Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO 
HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG 
TRÌNH ĐỐI XỨNG 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ : 
 Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến 
thức đã học và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết. 
Việc làm đó thể hiện được sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa 
các vấn đề phức tạp với mục đích giúp cho học sinh hiểu được bài và vận dụng 
nó vào giải bài tập. 
Trong chương trình toán ở trường phổ thông hiện nay, trong sách giáo 
khoa lớp 10 có trình bày việc giải các hệ phương trình đại số rất đơn giản và 
thời lượng cũng còn quá ít. Trong khi đó khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi 
các cấp hay thi vào đại học thì lại gặp một vấn đề có thể nói là phức tạp, học 
sinh rất lúng túng khi giải các bài toán này. Tuy nhiên nếu nắm vững tốt về các 
phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán một kỹ năng, kỹ xão 
nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có cả sự 
khéo léo trong khi biến đổi để đưa bài toán phức tạp về lớp các bài toán đã biết 
cách giải. 
Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là 
vô hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Rèn luyện kỹ năng 
cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng " qua thực hiện dạy chương trình tự 
chọn của môn toán lớp 10 nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ 
hữu hiệu để các hệ phương trình và phương trình đại số. 
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN : 
Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để phân loại 
và nhận dạng khi thực hiện giải các hệ phương trình đối xứng, trong mỗi loại 
hệ phương trình đối xứng loại 1 hay loại 2, tôi phân chia thành ba dạng toán 
như sau: 
Dạng 1 : Giải hệ phương trình: 
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm 
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình 
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp khối 10 trường THPT và các lớp bồi 
dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy việc phân chia dạng như trên là hợp lý, 
lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra phương pháp chứng minh được bất 
đẳng thức bằng cách áp dụng phương pháp này vào việc giải toán, từ đó làm 
nền tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học và Cao 
đẳng sau này. 
 Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị 
bài tốt trước khi đến lớp đồng thời phải biết tích cực, tự giác học tập, phải biết 
suy nghĩ tìm tòi và sáng tạo. Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết 
phân tích đề bài, từ đó đi tìm tòi lời giải đúng và sáng tạo, ngắn gọn. Muốn làm 
tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án theo hướng tích cực hoá hoạt động 
học tập, cụ thể tiến hành theo các bước: 
I. BƯỚC CHUẨN BỊ : 
1) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt: 
Vạch ra mục tiêu của bài dạy, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị 
trước, lập phương án kiểm tra nội dung kiến thức dùng cho tiết ôn tập. 
2)Chọn bài tập mẫu : 
Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với các đối tượng 
học sinh nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện tư duy 
thuật toán hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh . 
3/Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò: 
Cần phải phân bố thời gian phù hợp với mỗi bài tập. Dự kiến thời gian 
cho mỗi học sinh giải bài tập trên bảng. 
4) Bước chuẩn bị của trò và thầy : 
4.1) Chuẩn bị của trò : Các kiến thức cần nắm 
4.1.1 Định lý Viét: 
· Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: 
1 2
1 2
.
ì = + = -ïï
í
ï = =
ïî
b
S x x
a
c
P x x
a
· Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 thỏa mãn 1 2+ =x x S và 1 2. =x x P thì x1, x2 
là nghiệm của phương trình bậc hai; X2 - SX + P = 0. 
4.1.2 Hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn x và y: 
1. Phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng nếu thay x bởi y; y 
bởi x thì phương trình không thay đổi. 
2. Hệ phương trình đối xứng theo hai ẩn số x, y là hệ phương trình khi ta 
thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi. 
3. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại 
một nếu trao đổi vai trò của x, y thì mỗi phương trình hệ này trở thành chính 
nó(không thay đổi) 
Dấu hiệu nhận biết: ( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=ì
í =î
, trong đó ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=ì
í =î
4. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại hai 
nếu trao đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình 
kia của hệ. 
Dấu hiệu nhận biết: ( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=ì
í =î
, trong đó ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y g y x
g x y f y x
=ì
í =î
. 
4.2)Chuẩn bị của thầy: 
 * Phiếu học tập và phiếu trả lời cho học sinh. 
 * Giấy A 2 cho 4 nhóm học sinh hoạt động 
 * Giáo án và các dụng cụ có liên quan. 
 * Phiếu học tập về các bài tập đề nghị để học sinh tự làm thêm bài 
tập ở nhà 
 * Bảng tóm tắt phương pháp giải toán cụ thể: 
Hệ phương trình đối xứng loại 1 
Dạng 1: Giải phương trình: 
Phương pháp giải chung: 
· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 
· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 4³S P . 
· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P 
rồi dùng Viét đảo tìm x, y. 
Chú ý: 
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. 
+ Nếu ( )0 0;x y là nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1, thì 
( )0 0;y x cũng là nghiệm tương ứng. 
+ Nếu hệ phương trình đối xứng loại 1 có nghiệm duy nhất thì theo trên 
ta được 0 0x y= . 
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. 
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn 
phụ. 
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm 
Phương pháp giải chung: 
· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 
· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 4S P³ 
(*). 
· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P 
theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. 
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm 
chính xác điều kiện của u, v. 
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình. 
Phương pháp giải chung: 
Chọn ẩn số phụ u và v thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng. 
CÁC BÀI TẬP MẪU: 
Dạng 1 : Giải hệ phương trình: 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
30
35
+ =ì
í
+ =î
x y xy
x y
. 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
3 3
( ) 2
2
- = -ì
í
- =î
xy x y
x y
. 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
ì + + + =ïï
í
ï + + + =
ïî
x y
x y
x y
x y
. 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
2 2 2 8 2 (1)
4 (2)
ì + + =ï
í
+ =ïî
x y xy
x y
. 
Dụng ý: 
Ø Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng. 
Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải hệ phương trình đối 
xứng 
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình 
về hệ phương trình đối xứng loại 1. 
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để 
biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y 
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm 
Phương pháp giải chung: 
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 4S P³ (*). 
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi 
từ điều kiện (*) tìm m. 
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm 
chính xác điều kiện của u, v. 
Bài tập : 
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình 
sau có nghiệm thực: 1
1 3
+ =ì
í
+ = -î
x y
x x y y m
. 
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 
2 2 3 9
+ + =ì
í
+ = -î
x y xy m
x y xy m
 có nghiệm 
thực. 
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4
3
- + - =ì
í
+ =î
x y
x y m
 có nghiệm 
thực. 
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 
2 2 4 4 10
( 4)( 4)
+ + + =ì
í
+ + =î
x y x y
xy x y m
 có 
nghiệm thực. 
Ví dụ 5. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y m
x y
+ = +ì
í
+ =î
 có đúng hai 
nghiệm thực. 
Ví dụ 6. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 
2
2 1
( )
x y xy m
xy x y m m
+ + = +ì
í
+ = +î
 có nghiệm 
duy nhất. 
Dụng ý : 
Ø Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng. 
Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tìm điều kiện của tham số 
để hệ phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có 
nghiệm duy nhất. 
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình 
về hệ phương trình đối xứng loại 1. 
Ø Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để 
biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y 
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình 
Ví dụ. Giải phương trình: 3 3 31 
2
+ - =x x . 
Dụng ý: 
Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng đặt ẩn số phụ để đưa một 
phương trình đại số vế hệ phương trình đối xứng, thông qua đó 
để giải một số phương trình đại số phức tạp. 
Hệ phương trình đối xứng loại 2: 
Phương pháp giải chung: 
· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 
· Bước 2: Lấy (1) - (2) hoặc (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0. Khi 
đó ta được x-y=0 hoặc g(x,y)=0. 
+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được 
nghiệm. 
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm 
(trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông 
thường vô nghiệm. 
CÁC BÀI TẬP MẪU: 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
= +ìï
í
= +ïî
x x y
y y x
 (I) 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
4
4
1 1
1 1
ì + - =ï
í
+ - =ïî
x y
y x
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình 
2
2
= - +ì
í
= - +î
x y y m
y x x m
 (I) 
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. 
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 31 2 2 1+ = -x x . 
II.BƯỚC SOẠN GIẢNG: 
Ngày soạn:  
Ngày dạy: . 
Tiêt PPCT : 28,29 
Tên bài : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
( Chuyên đề tự chọn Toán 10 – Nâng cao) 
A> Mục tiêu bài dạy: 
 1. Kiến thức : Hiểu và nhận biết được hệ phương