Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp

sở giáo dục và đào tạo hà nội 
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều 
----------------------------------------------------------------------------- 
 Sáng kiến kinh nghiệm: 
Một số dạng bất ph-ơng trình 
chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp 
 Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn 
 Tổ : Toán 
Hà Nội, 5 / 2010 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 1 
mở đầu 
 Giải bất ph-ơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh 
đ-ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai đ-ợc 
coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: “ Một số dạng bất ph-ơng trình chứa 
căn thức bậc hai th-ờng gặp ” để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích 
mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất 
ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất ph-ơng trình nói chung, 
đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm 
đến môn toán. 
 Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong 
ch-ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban 
Khoa học xã hội và nhân văn. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử 
dụng để chuyển sang phần ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi chuyển sang 
ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó 
ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục 
đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc. 
 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau. 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 2 
Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đ-a ra sau 
đây mà không nêu nội dung: 
1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó. 
2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. 
3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai. 
Sáng kiến kinh nghiệm: 
“ Một số dạng bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp ” 
Dạng 1 
f(x) 0
f(x) < g(x)
f(x) < g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
g(x) 0
f(x) > g(x)
f(x) > g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) 
23x 2 2x 5x 2 2x (1) 
 2) 
2 22x 10x 8 x 5x 36 (2) 
 3) 
3 2x 8 2x 5x 14 (3) 
Giải: 
1) 
2(1)
2 2
2
x 2
x 2 x 8
x 1x 3x 2 0
x 1 0 x 1
x 0x 3x 2 2x 5x 2
x 2x 8x 0
x 8
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 3 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
    S ( ; 8 0 ; 1 2 ; )   . 
2) 
2
(2)
2 2
2
9
5 36 0
4
2 10 8 5 36
15 44 0
x
x x
x
x x x x
x x
9
4 11
94
11
x
x x
xx
x
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là 
   S ; 11 9 ;  . 
3) 
3 3(3)
3 2 3 2
x 8 0 x 8
x 8 2x 5x 14 x 2x 5x 6 0
2 2
x 2 x 2
(x 1)(x x 6) 0 x x 6 0
x 2
2 x 3
2 x 3
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S =  2 ; 3 . 
Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) 
2 3 4x x 22 5x x 
 2) 22 9 13x x 2 3 2x x 
 3) 
22 9 4x x 2 3 4x x 
 4) 
2 22 12 16 3 28x x x x 
 5) 
3 22 1x x 2 2x x 
 6) 
3 2x x 2 2x x . 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 4 
Dạng 2 
 f(x) g(x) 
2
f (x) 0
g(x) 0
f (x) g (x)
 f(x) g(x) 
2
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) 
2x 8x 7 + 3x 1 (1) 
 2) 2 29 8x x + 1 < 9x (2) 
 3) 
1
1
x
 < 2 (3) 
Giải: 
1) 
(1)
2x 8x 7 1 3x 
2
22
8 7 0
1 3 0
8 7 1 3
x x
x
x x x
2 2
1
x
3
x 8x 7 9x 6x 1
x 7
x 1
2
1
x
3
8x 2x 6 0
1
x
3
3
x
4
x 1
x 1 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
S =  ; 1 . 
2) 
(2)
22 9 8x x < 9x 1 
2
2 2
9 8 0
9 1 0
4(9 8 ) (9 1)
x x
x
x x x
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 5 
2 2
1 x 9
1
x
9
4x 32x 36 81x 18x 1
2
1
x 9
9
85x 50x 35 0
1
x 9
9
x 1
7
x
17
 1 9x 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là 
S = (1 ; 9]. 
3) 
(3)
x 0
1
1 0
x
1
1 4
x
x 0
x 1
0
x
3x 1
0
x
x 0
x 1
x 0
1
x
3
1
x
3
x 1
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S =   
1
; 1 ;
3
. 
Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) 2x 2x 8 + 2 x 
 2) 
22x 5x 2 + x 2 
 3) 
23x 8x 3 + 1 2x 
 4) 3 (x 6)(x 2) 7 + 3 < 5x 
 5) 3 (x 6)(x 2) 7 + 2x < 6 
 6) 
4 22x 5x 3 + 1 < x2. 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 6 
Dạng 3 
 f(x) > g(x) 
2
g(x) 0
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
 f(x) g(x) 
2
g(x) 0
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) 23x 10x 3 x 1 (1) 
 2) (x 1)(3 x) 3 4 3x (2) 
 3) 2 22x 8x 1 x 1 (3) 
Giải: 
1) 
2
(1)
22
x 1 0
3x 10x 3 0
x 1 0
3x 10x 3 x 1
2 2
x 1
1
x 3
3
x 1
3x 10x 3 x 2x 1
2
x 1
4x 8x 4 0
2
x 1
4(x 1) 0
x 1
x 1
 x 1 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
S = 1 . 
2) 
(2)
24x x 3x 4 
2
2 2
3x 4 0
4x x 0
3x 4 0
4x x (3x 4)
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 7 
2 2
4
x
3
0 x 4
4
x
3
4x x 9x 24x 16
2
4
0 x
3
4
x
3
10x 28x 16 0
4
0 x
3
4
x
3
4
x 2
5
4
0 x
3
4
x 2
3
 0 x 2 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là 
S =  0 ; 2 . 
3) 
(3)
2 2 2 2 4 22x 8x 1 (x 1) 2x 8x 1 x 2x 1 
 4 3x 8x 0 x(x 8) 0 
 2x(x 2)(x 2x 4) 0 x(x 2) 0 
 2 x 0 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S = 2 ; 0 . 
Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) (x 3)(5 x) 15 4 2x 
 2) 
2x 5x 4 2 3x 
 3) 
2x 4x 5 x 11 
 4) 4 2x x 1 x 1 
 5) 
4 2x x 1 1 2x 
 6) 
4 2 22x 5x 2 2x 1 . 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 8 
Dạng 4 
 f (x) g(x) p(x) q(x) hoặc: f (x) g(x) p(x) q(x) 
(Trong đó: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)). 
Ph-ơng pháp: 
 Điều kiện: 
f (x) 0
g(x) 0
p(x) 0
q(x) 0
 Bình ph-ơng hai vế của bất ph-ơng trình, sau đó đ-a về dạng 1. 
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) x 2 5 2x 2x 7 3x (1) 
 2) x 3 2x 5 3 3x 5 2x (2) 
 3) 3 2x 4 3x 2x 2 x 3 (3) 
Giải: 
1) Điều kiện: 0
7
x
3
(1) 2 2
x 2 5 2x 2x 7 3x 
 x 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x 
 2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x) 
2 22x x 10 6x 14x 
 2 22x x 10 6x 14 x 
 24x 13x 10 0 
5
x 2
4
 ; thoả mãn điều kiện. 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
S = 
5
; 2
4
. 
2) Điều kiện: 
5
x 1
2
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 9 
(2)
x 3 5 2x 3 3x 2x 5 
2 2
x 3 5 2x 3 3x 2x 5 
 x 3 5 2x 2 3 x. 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x. 2x 5 
 2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5) 
 2 22x x 15 6x 9x 15 
 2 22x x 15 6x 9x 15 
 24x 8x 0 
x 0
x 2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là 
S =    
5
; 2 0 ;1 .
2
3) Điều kiện: –1
4
x
3
(3)
2 2
3 2x x 3 4 3x 2x 2
3 2x x 3 4 3x 2x 2
 3 2x x 3 2 3 2x. x 3 4 3x 2x 2 2 4 3x. 2x 2 
 2 (3 2x)(x 3) 2 (4 3x)(2x 2) 
 2 22x 3x 9 6x 2x 8 
 2 22x 3x 9 6x 2x 8 
 24x 5x 1 0 
1
x 1
4
; thoả mãn điều kiện 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S = 
1
;1
4
. 
Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) x 1 3x 1 2x 1 2x 1 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 10 
 2) x 1 3x 1 2x 1 2x 1 
 3) 2x 1 2x 2 x 1 3x 2 
 4) x 1 3x 2 2x 1 2x 2 
 5) 5x 1 5x 7 2x 3 2x 5 
 6) 2x 3 x 2 4x 3 3x 4. 
Dạng 5 
 Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nh-ng g(x) ở đây là tam 
thức bậc hai, khi bình ph-ơng hai vế sẽ dẫn đến bất ph-ơng trình bậc bốn rất 
khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, d-ới đây là một số bài toán 
minh hoạ. 
Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau: 
 1) 2(x 1)(x 2) x x 8 (1) 
 2) 
2 26x 18x 12 10 3x x (2) 
 3) 22 x 2x 10 5 x(x 2) (3) 
Giải: 
1) Đặt: t = (x 1)(x 2) ; t 0 
 2 2 2 2t x x 2 x x t 2 
(1)
2 2
t 2
t t 2 8 0 t t 6 0
t 3 (loại)
Vậy: 
2 2
x 3
(x 1)(x 2) 2 x x 2 4 x x 6 0
x 2
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
S =    ; 2 3 ; . 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 11 
2) Đặt: t = 26x 18x 12 ; t 0 
2
2 2 2 12 tt 6x 18x 12 3x x
6
2(2)
2 212 tt 10 6t 60 12 t t 6t 72 0
6
 12 t 6 
Vậy: 2 26x 18x 12 6 x 3x 2 6 
2
2
2
x 2 x 2
x 3x 2 0 1 x 1
x 1 x 1
2 x 4x 3x 2 6
1 x 4x 3x 4 0
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là 
S =   1 ;1 2 ; 4 . 
3) Đặt: t = 2x 2x 10 ; t 3 
 2 2 2t x 2x 10 x(x 2) t 10 
(3)
2 22t 5 t 10 t 2t 15 0 3 t 5 
Vậy: 2 2x 2x 10 5 x 2x 10 25 
 2x 2x 15 0 5 x 3 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S = ( 5 ; 3). 
Bài toán 2. Cho bất ph-ơng trình: 
2x 2x (x 3)(1 x) 5 m (*) 
a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m = 2. 
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm. 
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng   x 4 ; 2 . 
Giải: 
 2 2(x 3)(1 x) 5 x 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1) 
 Đặt : t (x 3)(1 x) 5; 0 t 3 
 2 2 2 2t x 2x 8 x 2x 8 t 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 12 
(*)
2 28 t t m t t 8 m (**) 
a) m = 2, 
(**)
2 2t t 8 2 t t 6 0 2 t 3 
Vậy: 2 2x 2x 8 3 9 (x 1) 3; nghiệm đúng x [–4 ; 2]. 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (*) là 
S = [–4 ; 2]. 
b) Bất ph-ơng trình (*) có nghiệm bất ph-ơng trình (**) có nghiệm t thoả 
mãn: 0 t 3 
Gọi f(t) = 2t t 8; 0 t 3 
Bảng biến thiên: 
 t 0 
1
2
 3 + 
 f(t) 
33
4
8 2 
   
33
2 f(t) ; t 0 ; 3
4
Do đó (**) có nghiệm t   
33 33
0 ; 3 m m
4 4
Kết luận: 
33
m ,
4
 bất ph-ơng trình (*) có nghiệm. 
c) Bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng   x 4 ; 2 bất ph-ơng trình (**) 
nghiệm đúng t [0 ; 3]. 
 Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2. 
Kết luận: m 2, bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng   x 4 ; 2 . 
Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình: 
 22 (x 1)(x 7) 25 6x x m (1) 
a) Giải bất ph-ơng trình (1) với m = 3. 
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) có nghiệm. 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 13 
Giải: 
 2 2(x 1)(x 7) 25 x 6x 18 (x 3) 9 
 2 2 2 2
Đặt : t (x 1)(x 7) 25 ; t 3.
t x 6x 18 x 6x t 18
(1)
2 22t t 18 m t 2t 18 m (2) 
a) m = 3, 
(2)
2 2t 2t 18 3 t 2t 15 0 3 t 5 
Vậy: 2 2 2x 6x 18 5 x 6x 18 25 x 6x 7 0 1 x 7 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình là 
S =   1 ; 7 . 
b) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm bất ph-ơng trình (2) có nghiệm t thoả 
mãn: t 3 
Gọi f(t) = 2t 2t 18; t 3 
Bảng biến thiên: 
 t - 1 3 + 
f(t) + 
 –15 
  f(t) 15 ; t 3. 
Do bất ph-ơng trình (2) có nghiệm 15 m m 15 
Kết luận: m 15, bất ph-ơng trình (1) có nghiệm