 và b ³0 thì a3+b3 ³ a2b + ab2. (1) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
Chứng minh: 
Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 
 Û a3+b3 - a2b - ab2 ³ 0 
 Û a2(a-b) – b2(a - b) ³ 0 
 Û (a-b)(a2 – b2) ³ 0 
 Û (a-b)2(a+b) ³ 0. 
BĐT sau cùng này luôn đúng với mọi a ³ 0 và b ³0 nên BĐT đã cho đúng 
với mọi a ³ 0 và b ³0. Dấu bằng xảy ra khi a = b. 
2. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: .411
baba +
³+ (2) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
Chứng minh: 
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là 
ba
1
,
1
 ta có: 
ababba
21
2
11
=³+ 
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: 2a b ab+ ³ . 
Nhân vế theo vế hai BĐT trên ta được BĐT 1 1 4( a b )( ) .
a b
+ + ³ 
Suy ra .
411
baba +
³+ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
3. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 
 2)(
41
baab +
³ (3) 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
Chứng minh: 
Ta có BĐT (3) 2 2 24 2 4( a b ) ab a ab b abÛ + ³ Û + + ³ 
. 2 2 22 0 0a ab b ( a b )Û - + ³ Û - ³ . Đây là BĐT đúng. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
cbacba ++
³++
9111
 (4) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 
Chứng minh: 
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương là 
cba
1
,
1
,
1
 và a, b, c ta được: 
3
1 1 1 1
3. ,
a b c abc
+ + ³ 33.a b c abc+ + ³ . Nhân vế theo vế của hai 
BĐT trên ta được: ( ) 1 1 1 9a b c
a b c
æ ö÷ç+ + + + ³÷ç ÷çè ø
1 1 1 9
a b c a b c
Û + + ³
+ +
. Đây là BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra 
khi và chỉ khi a = b = c 
. 
Bây giờ ta sẽ sử dụng bất đẳng thức trung gian để chứng minh một số BĐT 
phức tạp khác. Lưu ý rằng phải chứng minh các BĐT này trước khi dùng. 
Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 
3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
a b c.
ab bc ca
+ + +
+ + ³ + + 
Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1) 
Bài giải: Ta sẽ sử dụng BĐT (1) như sau: 
Ta có a3+b3 ³ a2b + ab2 Û a3+b3 ³ ab(a+b) Û 
3 3
2 2
a b a b
 (1.1)
ab
+ +
³ 
Tương tự ta cũng có: 
3 3 3 3
2 2 2 2
b c b c c a c a
, (1.2) (1.3)
bc ca
+ + + +
³ ³ . 
Cộng theo từng vế các BĐT (1.1), (1.2), (1.3) lại với nhau ta được BĐT cần 
chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
 Bài toán 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
 .
1111
333333 abcabcacabccbabcba
£
++
+
++
+
++ 
Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1) 
Bài giải : Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 Û a3+b3 + abc ³ a2b + ab2 +abc 
 Û a3+b3 + abc ³ ab(a+b+c) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
Từ đó ,
)()(
11
33 cbaabc
c
cbaababcba ++
=
++
£
++
 Tương tự ta có: 
3 3 3 3
1 1
; ;
( ) ( )
a b
b c abc abc a b c c a abc abc a b c
£ £
+ + + + + + + +
Cộng các BĐT này lại với nhau theo từng vế ta được BĐT cần chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
Bài toán 3: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: 
 )
2
1
2
1
2
1
2
1
(4
1111
badadcdcbcbadcba ++
+
++
+
++
+
++
³+++ 
Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 3, ta nghĩ ngay đến BĐT (2) 
Bài giải: Ta áp dụng BĐT (2) như sau: 
1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1
4( )
a b a c a b a c a b a c a b a c
+ + + ³ + Û + + + ³ +
+ + + +
. 
2 1 1 1 1 16
4
2
( )
a b c a b a c a b c
Û + + ³ + ³
+ + + +
 Tương tự ta có: 
 2 1 1 16
2
;
b c d b c d
+ + ³
+ +
2 1 1 16
2
;
c a d c a d
+ + ³
+ +
2 1 1 16
2d a b d a b
+ + ³
+ +
. 
Cộng các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 
Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
cbacbacbaaccbba ++
+
++
+
++
³
+
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
. 
Bài giải: 
Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT trên như sau: 
 Ta có: 
cbacbabacbabacbaba ++
³
++
+
+
Û
++++
³
++
+
+ 2
2
2
1
3
1
23
4
2
1
3
1
. 
Tương tự ta cũng có: 
1 1 2 1 1 2
3 2 2 3 2 2
; 
b c a b c a b c c a b a c b a c
+ ³ + ³
+ + + + + + + + + +
. 
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh. 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
Bài toán 5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
2)(
3
)2)(2(
1
)2)(2(
1
)2)(2(
1
cbaacabcacbbcba ++
³
++
+
++
+
++
Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3) 
Bài giải: Ta vận dụng BĐT (3) cho 2 số dương là 2a+b và 2c+b ta có: 
2
22
)(
1
)2)(2(
1
)222(
4
)2)(2(
1
)22(
4
)2)(2(
1
cbabcba
cbabcbabcbabcba
++
³
++
Û
++
³
++
Û
+++
³
++
Tương tự ta có: 
2
2
)(
1
)2)(2(
1
,
)(
1
)2)(2(
1
cbaacab
cbacacb
++
³
++
++
³
++
. 
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. 
Bài toán 6: Cho a, b, c ,d là các số dương. Chứng minh rằng: 
dcbacbda
db
dcba
ca
+++
³
++
+
+
++
+ 4
))(())((
. 
Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3) 
Bài giải: Ta áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d, ta có: 
22 )(
)(4
))(()(
4
))((
1
dcba
ca
dcba
ca
dcbadcba +++
+
³
++
+
Û
+++
³
++
. 
Tương tự áp dụng cho 2 số dương a+d và b+c ta có: 
2)(
)(4
))(( dcba
db
cbda
db
+++
+
³
++
+
. 
Cộng vế theo vế 2 BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh. 
Bài toán 7: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 
3 2 12a b
a b c d ( a c )( b d ) a b c d
+
+ + ³
+ + + + + + +
. 
Bài giải: 
Ta có: 
( )[ ]
))((
1
)3322(
))((
1
)(32
23
dcba
dcba
dcba
dcba
dcba ++
+++=
++
+++=
+
+
+
Áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d ta có: 
22 )(
)3322(4
))((
1
)3322(
)(
4
))((
1
dcba
dcba
dcba
dcba
dcbadcba +++
+++
³
++
+++Û
+++
³
++
. 
Do đó: 2)(
12128823
dcba
dcba
dcba +++
+++
³
+
+
+
. 
Tương tự ta cũng có: 2)(
)(4
))(( dcba
ba
dbca
ba
+++
+
³
++
+
. 
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần 
chứng minh. 
Bài toán 8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 
cbaaccbba ++
³
+
+
+
+
+
3
2
1
2
1
2
1
. 
Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 8, ta nghĩ ngay đến BĐT (4) 
Bài giải: 
Áp dụng BĐT (4) cho 3 số dương là 2a+b, 2b+c, 2c+a, ta có: 
1 1 1 9
2 2 2 2 2 2a b b c c a a b b c c a
+ + ³
+ + + + + + + +
1 1 1 9
2 2 2 3a b b c c a ( a b c )
Û + + ³
+ + + + +
1 1 1 3
2 2 2a b b c c a a b c
Û + + ³
+ + + + +
Đây là BĐT cần chứng minh. 
Bài toán 9: 
 Chứng minh: S = ( )
2 2 2
5 5 5
9
, , 0
a c b a c b
a b c
b c a ab bc ca
+ + ³ >
+ +
Phân tích: Từ BĐT cần chứng minh, ta nghĩ đến bất đẳng thức: 
 1 1 1 9
ab bc ca ab bc ca
æ ö+ + ³ç ÷ + +è ø
 với a, b, c > 0, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b 
= c 
Vậy ta phải chứng minh: S =
2 2 2
5 5 5
1 1 1a c b a c b
b c a ab bc ca
+ + ³ + + 
Bài giải: 
 Theo bất đẳng thức Cô-si 
2
5 2
2
5 2
2
5 2
1 1 3
 (9.1)
1 1 3
 (9.2)
1 1 3
 (9.3)
a c
b ac ab b
b a
c ab bc c
c b
a ac bc a
+ + ³
+ + ³
+ + ³
 cộng vế theo vế 3 BĐT (9.1), (9.2), (9.3) lại 
ta được: 2 2 21 1 1 1 1 12 3S ab bc ca a b c
æ ö æ ö+ + + ³ + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 (9.4) 
Áp dụng BĐT Cô-si : 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 21
( ) ( ) ( )
a b b c c a ab bc ca
+ + + + + ³ + + 
2 2 2
1 1 1 1 11
a b c ab bc ca
Û + + ³ + + (9.5) 
Từ