Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập Mạch cầu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 
MẠCH CẦU 
Mục lục 
Nội dung Trang 
Đặt vấn đề 2 
Phần I: Lý thuyết cơ bản 3 
A. Sơ đồ mạch điện 3 
B. Phân loại 3 
Phần II: Các ví dụ – Khai thác phương pháp giải 3 
C. Mạch cầu cân bằng 3 
I. Tính chất của mạch cầu cân bằng 3 
II. Một số ví dụ và phương pháp giải 4 
D. Mạch cầu không cân bằng 6 
I. Mạch cầu có một điện trở bằng 0 6 
II. Mạch cầu có hai điện trở bằng 0 8 
III. Mạch cầu có ba điện trở bằng 0 9 
IV. Mạch cầu tổng quát 10 
Phần III. Kết luận 16 
A - Đặt vấn đề 
Khi học sinh đã có một khối lượng kiến thức đáng kể về 
phần dòng điện không đổi thì việc rèn kĩ năng áp dụng các định 
luật về dòng điện không đổi và nâng cao kiến thức có tính hệ thống 
khá sâu, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là hết sức cần thiết . 
Việc giải bài tập về mạch cầu đáp ứng được những vấn đề nêu trên. 
Ngoài ra, trong một số năm học vừa qua việc thi chọn học sinh 
giỏi các cấp và thi vào các trường chuyên cũng thường xuyên đề cập 
đến dạng bài tập này. Xuất phát từ thực tế giảng dạy, đặc biệt là việc 
bồi dưỡng học sinh giỏi tôi mạnh dạn đưa ra các tình huống và phương 
pháp giải bài tập mạch cầu. Qua đây tôi cũng hy vọng giúp học sinh 
hiểu được một cách có hệ thống về mạch cầu, góp phần nâng cao chất 
lượng giảng dạy. 
Nội dung đề tài gồm 3 phần: 
Phần I: Lý thuyết cơ bản 
Phần II: Các ví dụ – Khai thác phương pháp giải 
Phần III: Kết luận 
Phần I: Lý thuyết cơ bản 
A – Sơ đồ mạch điện 
Các điện trở R1; R2 ; R3; R4 gọi là các cạnh của mạch cầu. Điện trở R5 có 
vai trò khác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu. 
B – Phân loại 
Người ta phân mạch cầu thành hai loại: Mạch cầu cân bằng và mạch cầu 
không cân bằng. 
- Khi đặt vào A và B một hiệu điện thế U 0. 
Nếu dòng điện qua R5 = 0 được gọi là mạch cầu cân bằng. 
Nếu I5 0. thì được mạch cầu không cân bằng. Mạch cầu không cân bằng 
được phân thành hai loại. 
+ Loại có 1 trong 5 điện trở bằng 0 
+Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ 5 điện trở. 
Phần II: Một số ví dụ và phương pháp giải 
C. Mạch cầu cân bằng 
I. Tính chất của mạch cầu cân bằng. 
1. Về cường độ dòng điện. 
- Theo hàng ngang, các dòng điện đều bằng nhau. 
I1 = I2; I3 = I4 (1) 
- Theo cột dọc, các cường độ dòng điện tỉ lệ nghịch với điện trở của chúng. 
1 3
3 1
I R
I R
 ; 2 4
4 2
I R
I R
 (2) 
2. Về hiệu điện thế. 
- Theo cột dọc, các hiệu điện thế bằng nhau. 
U1 = U3; U2 = U4 (3) 
- Theo hàng ngang, các hiệu điện thế tỉ lệ với điện trở của chúng. 
1 1
2 2
U R
U R
 ; 3 3
4 4
U R
U R
 (4) 
2. Về điện trở . 
Từ (1) và (2) hoặc từ (3) và (4) ta có công thức cầu cân bằng: 
 1 3
2 4
R R
R R
 (5) 
Chú ý : Công thức (5) được lập ngay trên hình vẽ của mạch cầu, trong đó 4 điện 
trở có vị trí như các trung tỉ và ngoại tỉ của một tỉ lệ thức. 
 Khi mạch cầu đã cân bằng thì bỏ qua R5 để tính điện trở tương đương của 
mạch cầu. 
II. Một số ví dụ và phương pháp giải 
1. Ví dụ 1. 
Cho mạch điện như hình vẽ. 
Biết rằng: R1 : R2 : R3 = 1 : 2: 3 ; 
I = 1A; U4 = 1V; I5 = 0. Tìm R1; 
R2 ; R3; R4 ; R5 ; RAB. 
Bài giải: 
Do I5 = 0 nên đây là mạch cầu cân bằng. 
Ta có: 1 3
2 4
R R
R R
 = 1
2
Tại nút A: I1 + I3 = I = 1A; 1 3
3 1
I R
I R
 = 3 
 I1 = 
3
4
(A); I3 = I4 = 
1
4
(A); I2 = 
3
4
(A) 
R4 = 4
4
U
I
= 4 ( ) 
R3 = R4/2 = 2 ( ) ; R1 = R3/3 = 2/3 ( ) 
R2 = 2 R1 = 4/3( ) 
R5 tuỳ ý vì I5 = 0 
 1 2 3 4
1 2 3 4
AB
R R R R
R
R R R R
= 1,5 ( ) 
Nếu bỏ qua R5, mạch còn (R1 nt R2) // (R3 nt R4) 
Hoặc có thể tính 4 3 4 3 3
1
1 .2
4 1,5( )
1
AB
AB
U U U U I R
R
I I I
  
2. Ví dụ 2: (Thi HSG tỉnh Hưng Yên 2001 – 2002) 
 Cho mạch điện như hình vẽ, hiệu điện thế giữa hai đầu M, N của đoạn 
mạch không đổi U = 7V. Các điện trở R1 = 3  ; R2 = 6  . PQ là một dây dẫn 
dài 1,5 m, tiết diện không đổi S = 0,1mm2 , điện trở suất = 4. 10-7  m. 
a. Tính điện trở của dây dẫn PQ. 
b. Dịch chuyển con chạy C tới vị trí sao cho chiều dài PC = CQ/2. Tính chỉ số 
của am pe kế. 
Bài giải: 
a. S = 0,1mm2 = 0,1. 10-6 m2. 
áp dụng công thức: 7
6
1,5
4.10 . 6( )
0,1.10
l
R
S
  
b. Nếu học sinh không được trang bị kiến thức về mạch cầu cân bằng thì bài 
toán cũng vẫn giải được, song gặp nhiều khó khăn và rất dễ nhầm lẫn. 
 Ta chỉ cần nhận xét: 
PC
PC
1
 ; R 6
2
R 2 ; 4
1
 (1)
2
CQ
CQ
PC
CQ
PC CQ R
R
R
R
  
Mà 1
2
1
 (2)
2
R
R
Từ (1) và (2) 1
2
PC
PQ
RR
R R
 Mạch cầu cân bằng Số chỉ của ampe kế 
bằng 0 
 IA = 0 (A). 
D. Mạch cầu không cân bằng 
I. Mạch cầu có một điện trở bằng 0 (một trong bốn cạnh của mạch cầu bằng 0). 
a. Ví dụ 1: 
Cho mạch điện như hình vẽ: 
Trong đó : UAB = 2V; R2 = R3 = 
1,5  ; R4 = 2  ; R5 = 3  . 
Tìm cường độ dòng điện qua các 
điện trở. 
* Phương pháp giải: Vẽ lại sơ đồ mạch điện theo nguyên tắc. Những điểm có 
cùng điện thế chập lại với nhau. 
Bài giải: 
Chập A với M, ta có mạch điện như sau: 
2
2
3 5
3 5
4
( )
3
3.1,5
1( )
3 1,5
1 2 3( )
AN
ANB AN NB
U
I A
R
R R
R
R R
R R R
 
 
4 3,5
5
5
3 4 5
2 2
.1 ( )
3 3
2
23 ( )
3 9
5
2 2 4
( )
3 9 9
ANB
AN
U
I I A
R
U
I A
R
I I I A
Hoặc 3
3
2
43 ( )
1,5 9
ANUI A
R
b. Ví dụ 2: Mạch cầu có điện trở đường chéo bằng 0. 
 Cho mạch điện như hình vẽ: 
Trong đó điện trở của ampe kế : 
RA= 0; R1 = R3 = 2  ; R2 = 1,5 
 ; R4 = 3  ; UAB = 1V. Tìm 
cường độ dòng điện qua các điện 
trở và số chỉ của ampe kế. Chốt 
(+) của ampe kế mắc vào đâu? 
Bài giải 
 Do RA = 0 nên chập M và N, ta có sơ đồ mạch điện như sau: 
Phân tích mạch: 
(R1 // R3) nt( R2 // R4) 
1 3
13
1 3
2 4
24
2 4
13 24
. 2.2
1
2 2
. 3.1,5
1
3 1,5
1 1 2AB
R R
R
R R
R R
R
R R
R R R
 
 
 
13 24
1
2
AB
AB
U
I A I I
R
3 1
1
2 4
I
I I A (Vì R1 // R3 U1= U3 mà R1 = R3) 
U2 = U4 = U24 = I24. R24 = 1/2 . 1 = 0,5 (V) 
2
2
2
4 24 2
0,5 1
1,5 3
1
6
U
I A
R
I I I A
Vì I2 > I1nên dòng điện qua ampe kế chạy từ N đến M . 
Vậy chốt (+) của ampe kế mắc ở N. 
Số chỉ của ampe kế là : IA = I2 – I1 = 1/12 (A). 
* Chú ý: 
- Lúc đầu chưa thể xác định được chiều của dòng điện qua ampe kế. 
- Phải dùng cả hai sơ đồ, vì trong sơ đồ tương đương ta phải tạm bỏ nhánh 
của RA. 
- Dòng qua ampe kế (tổng quát hơn là nhánh có điện trở bằng 0) chỉ được 
tính qua các dòng liên quan ở nút vào N hoặc nút ra của ampe kế. 
II. Mạch cầu có hai điện trở bằng 0. 
a. Phương pháp giải: 
- Vẽ lại sơ đồ mạch điện. 
- Kết hợp sơ đồ gốc ban đầu và sơ đồ tương đương. 
- áp dụng định luật về nút. 
b. Ví dụ 1: 
cho mạch điện như hình vẽ: 
RA1 = RA2 = 0; R2 = 2  ; ; R3 = 3  ; R5 = 6  ; UAB = 2 V . Hỏi số chỉ của 
ampe kế ? 
Bài giải: 
Do RA1 = RA2 = 0 nên chập A với M, chập B với N ta được sơ đồ tương 
đương. 
Dựa vào sơ đồ tương đương ta được: 
Dựa vào sơ đồ gốc: Tại nút A: I = IA1 + I3 
 IA1 = I - I3 = 4/3 (A) 
Tại nút B: I = IA2 + I2 
 IA2 = I - I2 = 1 (A) 
Vậy số chỉ của ampe kế A1 là : IA1 = 4/3 (A) 
Vậy số chỉ của ampe kế A2 là : IA2 = 1 (A) 
Chú ý: 
Nên dựa vào nút A và B sẽ tránh được nhầm lẫn. Có thể dựa vào nút M để 
tính IA1 , nút N để tính IA2 nhưng phải xác định đúng chiều của I5. 
b. Ví dụ 2: 
Cho mạch điện như hình vẽ: 
Trong đó RA1 = RA2 = 0; R2 = 3  ; R4 = 6  ; R5 = 1 ; UAB = 2 V . Tìm 
cường độ dòng điện qua các điện trở và số chỉ của ampe kế ? 
Bài giải: 
Do Do RA1 = RA2 = 0 nên chập A, M, N Khi đó không có dòng điện qua R5 (Vì 
UMN = 0), ta được sơ đồ tương đương. 
2 4 2 4
2 4
2 1
; ;
3 3
U U
I A I A I I I
R R
Trở về sơ đồ gốc, ta có : 
 IA1 = I2 = 2/3 (A) ( Vì I5 = 0) 
IA2 = I4 = 1/3 (A) 
III. Mạch cầu có ba điện trở bằng 0. 
a. Phương pháp giải: 
 - Giống như trường hợp mạch cầu có hai điện trở bằng 0 nhưng có thêm điều 
kiện dòng điện qua điện trở R5 là I5 0. 
b. Ví dụ: 
 Cho mạch điện trở như hình vẽ: 
 R4 = 1  ; R5 = 2 ; RA1 = RA2 = 
RA3= 0 ; UAB = 1 V . Ampe kế A3 chỉ 
0,1 A. Hỏi ampe kế A1 và A2 chỉ bao 
nhiêu? 
Bài giải: 
 Vì Ampe kế A3 chỉ 0,1 A nên phải 
hiểu điện trở của các ampe kế nhỏ 
không đáng kể, chứ không phải bằng 0. 
 Ta có sơ đồ mạch điện tương đương. 
 Cường độ dòng điện qua R4 và R5 
lần lượt là: 
5 4
5 4
1 1
; 1
2 1
U U
I A I A
R R
I = I4 + I5 = 3/2 (A) 
Trở lại sơ đồ gốc: 
+ Nếu dòng qua A3 chạy từ M đến N thì: 
IA1 = IA3 + I4 = 0,1 + 1 = 1,1 (A) 
IA2 =I 5 - IA3 = 0,5 – 0,1 = 0,4 (A) 
+ Nếu dòng qua A3 chạy từ N đến M thì: 
IA1 = I4 – I3 = 1 - 0,1 = 0,9 (A) 
IA2 =I 5 + IA3 = 0,5 + 0,1 = 0,6 (A) 
IV. Mạch cầu tổng quát. 
- Mạch cầu không cân bằng không thể có 4 điện trở bằng 0. Vì khi đó sẽ 
xảy đoản mạch. 
a. Phương pháp giải. 
 Có ba phương pháp giải mạch cầu tổng quát: Phương pháp điện thế nút, 
phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là cường độ dòng điện và phương 
pháp chuyển mạch sao – Tam giác. 
b. Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Cho mạch điện như hình vẽ, có 
R1 = 1  ; R2 = 1 ; R4 = 3  ; 
R5 = 4 ; UAB = 5,7V. 
 Tìm cường độ dòng điện 
qua các điện trở và điện trở 
tương đương của mạch cầu. 
Bài giải: 
Do UAB = 5,7V > 0 nên VA > VB nên chiều dòng điện qua R1;R2;R3;R4 như 
hình vẽ: 
Cách 1: Dùng phương pháp điện thế nút. 
Chọn I5 có chiều như hình vẽ . Ta đặt ẩn số là U1 và U3. Khi đó: 
U5 = UMN = U NA + UAM = - U3 + U1 
Tại nút M: I1 + I5 = I2 
1 1 3 2
1 5 2
U U U U
R R R
Do U2 = UAB – U1 nên : 1 1 1 3
5,7
 (1)
1 1 4
U U U U 
Tại nút N: I4 + I5 = I3 
4 1 3 3
4 5 3
U U U U
R R R
 mà U4 = UAB- U3 
 3 3 1 35,7 (2)
2 3 4
U U U U 
Từ (1) 9U1 – U3 = 22,8 (3) 
Từ (2) -3U1 + 13 U3 = 22,8 (4) 
Từ (3) và (4) U1 = 2,8V; U2 = 2,9V; U3 = 2,4V; U4 = 3,3V; U5 = 0,4V. 
Các dòng điện; 
1
1
1
2,8 (A)
U
I
R
 22
2
2,9 (A)
U
I
R
3
3
3
1,2 (A)
U
I
R
 44
4
1,1 (A)
U
I
R
5
5
5
0,1 (A)
U
I
R
 I5 > 0 chứng tỏ chiều dòng điện qua R5 ta chọn là đúng. 
I = I1 + I3 = 2,8 + 1,2 = 4 (A) 
Điện trở tương đương của mạch cầu là R = 1,425 ( ) 
* Cách 2: phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là cường độ dòng điện